Tính diện tích xung quanh hình trụ

Hình trụ và các phép tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-40-B2

Khai triển mặt cong của hình trụ tạo một hình chữ nhật. Ta chọn đúng phần bề mặt cần phủ, rồi thêm đáy hoặc mép dán nếu đề yêu cầu.

Sau bài này, em có thể:

• Tính diện tích xung quanh hình trụ
• Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.

Cần biết trước: Mô-đun 36; chu vi, diện tích hình tròn và hình chữ nhật.

1. Kiến thức và phương pháp

Mặt xung quanh hình trụ đứng khai triển thành chữ nhật có một cạnh là chu vi đáy $2\pi r$ và cạnh kia là $h$. Vì vậy

Trụ kín hai đáy có $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2$; trụ hở một đáy chỉ cộng một diện tích đáy.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Mặt cong trực tiếp

Làm quen

Đề bài

$r=6,h=10$ cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải và cách suy nghĩ

$S_{xq}=2\pi\cdot6\cdot10=120\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Đơn vị bình phương.

Ví dụ 2. Đường kính cho trước

Làm quen

Đề bài

$d=10,h=7$ cm. Tính $S_{xq}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=5$ cm nên $S_{xq}=70\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Cũng có thể dùng $S_{xq}=\pi dh$.

Ví dụ 3. Khai triển giải thích

Vận dụng

Đề bài

Vì sao chiều ngang tấm nhãn quanh trụ bằng chu vi đáy?

Lời giải và cách suy nghĩ

Khi cuộn chữ nhật một vòng vừa khít, hai mép dọc trùng nhau; chiều ngang đi đúng một vòng đáy, dài $2\pi r$. Chiều dọc bằng $h$, nên diện tích $2\pi rh$.

Cách tự kiểm

Giả thiết bỏ mép chồng lấn trong công thức cơ bản.

Ví dụ 4. Trụ kín hai đáy

Vận dụng

Đề bài

$r=3,h=8$ cm, bịt cả hai đáy. Tính tổng diện tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mặt cong $48\pi$, hai đáy $18\pi$, tổng $66\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Phần mặt cong không thay khi thêm nắp.

Ví dụ 5. Hở một đáy

Nâng cao

Đề bài

Hộp trụ không nắp có $r=4,h=6$ cm. Tính diện tích vật liệu lý tưởng, bỏ độ dày và mép.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mặt cong $48\pi$, một đáy $16\pi$, tổng $64\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Không cộng đáy thứ hai khi hộp không nắp.

Ví dụ 6. Nhãn có mép dán

Nâng cao

Đề bài

Hộp trụ $r=3,h=10$ cm. Nhãn chữ nhật cần chồng mép $1$ cm theo chiều ngang. Tính diện tích nhãn.

Lời giải và cách suy nghĩ

Chiều ngang $6\pi+1$ cm, dọc $10$ cm, diện tích $60\pi+10$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Mép dán thêm thành một hình chữ nhật, không thêm vào bán kính.

Ví dụ 7. Bán kính gấp đôi

Thử thách

Đề bài

Giữ $h$, tăng $r$ gấp đôi. $S_{xq}$ và diện tích một đáy đổi thế nào?

Lời giải và cách suy nghĩ

Mặt cong gấp $2$ vì tỉ lệ $r$; diện tích đáy gấp $4$ vì tỉ lệ $r^2$.

Cách tự kiểm

Không áp cùng tỉ lệ cho mọi loại diện tích trong thay đổi không đồng dạng.

Ví dụ 8. Cùng thể tích chưa cùng mặt cong

Thử thách

Đề bài

Hai trụ có $(r,h)=(2,8)$ và $(4,2)$ cm. So $V$ và $S_{xq}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cả hai có $V=32\pi$ cm$^3$. Mặt cong lần lượt $32\pi,16\pi$ cm$^2$, khác nhau.

Cách tự kiểm

Cùng thể tích không xác định cùng diện tích bao quanh.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
• Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hình trụ $r=4,h=9$ cm. Tính diện tích xung quanh.

   Gợi ý bài 1

   Nhân chu vi đáy với chiều cao.

2. Hình trụ đường kính $6$ cm, $h=10$ cm. Tính $S_{xq}$.

   Gợi ý bài 2

   Đổi đường kính thành bán kính.

3. Giải thích $S_{xq}=2\pi rh$ bằng hình chữ nhật khai triển.

   Gợi ý bài 3

   Chữ nhật khai triển có cạnh $2\pi r,h$.

4. Hình trụ $r=2,h=5$ cm được bịt hai đáy. Tính tổng diện tích bề mặt.

   Gợi ý bài 4

   Cộng hai diện tích đáy vào diện tích mặt cong.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $S_{xq}=2\pi\cdot4\cdot9=72\pi$ cm$^2$.

2. $r=3$ cm; $S_{xq}=60\pi$ cm$^2$.

3. Một cạnh bằng chu vi đáy $2\pi r$, cạnh kia bằng đường sinh $h$; diện tích tích hai cạnh là $2\pi rh$.

4. $S_{xq}=20\pi$ cm$^2$; hai đáy $8\pi$ cm$^2$; tổng $28\pi$ cm$^2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. $r=5,h=12$ cm. Tính $S_{xq}$.

   Gợi ý bài 5

   $2\cdot5\cdot12=120$.

6. $d=8,h=15$ cm. Tính $S_{xq}$.

   Gợi ý bài 6

   Đường kính dùng với công thức $\pi dh$.

7. $r=2,h=9$ cm. Tính diện tích toàn phần trụ kín.

   Gợi ý bài 7

   Có hai đáy bằng nhau.

8. Ống trụ mỏng $r=7,h=4$ cm, bỏ độ dày và không có đáy. Tính diện tích mặt cong.

   Gợi ý bài 8

   Không cộng diện tích hai lỗ rỗng.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $120\pi$ cm$^2$.

6. $S_{xq}=\pi\cdot8\cdot15=120\pi$ cm$^2$.

7. $36\pi+8\pi=44\pi$ cm$^2$.

8. $56\pi$ cm$^2$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. $r=0{,}1$ m, $h=30$ cm. Tính $S_{xq}$ theo cm$^2$.

   Gợi ý bài 9

   Không nhân $0{,}1$ với $30$ khi đơn vị khác.

10. Hai kích thước $r,h$ cùng nhân $3$. Mặt cong đổi thế nào?

    Gợi ý bài 10

    Đây là thay đổi đồng dạng, cả hai độ dài đều nhân $3$.

11. Bán kính nhân $2$, chiều cao chia $2$. $S_{xq}$ đổi không?

    Gợi ý bài 11

    Giữ một diện tích không đồng nghĩa giữ mọi đại lượng.

12. Khi nào $S_{xq}$ bằng tổng diện tích hai đáy?

    Gợi ý bài 12

    Không nhầm với điều kiện $h=2r$.

13. Khi nào $S_{xq}=\pi r^2$?

    Gợi ý bài 13

    Phân biệt một đáy với hai đáy.

14. Biết $r,h$ nhưng đề chỉ hỏi vật liệu làm hộp mà không nói có nắp. Có xác định duy nhất không?

    Gợi ý bài 14

    Không tự thêm nắp hoặc đáy bị thiếu trong mô tả.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $r=10$ cm, nên $S_{xq}=600\pi$ cm$^2$.

10. $S^{\prime}_{xq}=2\pi(3r)(3h)=9S_{xq}$.

11. Không vì tích $rh$ giữ nguyên. Thể tích lại nhân $2$ vì chứa $r^2h$.

12. $2\pi rh=2\pi r^2$. Vì $r>0$, chia $2\pi r$ được $h=r$.

13. $2\pi rh=\pi r^2$ cho $h=r/2$.

14. Chưa. Hộp kín dùng $2\pi rh+2\pi r^2$; không nắp dùng $2\pi rh+\pi r^2$. Cần xác nhận loại bề mặt.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tấm chữ nhật $12\times18$ cm cuộn một vòng không chồng mép theo hai cách. Hai diện tích mặt cong có khác không?

    Gợi ý bài 15

    Giữ cùng diện tích tấm không giữ cùng bán kính và thể tích.

16. Hình trụ kín có $h=3r$. Tính tỉ số $S_{xq}/S_{tp}$.

    Gợi ý bài 16

    Bán kính dương cho phép rút gọn.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Không, đều bằng diện tích tấm $216$ cm$^2$. Nhưng chu vi đáy có thể $12$ hoặc $18$ cm và chiều cao tương ứng $18$ hoặc $12$ cm, nên hai trụ khác kích thước.

16. $S_{xq}=6\pi r^2$, $S_{tp}=8\pi r^2$, nên tỉ số bằng $3/4$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.