Đến nội dung chính

Tâm đối xứng của đường tròn – Toán lớp 9

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Đường tròn, đối xứng và dây · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-26-B1

Mỗi điểm trên đường tròn có một điểm đối diện qua tâm. Từ định nghĩa này, em kiểm được cả ảnh của dây và tính duy nhất của tâm đối xứng.

Sau bài này, em có thể:

  • Đối xứng tâm giữ nguyên khoảng cách đến tâm
  • Giải thích điều kiện và kiểm tra bằng chứng thay vì chỉ nhìn hình.

Cần biết trước: Khái niệm đường tròn; đối xứng tâm, đối xứng trục; bất đẳng thức tam giác và định lý Pythagore.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $R>0$, đường tròn $(O;R)$ gồm các điểm $A$ thỏa $OA=R$. Nếu $A^{\prime}$ là ảnh qua $O$ thì $O$ là trung điểm $AA^{\prime}$ và $OA^{\prime}=OA=R$. Do đó phép đối xứng tâm $O$ giữ nguyên đường tròn. Hai điểm đối xứng trên đường tròn là hai đầu một đường kính.

Đường tròn tâm O có dây AB và đường kính CD để so sánh.

Hình minh họa: $C,D$ là hai điểm đối xứng qua $O$ vì $CD$ là đường kính; $AB$ là một dây khác.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Dựng điểm đối xứng qua tâm

Khởi động

Đề bài

$A\in(O;5\text{ cm})$. Dựng ảnh $A^{\prime}$ qua $O$ và tính $AA^{\prime}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trên tia đối của $OA$, lấy $OA^{\prime}=OA=5$ cm. Khi đó $A^{\prime}$ thuộc đường tròn và $AA^{\prime}=10$ cm.

Cách tự kiểm

$O$ là trung điểm $AA^{\prime}$; không đặt ảnh trên cùng tia $OA$.

Ví dụ 2. Khoảng cách quyết định vị trí

Củng cố

Đề bài

Với $(O;4)$, điểm $M$ cách $O$ một khoảng $6$. Ảnh $M^{\prime}$ qua $O$ nằm ở đâu?

Lời giải và cách suy nghĩ

$OM^{\prime}=OM=6>4$, nên cả hai điểm đều ở ngoài đường tròn. Đối xứng tâm bảo toàn vị trí trong, trên hoặc ngoài so với chính đường tròn tâm $O$.

Cách tự kiểm

Phép đối xứng không biến mọi điểm ngoài thành điểm trên đường tròn.

Ví dụ 3. Ảnh của một dây

Vận dụng

Đề bài

$AB$ là dây dài $7$ cm. Ảnh $A^{\prime},B^{\prime}$ của hai đầu qua tâm là gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

$OA^{\prime}=OA=R$ và $OB^{\prime}=OB=R$, nên $A^{\prime}B^{\prime}$ là dây. Đối xứng tâm bảo toàn độ dài, do đó $A^{\prime}B^{\prime}=7$ cm.

Cách tự kiểm

Cần kiểm hai đầu ảnh vẫn trên đường tròn rồi mới gọi đoạn ảnh là dây.

Ví dụ 4. Nhận ra đường kính bằng trung điểm

Vận dụng

Đề bài

$A,B\in(O;6)$ và $O$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $B$ là ảnh đối xứng của $A$ qua $O$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai điểm $A,O,B$ thẳng hàng và $OA=OB=6$, với $O$ nằm giữa. Đây chính là định nghĩa đối xứng tâm. Vì vậy $AB=12$ và là một đường kính.

Cách tự kiểm

Chỉ có $OA=OB$ chưa đủ: hai bán kính tùy ý cũng bằng nhau.

Ví dụ 5. Không phải mọi điểm đều là tâm đối xứng

Nâng cao

Đề bài

Cho $I\ne O$, $OI=d>0$. Trên tia $OI$, lấy $A\in(O;R)$ sao cho $OA=R$ và trên tia đối lấy $B$ với $OB=R$. Vì sao đối xứng qua $I$ không giữ nguyên đường tròn?

Lời giải và cách suy nghĩ

Chọn $B$ ở phía đối diện $I$ qua $O$. Ảnh $B^{\prime}$ qua $I$ nằm trên tia $OI$ phía sau $I$. Vì $IB^{\prime}=IB=d+R$, có $OB^{\prime}=2d+R>R$. Vì một điểm trên đường tròn bị đưa ra ngoài, $I$ không là tâm đối xứng.

Cách tự kiểm

Lập luận dùng các đoạn trên một đường thẳng, với $I$ nằm giữa $B$ và ảnh của nó.

Ví dụ 6. Tìm bán kính từ cặp đối xứng

Nâng cao

Đề bài

Cho $A,A^{\prime}$ thuộc đường tròn tâm $O$. $A,A^{\prime}$ đối xứng qua tâm và $AA^{\prime}=3x+2$ cm, $OA=x+3$ cm. Tìm $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$3x+2=2(x+3)$ nên $x=4$. Khi đó $R=7$ cm, đường kính $14$ cm, các độ dài đều dương.

Cách tự kiểm

Giải xong phải kiểm độ dài, không chỉ giữ một đẳng thức đại số.

Ví dụ 7. Phân biệt đường tròn với nửa đường tròn

Phản biện

Đề bài

Nửa đường tròn gồm cung phía trên và hai đầu đường kính. Nó có tâm đối xứng là tâm đường tròn ban đầu không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Một điểm nằm hẳn phía trên đường kính biến thành điểm phía dưới, không thuộc nửa đường tròn đã chọn. Tính chất của toàn bộ đường tròn không tự chuyển sang một phần của nó.

Cách tự kiểm

Chọn điểm không nằm ở hai đầu đường kính để phản ví dụ có tác dụng.

Ví dụ 8. Hai phép đối xứng tâm

Thử thách

Đề bài

$I\ne O$. Có thể cả $O$ và $I$ cùng là tâm đối xứng của đường tròn $(O;R)$ với $R>0$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Trên đường thẳng $OI$, chọn điểm $B$ của đường tròn ở phía ngược với $I$. Ảnh qua $I$ cách $O$ đúng $R+2OI>R$, trái với việc giữ nguyên đường tròn. Vậy tâm đối xứng duy nhất là $O$.

Cách tự kiểm

Chứng minh áp dụng với mọi $OI>0$, kể cả khi $I$ nằm trong đường tròn.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Quên phân biệt dấu bằng với bất đẳng thức nghiêm.
  • Dùng tính chất của đường tròn cho một phần hình hoặc một hình khác.
  • Kết luận từ hình vẽ hoặc số đo gần đúng mà không kiểm giả thiết.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. $A$ trên $(O;4\text{ cm})$. Dựng $A^{\prime}$ đối xứng với $A$ qua $O$. Giải thích $A^{\prime}$ vẫn thuộc đường tròn.

    Gợi ý bài 1

    Dùng định nghĩa trung điểm của cặp đối xứng.

  2. $A,A^{\prime}$ thuộc đường tròn bán kính $6$ cm và đối xứng qua tâm $O$. Tính $AA^{\prime}$.

    Gợi ý bài 2

    Tâm nằm giữa hai đầu đối xứng.

  3. Đường tròn tâm $O$ bán kính $3$ cm. Phép đối xứng tâm $O$ có đưa điểm bên trong cách $O$ một khoảng $1$ cm ra ngoài không?

    Gợi ý bài 3

    Khoảng cách đến tâm được bảo toàn.

  4. Vì sao phép đối xứng tâm $O$ giữ nguyên cả đường tròn chứ không chỉ một cặp điểm?

    Gợi ý bài 4

    Áp dụng cùng một lập luận cho điểm bất kỳ, rồi xét phép ngược.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $A,O,A^{\prime}$ thẳng hàng và $OA^{\prime}=OA=4$ cm, nên $A^{\prime}\in(O;4\text{ cm})$.

  2. $O$ nằm giữa hai đầu, nên $AA^{\prime}=OA+OA^{\prime}=12$ cm. Đoạn ấy là đường kính.

  3. Không. Ảnh vẫn cách $O$ một khoảng $1$ cm, nhỏ hơn bán kính $3$ cm, nên vẫn ở trong hình tròn.

  4. Lập luận $OA^{\prime}=OA=R$ đúng với mọi $A$ trên đường tròn. Phép đối xứng là phép ngược của chính nó, nên mọi điểm của đường tròn cũng là ảnh của một điểm trên đó.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. $M\in(O;8)$ và $M^{\prime}$ đối xứng qua $O$. Tính $MM^{\prime}$.

    Gợi ý bài 5

    Cộng hai bán kính trên một đường thẳng.

  2. $OP=2<R=5$. So sánh vị trí của $P$ và ảnh qua $O$.

    Gợi ý bài 6

    So khoảng cách của từng điểm với bán kính.

  3. Cho $A,A^{\prime}$ thuộc đường tròn tâm $O$. $AA^{\prime}=18$ cm với hai đầu đối xứng qua tâm. Tìm bán kính.

    Gợi ý bài 7

    Đường kính bằng hai lần bán kính.

  4. $A,B$ trên đường tròn và $OA=OB$. Kết luận $B$ là ảnh của $A$ qua $O$ đã đủ chưa?

    Gợi ý bài 8

    Thiếu điều gì trong định nghĩa trung điểm?

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $MM^{\prime}=16$ vì $O$ nằm giữa hai điểm.

  2. Cả hai đều ở trong: $OP^{\prime}=2<5$.

  3. $R=18/2=9$ cm.

  4. Chưa. Cần thêm $A,O,B$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa; chẳng hạn hai bán kính vuông góc bác bỏ suy luận chỉ từ độ dài.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Ảnh của một tam giác có ba đỉnh trên $(O)$ qua $O$ có còn nội tiếp $(O)$ không?

    Gợi ý bài 9

    Xét riêng từng đỉnh.

  2. Cho $A,A^{\prime}$ thuộc đường tròn tâm $O$. $OA=2x-1$, $AA^{\prime}=3x+4$, hai điểm đối xứng qua tâm. Tìm $x$ và $R$.

    Gợi ý bài 10

    Lập $AA^{\prime}=2OA$.

  3. Một đoạn $AB$ có trung điểm $I\ne O$ và hai đầu trên $(O)$. Vì sao nó không là đường kính?

    Gợi ý bài 11

    Trung điểm của đường kính phải ở đâu?

  4. Điểm $M$ ngoài $(O;R)$ có ảnh $M^{\prime}$ qua $O$. Chứng minh đoạn $MM^{\prime}$ đi qua hai điểm của đường tròn.

    Gợi ý bài 12

    Hai tia đối từ $O$ gặp đường tròn ở đâu?

  5. Một điểm vừa nằm trên $(O;R)$ vừa là điểm bất động của đối xứng tâm $O$ có tồn tại không, với $R>0$?

    Gợi ý bài 13

    Điểm bất động phải trùng trung điểm của chính nó và ảnh.

  6. Nếu hai điểm trên đường tròn đối xứng qua $I$, có suy ra $I=O$ không?

    Gợi ý bài 14

    Hai đầu một dây bất kỳ cũng có trung điểm.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Có. Mỗi đỉnh ảnh vẫn cách $O$ một khoảng $R$, nên cả ba thuộc $(O)$; phép đối xứng bảo toàn tính không thẳng hàng.

  2. $3x+4=4x-2$ nên $x=6$, $R=11>0$.

  3. Mọi đường kính có trung điểm $O$. Trung điểm đoạn thẳng duy nhất, nên $I\ne O$ loại trường hợp đường kính.

  4. Trên mỗi tia $OM,OM^{\prime}$ lấy một điểm cách $O$ đúng $R$. Vì $OM=OM^{\prime}>R$, hai điểm ấy nằm trong đoạn $MM^{\prime}$ và là hai đầu một đường kính.

  5. Không. Điểm bất động duy nhất là $O$, trong khi $OO=0<R$, nên không thuộc đường tròn.

  6. Không. $I$ có thể là trung điểm dây không qua $O$. Chỉ khi phép đối xứng qua $I$ giữ nguyên toàn bộ đường tròn mới suy ra $I=O$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Tìm mọi tâm đối xứng của hình gồm hai đường tròn đồng tâm bán kính $2$ và $5$.

    Gợi ý bài 15

    Chọn điểm ngoài cùng trên đường nối một tâm giả định với $O$.

  2. Cho đường tròn tâm $O$ và điểm $I\ne O$. Hãy dựng cụ thể một điểm mà ảnh qua $I$ không thuộc đường tròn.

    Gợi ý bài 16

    Lấy đầu đường kính ở phía xa $I$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Chỉ có $O$. Nó giữ từng đường tròn. Nếu $I\ne O$, điểm $B$ trên đường tròn bán kính $5$ ở phía ngược $I$ có ảnh cách $O$ bằng $5+2OI>5$, không thuộc hình.

  2. Trên đường thẳng $OI$, chọn $B$ ở tia đối của $OI$ với $OB=R$. Phản xạ qua $I$ cho $OB^{\prime}=R+2OI>R$. Đây là phản ví dụ cho mọi $I\ne O$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án