Đến nội dung chính

Tâm và bán kính nội tiếp tam giác đều – lớp 9

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Đường tròn nội tiếp tam giác · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-33-B4

Với tam giác đều, tâm nội tiếp cũng là tâm ngoại tiếp nhưng hai bán kính khác nhau. Ta suy ra công thức từ đường cao và kiểm các bài suy ngược.

Sau bài này, em có thể:

  • Tâm và bán kính nội tiếp tam giác đều
  • Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.

Cần biết trước: Mô-đun 29,32; phân giác góc và khoảng cách đến cạnh lớp 7.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Tam giác đều cạnh $a>0$, đường cao $h=a\sqrt3/2$, có tâm $I$ là trọng tâm. Khoảng cách từ $I$ tới đáy bằng $h/3$, nên

$$r=\frac h3=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r.$$

Hai đường tròn cùng tâm nhưng không trùng nhau vì $R>r>0$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Từ cạnh

Làm quen

Đề bài

Tam giác đều cạnh $18$ cm. Tính $r$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=18\sqrt3/6=3\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

$R=6\sqrt3$ cm lớn gấp đôi.

Ví dụ 2. Từ đường cao

Làm quen

Đề bài

Tam giác đều có $h=21$ cm. Tính $r,R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=h/3=7$ cm, $R=2h/3=14$ cm.

Cách tự kiểm

$r+R=h$.

Ví dụ 3. Từ bán kính nội tiếp

Vận dụng

Đề bài

$r=4$ cm. Tính cạnh tam giác đều.

Lời giải và cách suy nghĩ

$a=2\sqrt3r=8\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

Thay lại $a\sqrt3/6$ được $4$.

Ví dụ 4. Suy công thức

Vận dụng

Đề bài

Giải thích vì sao tâm cách đáy $h/3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trong tam giác đều, trung tuyến là trung trực và phân giác; giao của chúng là trọng tâm. Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ tính từ đỉnh, nên đoạn tới trung điểm đáy dài $h/3$.

Cách tự kiểm

Nêu vì sao có thể dùng tính chất trọng tâm cho tâm nội tiếp.

Ví dụ 5. Diện tích từ bán kính

Nâng cao

Đề bài

Tam giác đều có $r=3$ cm. Tính diện tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh $a=6\sqrt3$ cm, nên $S=a^2\sqrt3/4=27\sqrt3$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Có thể kiểm bằng $S=rs$ với $s=9\sqrt3$.

Ví dụ 6. Từ chu vi

Nâng cao

Đề bài

Tam giác đều có chu vi $36$ cm. Tính $r$ và diện tích đường tròn nội tiếp.

Lời giải và cách suy nghĩ

$a=12$ cm nên $r=2\sqrt3$ cm. Diện tích hình tròn nội tiếp bằng $\pi r^2=12\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Phân biệt diện tích tam giác và hình tròn.

Ví dụ 7. Hiệu hai bán kính

Thử thách

Đề bài

Tam giác đều có $R-r=5$ cm. Tính cạnh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R=2r$ nên $r=5$ cm và $a=10\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

Hiệu bằng chính bán kính nhỏ.

Ví dụ 8. Tỉ số diện tích hai đĩa

Thử thách

Đề bài

Tìm tỉ số diện tích hình tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đều.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R=2r$ nên $\pi R^2/(\pi r^2)=4$. Đĩa ngoại tiếp có diện tích gấp bốn lần đĩa nội tiếp.

Cách tự kiểm

Tỉ số diện tích là bình phương tỉ số bán kính.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
  • Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Tam giác đều cạnh $12$ cm. Tính bán kính nội tiếp.

    Gợi ý bài 1

    Dùng $r=a\sqrt3/6$.

  2. Tam giác đều có đường cao $15$ cm. Tính $r,R$.

    Gợi ý bài 2

    Bán kính nội tiếp bằng $h/3$, ngoại tiếp bằng $2h/3$.

  3. Giải thích công thức $r=a\sqrt3/6$ bằng tỉ lệ trọng tâm trên đường cao.

    Gợi ý bài 3

    Tâm là trọng tâm, cách đáy một phần ba đường cao.

  4. Tam giác đều có bán kính nội tiếp $3$ cm. Tìm cạnh và bán kính ngoại tiếp.

    Gợi ý bài 4

    Đảo công thức $a=2\sqrt3r$ và dùng $R=2r$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $r=12\sqrt3/6=2\sqrt3$ cm.

  2. $r=15/3=5$ cm; $R=2\cdot15/3=10$ cm.

  3. Tâm là trọng tâm, cách đáy $h/3$; thay $h=a\sqrt3/2$ được $r=a\sqrt3/6$.

  4. $a=6r/\sqrt3=6\sqrt3$ cm; $R=2r=6$ cm.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Tam giác đều cạnh $10\sqrt3$ cm. Tính $r$.

    Gợi ý bài 5

    Giữ phân số cho tới khi rút gọn.

  2. $r=2{,}8$ cm. Tính đường cao tam giác đều.

    Gợi ý bài 6

    Bán kính nội tiếp không bằng nửa đường cao.

  3. Tam giác đều có $R=11$ cm. Tính $r$.

    Gợi ý bài 7

    Hai tâm trùng nhau nhưng bán kính khác nhau.

  4. $r=\sqrt3$ cm. Tính chu vi tam giác đều.

    Gợi ý bài 8

    Cạnh gấp $2\sqrt3$ lần bán kính nội tiếp.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $r=10\sqrt3\cdot\sqrt3/6=5$ cm.

  2. $h=3r=8{,}4$ cm.

  3. $r=R/2=5{,}5$ cm.

  4. $a=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$ cm, nên chu vi $18$ cm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Tam giác đều có $S=48\sqrt3$ cm$^2$. Tính $r$.

    Gợi ý bài 9

    Kiểm $S=3\sqrt3r^2$.

  2. Tam giác đều có bán kính nội tiếp $6$ cm. Khoảng cách từ tâm tới đỉnh bằng bao nhiêu?

    Gợi ý bài 10

    Đích tới đỉnh phân biệt với đích tới cạnh.

  3. Bạn viết $r=a\sqrt3/3$ cho tam giác đều. Giá trị đó thực ra là gì?

    Gợi ý bài 11

    So sánh vị trí tâm trên đường cao.

  4. Tam giác đều có $R+r=18$ cm. Tính cạnh và đường cao.

    Gợi ý bài 12

    Tổng $R+r$ đúng bằng đường cao.

  5. Chứng minh $S=3\sqrt3r^2$.

    Gợi ý bài 13

    Đại lượng bậc hai theo bán kính phù hợp đơn vị diện tích.

  6. Chứng minh chu vi $p=6\sqrt3r$ và suy ra $S=pr/2$.

    Gợi ý bài 14

    Công thức thứ hai đúng với mọi tam giác, không riêng tam giác đều.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. $a^2=192$, $a=8\sqrt3$ cm; do đó $r=4$ cm.

  2. Khoảng cách ấy là bán kính ngoại tiếp $R=12$ cm.

  3. Đó là bán kính ngoại tiếp $R$. Bán kính nội tiếp đúng là $r=a\sqrt3/6=R/2$.

  4. $3r=18$ nên $r=6$ cm; $a=12\sqrt3$ cm và $h=18$ cm.

  5. $a=2\sqrt3r$ nên $S=a^2\sqrt3/4=12r^2\sqrt3/4=3\sqrt3r^2$.

  6. $p=3a=6\sqrt3r$. Vì nửa chu vi $s=p/2$, công thức chung $S=rs$ trở thành $S=pr/2$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Muốn một đường tròn bán kính $5$ cm nội tiếp một tam giác đều. Tìm cạnh và chu vi tam giác cần dựng.

    Gợi ý bài 15

    Chỉ số đo cạnh chưa mô tả vị trí; cần đặt đúng tâm.

  2. Hai đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác đều có hiệu diện tích $27\pi$ cm$^2$. Tìm $r,R$.

    Gợi ý bài 16

    Không lấy nghiệm âm vì là bán kính.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Cần $a=10\sqrt3$ cm và chu vi $30\sqrt3$ cm. Tâm đường tròn trùng tâm tam giác; các cạnh là ba tiếp tuyến tại các điểm cách đều trên đường tròn.

  2. $\pi(R^2-r^2)=3\pi r^2=27\pi$, nên $r^2=9$. Lấy nghiệm dương được $r=3$ cm, $R=6$ cm.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án