Rút căn bình phương của biểu thức bằng giá trị tuyệt đối – lớp 9

Căn thức đại số và điều kiện xác định · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-04-B4

Bình phương bảo đảm số dưới căn không âm, nhưng không bảo đảm biểu thức trước khi bình phương dương. Với căn thức đại số, việc xét dấu có thể cần nhiều mốc hoặc một điều kiện tham số.

Sau bài này, em có thể:

• Bỏ căn bình phương bằng cách xét đúng các mốc dấu.
• Giải phương trình và điều kiện đúng trên một miền.

Cần biết trước: Mô-đun 02–03; biểu thức đại số và bất đẳng thức đơn giản.

1. Kiến thức và phương pháp

$\sqrt{A(x)^2}=|A(x)|$ trên miền mà $A(x)$ xác định. Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, xét dấu của toàn bộ $A(x)$. Nếu $A$ là bậc nhất, chia tại nghiệm của nó; nếu $A$ có dạng $x^2-c^2$, cần xét cả hai mốc $\pm c$. Hai công thức ở các miền phải khớp tại những điểm $A(x)=0$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Một biểu thức có hệ số

Cơ bản

Đề bài

Rút gọn $\sqrt{(2x-5)^2}$ khi $x\le5/2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$2x-5\le0$, nên căn bằng $5-2x$. Tại mốc $5/2$, kết quả bằng $0$.

Cách tự kiểm

Dấu của cả $2x-5$ quyết định công thức.

Ví dụ 2. Điều kiện đảo chiều

Cơ bản

Đề bài

Rút gọn $\sqrt{(7-3x)^2}$ khi $x>7/3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$7-3x<0$, nên căn bằng $-(7-3x)=3x-7$.

Cách tự kiểm

Kiểm một giá trị như $x=3$ cho kết quả $2$.

Ví dụ 3. Thừa số ngoài độ lớn

Cơ bản

Đề bài

Rút gọn $\sqrt{4(x-2)^2}$ với mọi $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Căn bằng $2|x-2|$: nếu $x\ge2$ là $2x-4$; nếu $x<2$ là $4-2x$.

Cách tự kiểm

Hệ số đưa ra là $2$, không phải $4$.

Ví dụ 4. Hai dấu của một hiệu

Cơ bản

Đề bài

Với $a,b$ thực, khi nào $\sqrt{(a-b)^2}=a-b$?

Lời giải và cách suy nghĩ

Căn là $|a-b|$, bằng $a-b$ khi và chỉ khi $a-b\ge0$, tức $a\ge b$.

Cách tự kiểm

Không cần $a,b$ riêng lẻ cùng dương.

Ví dụ 5. Biểu thức bậc hai trước bình phương

Nâng cao

Đề bài

Viết $\sqrt{(x^2-4)^2}$ theo miền.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bằng $|x^2-4|$. Nếu $x\le-2$ hoặc $x\ge2$, bằng $x^2-4$; nếu $-2<x<2$, bằng $4-x^2$.

Cách tự kiểm

Có hai mốc đổi dấu, không chỉ một mốc $x=0$.

Ví dụ 6. Tổng có hai mốc

Vận dụng

Đề bài

Rút gọn $\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x-6)^2}$ khi $2\le x\le6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trên miền này, $x-2\ge0$ và $x-6\le0$, nên tổng $(x-2)+(6-x)=4$.

Cách tự kiểm

Cả hai đầu mút vẫn cho tổng $4$.

Ví dụ 7. Phương trình độ lớn có hệ số

Vận dụng

Đề bài

Giải $\sqrt{(3x+1)^2}=2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$|3x+1|=2$ nên $3x+1=2$ hoặc $-2$. Được $x=1/3,-1$; thử hai căn đều bằng $2$.

Cách tự kiểm

Giữ cả hai nhánh, không chỉ nhánh dương của biểu thức trong bình phương.

Ví dụ 8. Một công thức đúng trên cả nửa trục

Nâng cao

Đề bài

Tìm $m$ để $\sqrt{(x-m)^2}=m-x$ với mọi $x\le2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đẳng thức tương đương $x\le m$. Muốn đúng với mọi $x\le2$, cần $m\ge2$ (xét $x=2$); điều kiện này cũng đủ vì $x\le2\le m$.

Cách tự kiểm

Phân biệt một giá trị $x$ với yêu cầu cho mọi $x$ trong miền.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Bỏ căn bình phương thành biểu thức chưa xét dấu.
• Chỉ xét dấu của biến mà không xét toàn biểu thức.
• Bình phương một đẳng thức độ lớn làm mất điều kiện dấu.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Rút gọn $\sqrt{(x+4)^2}$ với $x<-4$.

   Gợi ý bài 1

   $x+4$ có dấu gì?

2. Rút gọn $\sqrt{(3-x)^2}$ với $x\le3$.

   Gợi ý bài 2

   $3-x\ge0$.

3. Viết $\sqrt{(x-2)^2}$ thành hai công thức ứng với $x\ge2$ và $x<2$.

   Gợi ý bài 3

   Dùng $|x-2|$.

4. Rút gọn $\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(x+1)^2}$ khi $-1\le x\le1$. Kiểm tại $x=0$.

   Gợi ý bài 4

   Xét dấu hai biểu thức khác nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Vì $x+4<0$, căn bằng $|x+4|=-x-4$.

2. Căn bằng $|3-x|=3-x$.

3. Với $x\ge2$, bằng $x-2$; với $x<2$, bằng $2-x$. Tại $2$ kết quả $0$.

4. $x-1\le0$, $x+1\ge0$, nên tổng $(1-x)+(x+1)=2$. Tại $0$, hai căn đều $1$, tổng $2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Rút gọn $\sqrt{(x-8)^2}$ khi $x>8$.

   Gợi ý bài 5

   Biểu thức trước bình phương dương.

6. Rút gọn $\sqrt{(2-x)^2}$ khi $x\ge2$.

   Gợi ý bài 6

   Biểu thức $2-x$ không dương.

7. Tính $\sqrt{(2x+3)^2}$ tại $x=-3$.

   Gợi ý bài 7

   Thay số trước khi lấy độ lớn.

8. Viết $\sqrt{9(x+1)^2}$ gọn với mọi $x$.

   Gợi ý bài 8

   Đưa hệ số chính phương ra ngoài.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Bằng $x-8$.

6. Bằng $x-2$.

7. Bằng $|-3|=3$.

8. Bằng $3|x+1|$, không luôn bằng $3x+3$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Tìm miền mà $\sqrt{(5-2x)^2}=2x-5$.

   Gợi ý bài 9

   Vế phải là số đối của $5-2x$.

10. Viết $\sqrt{(x^2-1)^2}$ theo các mốc $-1,1$.

    Gợi ý bài 10

    Xét dấu $x^2-1$.

11. Giải $\sqrt{(x-4)^2}=0$.

    Gợi ý bài 11

    Độ lớn bằng $0$.

12. Giải $\sqrt{(x+3)^2}=x+3$ và giải thích vì sao không cần bình phương.

    Gợi ý bài 12

    Đây là điều kiện độ lớn bằng chính biểu thức.

13. Rút gọn $\sqrt{(x-a)^2}+\sqrt{(x-b)^2}$ với $x\le a<b$.

    Gợi ý bài 13

    Cả hai hiệu đều không dương.

14. Với $x\ge0$, có luôn được bỏ giá trị tuyệt đối trong $\sqrt{(x-10)^2}$ không?

    Gợi ý bài 14

    Thử một $x$ dương nhưng nhỏ hơn $10$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Cần $5-2x\le0$, nên $x\ge5/2$.

10. Bằng $x^2-1$ khi $x\le-1$ hoặc $x\ge1$; bằng $1-x^2$ khi $-1<x<1$.

11. Chỉ $x=4$. Không phải toàn miền $x\ge4$.

12. $|x+3|=x+3$ đúng khi $x+3\ge0$, tức $x\ge-3$. Bình phương hai vế sẽ làm mất thông tin dấu.

13. Tổng $(a-x)+(b-x)=a+b-2x$. Điều kiện thứ tự cho phép chọn đúng dấu.

14. Không. Chẳng hạn $x=1$ cho căn $9$, còn $x-10=-9$. Cần $x\ge10$ mới được viết bằng $x-10$; từ $0\le x<10$ phải viết $10-x$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giải $\sqrt{(x-1)^2}-\sqrt{(x+1)^2}=-2$.

    Gợi ý bài 15

    Chia trục số tại $-1,1$.

16. Tìm $m$ để $\sqrt{(x+m)^2}=x+m$ với mọi $x\ge-3$.

    Gợi ý bài 16

    Đẳng thức cần $x+m\ge0$; xét đầu miền.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Với $x\ge1$, hiệu $(x-1)-(x+1)=-2$. Với $-1\le x\le1$, hiệu $-2x$ bằng $-2$ chỉ tại $x=1$. Với $x<-1$, hiệu bằng $2$, không thỏa. Vậy mọi và chỉ $x\ge1$ là nghiệm.

16. Tại $x=-3$ cần $m\ge3$. Nếu $m\ge3$, với mọi $x\ge-3$ có $x+m\ge0$, nên điều kiện đủ. Vậy chính xác $m\ge3$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.