Tính tang và côtang bằng máy tính cầm tay
Máy tính lượng giác và độ chính xác · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-23-B3
Tang và côtang được tính qua hai cạnh góc vuông. Trên máy không có phím côtang riêng, em có thể tính nghịch đảo của tang với ngoặc đầy đủ.
Sau bài này, em có thể:
- Tính tang và côtang bằng biểu thức nhập hợp lí.
- Kiểm nghịch đảo, góc phụ và ảnh hưởng của làm tròn sớm.
Cần biết trước: Mô-đun 22; máy tính cầm tay ở chế độ độ.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Chọn Degree; nhập tan của góc. Để tính côtang góc nhọn $\alpha$, dùng $1/\tan\alpha$ và bảo đảm toàn bộ tan ở mẫu. Kí hiệu hàm ngược $\tan^{-1}$ dùng tìm góc, không phải côtang. Tang, côtang của góc nhọn đều dương, có thể lớn hơn 1. Giữ đủ chữ số khi lấy nghịch đảo.
Tên menu và phím thay đổi theo loại máy. Đối chiếu mục đơn vị góc trong hướng dẫn chính thức của Casio; bài này mô tả ý nghĩa và biểu thức nhập, không ấn định một chuỗi phím cho mọi máy.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tang một góc nhọn
Cơ bản
Đề bài
Tính $\tan32^\circ$ đến 4 chữ số thập phân.
Lời giải và cách suy nghĩ
Trong Degree, nhập tan(32); giá trị tham khảo 0,6248694..., làm tròn $0{,}6249$.
Cách tự kiểm
Góc nhỏ hơn $45^\circ$ nên cạnh đối ngắn hơn kề và tang nhỏ hơn 1.
Ví dụ 2. Côtang bằng nghịch đảo
Cơ bản
Đề bài
Tính $\cot55^\circ$ đến 4 chữ số thập phân.
Lời giải và cách suy nghĩ
Nhập $1/(\tan55^\circ)$ trong Degree. Giá trị gần 0,7002075, làm tròn $0{,}7002$.
Cách tự kiểm
Không nhập tan(1/55) và không dùng hàm arctan.
Ví dụ 3. Góc phụ để kiểm
Vận dụng
Đề bài
So sánh $\tan12^\circ$ và $\cot78^\circ$ đến 4 chữ số.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hai góc phụ nên hai giá trị bằng nhau. Giá trị tham khảo gần 0,2125566, cùng làm tròn thành 0,2126.
Cách tự kiểm
Đẳng thức chính xác đến từ góc phụ; phép tính chỉ đối chiếu.
Ví dụ 4. Tang lớn hơn 1
Vận dụng
Đề bài
Tính $\tan67^\circ$ đến 3 chữ số thập phân và kiểm tính hợp lí.
Lời giải và cách suy nghĩ
Giá trị gần 2,3558524, nên ghi $2{,}356$. Góc $67^\circ$ lớn hơn $45^\circ$ nên cạnh đối lớn hơn kề, tang lớn hơn 1 là hợp lí.
Cách tự kiểm
Không bác kết quả vì áp nhầm miền $(0,1)$ của sin/côsin.
Ví dụ 5. Đừng lấy nghịch đảo số đã làm tròn quá sớm
Nâng cao
Đề bài
Để tính $\cot80^\circ$, bạn lấy $\tan80^\circ$ gần 5,7 rồi nghịch đảo. So với việc giữ đủ số.
Lời giải và cách suy nghĩ
Cách làm sớm cho $1/5{,}7\approx0{,}1754386$, còn dùng đủ số cho $\cot80^\circ$ gần 0,1763270. Đến 4 chữ số, hai kết quả 0,1754 và 0,1763 khác nhau.
Cách tự kiểm
Lấy nghịch đảo có thể làm sai số thay đổi; cần tính toàn biểu thức trong máy.
Ví dụ 6. So thay đổi trong hai khoảng
Nâng cao
Đề bài
Tính gần đúng $\tan81^\circ-\tan80^\circ$ và $\tan31^\circ-\tan30^\circ$. Rút nhận xét có giới hạn.
Lời giải và cách suy nghĩ
Hiệu thứ nhất gần $0{,}6425$; hiệu thứ hai gần $0{,}0235$. Cùng tăng $1^\circ$ nhưng hai giá trị tang thay đổi khác nhau. Đây là hai minh họa số, không phải chứng minh đầy đủ một quy luật cho mọi khoảng.
Cách tự kiểm
Không giả định tang tăng một lượng cố định theo mỗi độ.
Ví dụ 7. Nhận diện biểu thức sai
Nâng cao
Đề bài
Bạn muốn $\cot35^\circ$ nhưng nhập tan(35) rồi lấy hàm ngược của kết quả. Phép đó cho gì?
Lời giải và cách suy nghĩ
Trong miền góc nhọn và chế độ Degree, arctan($\tan35^\circ$) cho lại $35^\circ$. Đó là số đo góc, không phải $\cot35^\circ$ gần 1,4281. Cần nhập nghịch đảo của giá trị tang.
Cách tự kiểm
Phân biệt phép tìm góc với phép tính một tỉ số.
Ví dụ 8. Một phương trình nghịch đảo
Thử thách
Đề bài
Góc nhọn $\alpha$ có $\tan\alpha=t>0$. Nếu máy hiển thị $t$ làm tròn thành 0,25, có thể kết luận côtang chính xác 4 không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Bản ghi 0,25 có thể đến từ các $t$ gần 0,25 mà không bằng nó. Côtang là $1/t$, nên cũng chỉ có thể ước lượng từ bản ghi đó. Nếu đề cho $t=1/4$ chính xác, khi ấy mới kết luận côtang đúng 4.
Cách tự kiểm
Sai khác về tính chính xác của dữ kiện làm đổi mức kết luận.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm hàm arctan với côtang.
- Đặt nghịch đảo trong đối số của tan.
- Cho rằng tang cũng phải nhỏ hơn 1.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Dùng máy tính $\tan25^\circ$, làm tròn 4 chữ số thập phân.
Gợi ý bài 1
Degree và tan(25).
-
Tính $\cot40^\circ$ bằng nghịch đảo tang đến 4 chữ số.
Gợi ý bài 2
Nhập $1/(\tan40^\circ)$.
-
Đối chiếu $\tan20^\circ$ và $\cot70^\circ$ đến 4 chữ số.
Gợi ý bài 3
Hai góc phụ nhau.
-
Bạn tính $\cot35^\circ$ bằng tan của góc $1/35$ độ. Sửa cách nhập.
Gợi ý bài 4
Nghịch đảo giá trị khác nghịch đảo góc.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Giá trị tham khảo 0,4663077..., nên ghi $\tan25^\circ\approx0{,}4663$; thao tác thực ghi theo thiết bị đã dùng.
-
Giá trị gần 1,1917536..., làm tròn thành 1,1918. Phải giữ đầy đủ ngoặc cho mẫu.
-
Hai giá trị gần 0,3639702, cùng làm tròn thành 0,3640. Quan hệ góc phụ giải thích chúng bằng nhau.
-
Phải tính $1/(\tan35^\circ)$, giá trị gần 1,4281. tan của $1/35$ độ là phép tính khác.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Tính $\tan47^\circ$ đến 4 chữ số thập phân.
Gợi ý bài 5
Kết quả có thể lớn hơn 1.
-
Tính $\cot72^\circ$ đến 3 chữ số thập phân.
Gợi ý bài 6
Có thể kiểm bằng $\tan18^\circ$.
-
Tính tích $\tan38^\circ$ vàcot $38^\circ$ chính xác, rồi mô tả vai trò máy tính.
Gợi ý bài 7
Hai tỉ số nghịch đảo.
-
Một máy cho $\tan15^\circ$ gần 0,2679492. Tính $\cot15^\circ$ đến 4 chữ số bằng cách giữ đủ số.
Gợi ý bài 8
Dùng nghịch đảo trước làm tròn.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Giá trị gần 1,0723687, làm tròn thành 1,0724.
-
$\cot72^\circ$ bằng $\tan18^\circ$, giá trị gần 0,3249197, làm tròn thành 0,325.
-
Tích chính xác bằng 1. Máy có thể đối chiếu gần 1 nếu các số đã làm tròn; không cần máy để chứng minh.
-
$\cot15^\circ$ gần 3,7320508, làm tròn thành 3,7321. Không lấy nghịch đảo của 0,27 nếu cần 4 chữ số.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Kết quả tan của góc nhọn ghi $-0{,}8$. Nêu hai bước kiểm, không tự lấy trị tuyệt đối.
Gợi ý bài 9
Tang là thương hai cạnh dương.
-
Tại sao $\tan^{-1}(2)$ và $1/\tan2^\circ$ không cùng loại đại lượng?
Gợi ý bài 10
Một phép trả về góc, một phép trả về tỉ số.
-
Chỉ từ bản ghi tan một góc bằng 0,3333 đến 4 chữ số, có kết luận côtang bằng 3 chính xác không?
Gợi ý bài 11
Xét tính chính xác của tỉ số được cho.
-
Một bạn tính $\cot60^\circ$ gần 0,5774 rồi nói bằngsin $30^\circ$ do hai góc phụ. Chỉ ra hai lỗi.
Gợi ý bài 12
Quan hệ đúng giữa côtang và hàm nào ở góc phụ?
-
Cho tỉ số $t$ chính xác trong khoảng $[2;4]$. Chứng minh $1/t$ nằm trong khoảng nào mà không dùng máy.
Gợi ý bài 13
Nghịch đảo đảo thứ tự hai số dương.
-
Tính $\tan60^\circ$ và $\cot30^\circ$ bằng máy đến 4 chữ số; liệu sự bằng nhau của số ghi có tự chứng minh đẳng thức không?
Gợi ý bài 14
Có một quan hệ hình học độc lập với máy.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
Kiểm đơn vị Degree và đối số có đúng góc nhọn dương; kiểm không nhập dấu âm hoặc hàm khác. Số âm không phù hợp định nghĩa đang dùng, nhưng chưa xác định được duy nhất nguyên nhân.
-
Hàm ngược tìm góc có tang 2, gần $63{,}4^\circ$. Nghịch đảo $\tan2^\circ$ là $\cot2^\circ$, một số không đơn vị. Kí hiệu mũ $-1$ trên hàm máy không được hiểu tùy tiện thành nghịch đảo giá trị.
-
Không.0,3333 là bản làm tròn; tỉ số thật có thể khác $\frac{1}{3}$. Cần dữ kiện chính xác hoặc thêm chữ số, và kết luận côtang cũng phải theo mức gần đúng thích hợp.
-
$\cot60^\circ$ bằngtan $30^\circ$, không bằngsin $30^\circ$. $\sin30^\circ$ bằng $\frac{1}{2}$, khác $\sqrt3/3$. Ngoài ra 0,5774 là gần đúng, không phải giá trị chính xác.
-
Từ $2\le t\le4$ suy ra $1/4\le1/t\le1/2$. Đây là một chặn cho côtang nếu $t$ là tang, không cần biết số đo góc.
-
Cả hai gần 1,7321. Đẳng thức chính xác do hai góc phụ, cùng bằng $\sqrt3$; số làm tròn bằng nhau chỉ là kiểm tra, không tự là chứng minh.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Một tang $t>0$ được làm tròn đến 2 chữ số thành 1,00. Có thể suy góc chính xác $45^\circ$ không? Cho một tỉ số khác 1 vẫn cùng bản ghi.
Gợi ý bài 15
Chọn $t=1{,}004$.
-
Cho $t>0$ và $|t-1|\le0{,}01$. Chứng minh $|1/t-1|\le1/99$. Giải thích ý nghĩa với côtang.
Gợi ý bài 16
Viết sai số nghịch đảo dưới dạng $|1-t|/t$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
Không. $1{,}004$ cũng làm tròn thành 1,00 nhưng khác 1. Dựng tam giác vuông kề 1, đối 1,004 cho một góc nhọn có tang ấy; góc không $45^\circ$ vì hai cạnh không bằng nhau.
-
Vì $t\ge0{,}99$, có $|1/t-1|=|1-t|/t\le0{,}01/0{,}99=1/99$. Nếu tang nằm gần 1 trong chặn đã cho, côtang cũng gần 1 nhưng chặn sai số không hoàn toàn giống 0,01.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.