Tính xác suất bằng bảng hoặc sơ đồ – lớp 9

Kiểm đếm và xác suất biến cố · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-53-B4

Bảng hoặc sơ đồ biến bài toán xác suất thành kiểm các ô hợp lệ. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

• Tính xác suất bằng bảng hoặc sơ đồ kết quả.
• Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
• Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 52; chỉ dùng tỉ số đếm khi các kết quả sơ cấp đồng khả năng.

1. Kiến thức và phương pháp

Bảng hoặc sơ đồ biến bài toán xác suất thành kiểm các ô hợp lệ. Đổi điều kiện như không hoàn lại có thể loại cả ô thuận lợi lẫn ô không thuận lợi; phải tính lại tử và mẫu.

Trong bài này, trừ khi nói rõ khác, hai xu hoặc hai xúc xắc đều công bằng và độc lập; rút thẻ là chọn đều ở mỗi lần, có hoặc không hoàn lại theo đúng đề.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai ô đường chéo của bảng xu

Cơ bản

Đề bài

Dùng bảng hai xu công bằng độc lập, tính xác suất hai mặt giống nhau.

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=2/4=1/2$. Bảng giúp thấy SN và NS là hai ô khác nhau.

Cách tự kiểm

Bốn ô SS,SN,NS,NN, hai ô đường chéo thuận lợi.

Ví dụ 2. Hai tổng cực trị

Cơ bản

Đề bài

Dùng bảng hai xúc xắc công bằng độc lập, tính xác suất tổng $2$ hoặc $12$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thuận lợi $(1;1),(6;6)$, nên $P=2/36=1/18$.

Cách tự kiểm

Chỉ hai góc bảng có tổng nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Ví dụ 3. Đường các ô tổng tám

Vận dụng

Đề bài

Đếm các ô tổng $8$ của bảng $6\times6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cặp $(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)$, có $5$. Với xúc xắc công bằng độc lập, xác suất $5/36$.

Cách tự kiểm

Với số đầu $i$, kiểm $8-i$ có trong $1$ đến $6$ không.

Ví dụ 4. Vì sao không đếm các tổng đều nhau

Vận dụng

Đề bài

Vì sao không dùng $11$ tổng từ $2$ đến $12$ làm $11$ kết quả đồng khả năng?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng $2$ có một ô, tổng $7$ có sáu ô. Hai tổng có xác suất $1/36$ và $1/6$, không bằng nhau.

Cách tự kiểm

So số ô cho tổng $2$ với tổng $7$.

Ví dụ 5. Đường chéo của bảng xúc xắc

Vận dụng

Đề bài

Trong bảng hai xúc xắc, xác suất hai số bằng nhau là bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=6/36=1/6$ theo mô hình công bằng độc lập.

Cách tự kiểm

Đường chéo có sáu ô.

Ví dụ 6. Phía tăng của bảng

Nâng cao

Đề bài

Trong bảng hai xúc xắc, xác suất số đầu nhỏ hơn số sau?

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=15/36=5/12$. Sáu ô bằng nhau không thuộc hai phần tăng/giảm.

Cách tự kiểm

Có $15$ ô phía trên đường chéo.

Ví dụ 7. Ba ô tổng bốn

Nâng cao

Đề bài

Bảng rút hai lần từ $1,2,3$, có hoàn lại và chọn đều độc lập. Xác suất tổng $4$?

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=3/9=1/3$.

Cách tự kiểm

Có chín ô, thuận lợi $(1;3),(2;2),(3;1)$.

Ví dụ 8. Bỏ đường chéo làm đổi hai số đếm

Thử thách

Đề bài

Đổi bảng trên thành không hoàn lại. Xác suất tổng $4$ thay đổi thế nào?

Lời giải và cách suy nghĩ

Còn sáu ô và hai thuận lợi, xác suất $2/6=1/3$. Giá trị tình cờ giữ nguyên, nhưng cả tử và mẫu đã đổi; không suy mọi biến cố đều giữ xác suất.

Cách tự kiểm

Bỏ ba ô đường chéo, trong đó một ô thuận lợi $(2;2)$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
• Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
• Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Hai xu công bằng độc lập được biểu diễn bằng bảng $2\times2$. Tô các ô cùng mặt và tính xác suất hai mặt giống nhau.

   Gợi ý bài 1

   Hai ô đường chéo trong bảng $2\times2$.

2. Gieo hai xúc xắc công bằng độc lập. Dùng bảng cặp để tìm xác suất tổng bằng $2$ hoặc $12$.

   Gợi ý bài 2

   Chỉ hai góc $(1;1),(6;6)$ thuận lợi.

3. Gieo hai xúc xắc công bằng độc lập. Lập bảng hoặc chia theo xúc xắc đầu để đếm cặp có tổng bằng $8$, rồi tính xác suất.

   Gợi ý bài 3

   Mỗi hàng kiểm số còn lại để tổng $8$.

4. Một bạn dùng $11$ tổng từ $2$ đến $12$ làm $11$ kết quả đồng khả năng. Chỉ ra bằng bảng vì sao xác suất tổng $2$ không bằng xác suất tổng $7$.

   Gợi ý bài 4

   So số ô tạo tổng $2$ với tổng $7$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Thuận lợi $SS,NN$, có $2$ trên $4$ kết quả, nên $P=\frac12$.

2. Hai cặp thuận lợi $(1;1),(6;6)$ trên $36$ kết quả, nên $P=\frac2{36}=\frac1{18}$.

3. Thuận lợi $(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)$, có $5$ trên $36$ kết quả, nên $P=\frac5{36}$. Hàng thứ nhất không có cặp đạt tổng $8$.

4. Tổng $2$ chỉ có $(1;1)$, nên xác suất bằng $\frac1{36}$. Tổng $7$ có $6$ cặp, nên xác suất bằng $\frac6{36}=\frac16$. Các tổng không đồng khả năng; $11$ nhãn tổng không thể dùng làm mẫu số đếm đều.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Bảng hai xúc xắc, xác suất tổng $3$?

   Gợi ý bài 5

   Có hai ô $(1;2),(2;1)$.

6. Bảng hai xu, xác suất khác mặt?

   Gợi ý bài 6

   Hai ô ngoài đường chéo.

7. Bảng hai xúc xắc, xác suất tổng lớn hơn $10$?

   Gợi ý bài 7

   Các tổng $11,12$ có hai và một ô.

8. Bảng chọn hai lần đều độc lập từ $1,2,3,4$, xác suất hai số bằng nhau?

   Gợi ý bài 8

   Bốn ô đường chéo trên $16$ ô.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $P=2/36=1/18$.

6. $P=2/4=1/2$ nếu hai xu công bằng độc lập.

7. $P=3/36=1/12$.

8. $P=4/16=1/4$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Bảng hai xúc xắc, xác suất hiệu tuyệt đối bằng $3$?

   Gợi ý bài 9

   Có ba cặp tăng cách nhau ba và ba cặp đảo.

10. Bảng hai xúc xắc, xác suất tích lẻ?

    Gợi ý bài 10

    Hai số đều lẻ, mỗi vị trí có ba lựa chọn.

11. Bảng hai xúc xắc, xác suất tổng chia hết cho $3$?

    Gợi ý bài 11

    Phân loại mỗi số theo dư $0,1,2$; mỗi loại có hai mặt.

12. Bảng hai xúc xắc, xác suất tích chia hết cho $3$?

    Gợi ý bài 12

    Phần bù là cả hai số không chia hết cho $3$.

13. Bảng hai xúc xắc, xác suất tổng chẵn và có ít nhất một số $6$?

    Gợi ý bài 13

    Hàng $6$ và cột $6$ chỉ nhận số còn lại chẵn, tránh lặp góc.

14. Bảng rút không hoàn lại hai thẻ từ $1$ đến $5$, xác suất hai số cùng tính chẵn/lẻ?

    Gợi ý bài 14

    Có $20$ ô hợp lệ; đếm riêng lẻ–lẻ, chẵn–chẵn.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Sáu thuận lợi, $P=6/36=1/6$.

10. Có chín ô, $P=9/36=1/4$. Phần bù tích chẵn có xác suất $3/4$.

11. Ba cặp lớp dư $(0;0),(1;2),(2;1)$, mỗi lớp cho bốn ô, tổng $12$. Xác suất $12/36=1/3$.

12. Mỗi xúc xắc có bốn mặt không chia hết cho $3$; phần bù $16$ ô. Thuận lợi $20$, nên $P=20/36=5/9$.

13. Có $3+3-1=5$ ô thuận lợi, $P=5/36$.

14. Có $3\cdot2+2\cdot1=8$ ô, xác suất $8/20=2/5$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Bảng chọn đều độc lập hai lần từ $1$ đến $n$, có hoàn lại. Xác suất hai số bằng nhau là $1/6$. Tìm kích thước bảng.

    Gợi ý bài 15

    Đường chéo có $n$ ô trên $n^2$.

16. Bảng chọn đều hai lần không hoàn lại từ $1$ đến $n$, $n\ge2$. Chứng minh xác suất số đầu nhỏ hơn số sau bằng $1/2$ mà không cần viết từng ô.

    Gợi ý bài 16

    Đổi thứ tự ghép mỗi ô tăng với đúng một ô giảm; không có đường chéo.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $P=1/n=1/6$ nên $n=6$, bảng $6\times6$. Điều kiện đồng khả năng của các ô phải được xác nhận.

16. Phép ghép $(i;j)\leftrightarrow(j;i)$ là một đối ứng giữa hai tập thuận lợi tăng/giảm. Chúng chia toàn bộ các ô hợp lệ thành hai phần bằng nhau, nên xác suất mỗi phần là $1/2$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.