Phân loại vị trí theo khoảng cách hai tâm

Vị trí tương đối của hai đường tròn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-27-B4

Bảng phân loại chỉ đáng tin khi có đủ miền khoảng cách, hai ngưỡng và ngoại lệ đồng tâm. Em sẽ luyện biến đổi tham số rồi quay lại giải thích hình học.

Sau bài này, em có thể:

• Phân loại đầy đủ bằng một trục khoảng cách
• Phân loại bằng điều kiện chính xác, xét đủ ngưỡng và ngoại lệ.

Cần biết trước: Mô-đun 26; bất đẳng thức tam giác; trung trực đoạn thẳng; dựng tam giác theo ba cạnh; giải phương trình và bất đẳng thức đơn giản.

1. Kiến thức và phương pháp

Bắt đầu bằng $R,r>0$ và $d\ge0$. Đặt $a=|R-r|$, $b=R+r$. Nếu $a>0$, các miền lần lượt là $[0;a)$ không giao trong, $d=a$ tiếp xúc trong, $(a;b)$ cắt hai điểm, $d=b$ tiếp xúc ngoài, $(b;+\infty)$ không giao ngoài. Nếu $a=0$, phải tách $d=0$ là trùng nhau; không có tiếp xúc trong ở ngưỡng 0.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Bảng đủ năm vị trí

Khởi động

Đề bài

Với $R=9,r=4$, phân loại theo mọi $d\ge0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hiệu 5, tổng 13. Với $0\le d<5$: nằm hẳn trong; $d=5$: tiếp xúc trong; $5<d<13$: cắt hai điểm; $d=13$: tiếp xúc ngoài; $d>13$: ở ngoài nhau.

Cách tự kiểm

Không bỏ $d=0$; hai bán kính khác nhau nên vẫn không giao.

Ví dụ 2. Thay số vào bảng

Củng cố

Đề bài

Cùng hai bán kính 9 và 4, phân loại $d=4,5,8,13,15$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tương ứng: không giao trong, tiếp xúc trong, cắt hai điểm, tiếp xúc ngoài, không giao ngoài. Các khoảng và ngưỡng lấy từ 5 và 13.

Cách tự kiểm

Đếm điểm chung tương ứng là 0,1,2,1,0.

Ví dụ 3. Tham số tuyến tính

Vận dụng

Đề bài

$R=6,r=2,d=3x$, $x\ge0$. Phân loại khi x tăng.

Lời giải và cách suy nghĩ

Ngưỡng $3x=4$ và $3x=8$, tức $x=4/3,8/3$. Dưới $4/3$ không giao trong, bằng $4/3$ tiếp xúc trong, giữa hai ngưỡng cắt, bằng $8/3$ tiếp xúc ngoài, trên $8/3$ không giao ngoài.

Cách tự kiểm

Kiểm miền khoảng cách $x\ge0$ trước khi vẽ trục.

Ví dụ 4. Tham số có giá trị tuyệt đối

Giải thích

Đề bài

$R=5,r=3,d=|x-3|$. Tìm x cho hai giao điểm.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $2<|x-3|<8$. Tách hai nhánh được $-5<x<1$ hoặc $5<x<11$. Các giá trị $-5,1,5,11$ là tiếp xúc.

Cách tự kiểm

Hai miền xuất hiện vì khoảng cách có thể đạt cùng một giá trị ở hai phía của $x=3$.

Ví dụ 5. Cả bán kính biến thiên

Nâng cao

Đề bài

$R=x+3,r=x+1,d=8$, $x>-1$. Phân loại.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hiệu 2, tổng $2x+4$. Với $-1<x<2$, tổng nhỏ hơn 8 nên ở ngoài nhau. Với $x=2$ tiếp xúc ngoài. Với $x>2$, có $2<8<2x+4$ nên cắt hai điểm. Không thể tiếp xúc trong vì khoảng cách 8 khác hiệu 2.

Cách tự kiểm

Miền $x>-1$ bảo đảm cả hai bán kính dương.

Ví dụ 6. Nhận ra miền rỗng

Phản biện

Đề bài

$R=4,r=x>0,d=2$. Tìm x để hai đường tròn ở ngoài nhau.

Lời giải và cách suy nghĩ

Ở ngoài nhau cần $2>4+x$, không thể với $x>0$. Vì vậy không có giá trị x thỏa.

Cách tự kiểm

Không phải mọi kiểu vị trí đều đạt được khi một số dữ kiện đã cố định.

Ví dụ 7. Phân loại từ dữ liệu gần đúng

Nâng cao

Đề bài

$R=8,r=3$ chính xác, biết $5,1\le d\le10,9$. Có đủ kết luận cắt hai điểm?

Lời giải và cách suy nghĩ

Có. Toàn bộ khoảng nằm trong $(5,11)$ nên mọi d hợp lệ đều cho hai giao điểm. Không cần biết chính xác d.

Cách tự kiểm

Khác với khoảng sai số chứa hoặc vượt ngưỡng tiếp xúc.

Ví dụ 8. Bảng với hai bán kính bằng nhau

Thử thách

Đề bài

$R=r=4$. Phân loại với mọi $d\ge0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$d=0$: trùng nhau, vô số điểm chung; $0<d<8$: hai điểm; $d=8$: tiếp xúc ngoài, một điểm; $d>8$: không giao ngoài. Không có tiếp xúc trong hay không giao trong với $d>0$.

Cách tự kiểm

Không dùng bảng năm vị trí cho hai đường tròn phân biệt mà quên trường hợp trùng nhau.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ so khoảng cách tâm với tổng mà bỏ hiệu hai bán kính.
• Dùng dấu bằng trong miền cắt hai điểm hoặc không giao.
• Gọi hai đường tròn đồng tâm cùng bán kính là tiếp xúc trong.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hai đường tròn bán kính $8$ và $3$ cm, tâm cách $4$ cm. Phân loại và so sánh.

   Gợi ý bài 1

   So với 5 và 11.

2. Hai đường tròn bán kính $8$ và $3$ cm, tâm cách $5$ cm. Phân loại và so sánh.

   Gợi ý bài 2

   Kiểm ngưỡng hiệu 5.

3. Giữ bán kính $8$ và $3$ cm, cho $d$ thay đổi. Viết khoảng để cắt nhau và nêu điều xảy ra ở hai đầu mút.

   Gợi ý bài 3

   Lấy khoảng mở giữa hiệu và tổng.

4. Vẽ sơ đồ trên trục $d\ge0$ cho hai đường tròn bán kính $8$ và $3$ cm, chia các miền không giao, cắt, tiếp xúc.

   Gợi ý bài 4

   Đặt cả hai ngưỡng rồi điền đúng từng miền.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $|R-r|=5$, $R+r=11$; vì $4<5$, hai đường tròn không giao, một nằm hẳn trong hình tròn kia.

2. $d=5=|R-r|>0$, nên tiếp xúc trong tại một điểm.

3. Cắt hai điểm khi $5<d<11$ cm. Ở $d=5$ tiếp xúc trong; ở $d=11$ tiếp xúc ngoài. Hai đầu không thuộc khoảng cắt hai điểm.

4. Đánh dấu $5$ và $11$. Với $d\in[0;5)$: không giao trong; $d=5$: tiếp xúc trong; $d\in(5;11)$: cắt; $d=11$: tiếp xúc ngoài; $d>11$: không giao ngoài. Không dùng dấu bằng cho miền cắt.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $R=7,r=5$. Tìm miền d cho hai giao điểm.

   Gợi ý bài 5

   Hiệu 2, tổng 12.

6. Cùng hai bán kính 7 và 5, tìm mọi d để có đúng một điểm chung.

   Gợi ý bài 6

   Hai kiểu tiếp xúc.

7. Cùng hai bán kính 7 và 5, tìm mọi d để không có điểm chung.

   Gợi ý bài 7

   Lấy hai miền ngoài khoảng và bỏ hai ngưỡng.

8. $R=7,r=5,d=0$. Vì sao không trùng nhau?

   Gợi ý bài 8

   So bán kính.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $2<d<12$.

6. $d=2$ hoặc 12; do hai bán kính khác nhau nên hiệu dương hợp lệ.

7. $0\le d<2$ hoặc $d>12$.

8. Đồng tâm nhưng bán kính khác nhau; một điểm không thể cách tâm vừa 7 vừa 5, nên 0 điểm chung.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. $R=8,r=3,d=x+4$, $x\ge-4$. Tìm x để tiếp xúc.

   Gợi ý bài 9

   Khoảng cách bằng 5 hoặc 11.

10. Cùng mô hình trên, tìm x để không giao.

    Gợi ý bài 10

    Giải $0\le x+4<5$ hoặc $x+4>11$.

11. $R=6,r=4,d=|t|$. Tìm t để cắt nhau.

    Gợi ý bài 11

    Giải $2<|t|<10$.

12. $R=t+2,r=t,d=5$, $t>0$. Tìm miền cắt và hai ngưỡng tiếp xúc.

    Gợi ý bài 12

    Hiệu cố định 2, tổng $2t+2$.

13. $R=9,r=4$, biết $4,9\le d\le5,1$. Có xác định được số giao điểm duy nhất không?

    Gợi ý bài 13

    Khoảng này đi qua 5.

14. $R=9,r=4$, biết $6\le d\le12$. Có xác định được số giao điểm không?

    Gợi ý bài 14

    Cả khoảng có nằm giữa 5 và 13 không?

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $x=1$ tiếp xúc trong; $x=7$ tiếp xúc ngoài.

10. $-4\le x<1$ hoặc $x>7$.

11. $-10<t<-2$ hoặc $2<t<10$.

12. Hai đường tròn cắt nhau khi $t>\frac32$; $t=\frac32$ cho tiếp xúc ngoài. Không có tiếp xúc trong vì $d=5$ khác hiệu hai bán kính bằng $2$.

13. Không. $d=4{,}9$ cho $0$ điểm chung, $d=5$ cho $1$ điểm chung, còn $d=5{,}1$ cho $2$ điểm chung.

14. Có, luôn hai điểm vì $5<6\le d\le12<13$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. $R=x+4,r=x+1,d=9$, $x>-1$. Phân loại theo x.

    Gợi ý bài 15

    Hiệu 3, tổng $2x+5$.

16. $R=5,r=3,d=|x-3|$. Tìm mọi $x$ để không có điểm chung; kiểm riêng trường hợp $x=3$.

    Gợi ý bài 16

    Dùng $d<2$ hoặc $d>8$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Với $-1<x<2$, hai đường tròn ở ngoài nhau; $x=2$ cho tiếp xúc ngoài; $x>2$ cho hai điểm chung. Không có trường hợp nằm trong nhau vì $d=9$ lớn hơn hiệu hai bán kính bằng $3$.

16. $|x-3|<2$ cho $1<x<5$; $|x-3|>8$ cho $x<-5$ hoặc $x>11$. Tại $x=3$, hai đường tròn đồng tâm và khác bán kính, vẫn không giao. Bốn đầu mút cho tiếp xúc nên phải loại.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.