Tự kiểm hình khối và biểu đồ dữ liệu lớp 9
Tổng hợp lớp 9 và tìm hiểu nghề nghiệp · Toán lớp 9
Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-60-B3
Bài tổng kết nối hai kiểu dữ liệu: kích thước của hình khối và bảng/biểu đồ thống kê. Mỗi câu trả lời cần đúng công thức, đơn vị và phạm vi thông tin được cung cấp.
Sau bài này, em có thể:
- Tự kiểm diện tích, thể tích và dữ kiện hình khối.
- Đọc bảng nhóm, khôi phục dữ liệu và phân biệt điều chắc chắn với điều chưa biết.
Cần biết trước: Các mô-đun đã học; chỉ tổ chức giao lưu khi có điều kiện, không ghi nhận sự kiện chưa diễn ra.
Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.
Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Kiến thức và phương pháp
Thể tích trụ, nón và cầu lần lượt là $\pi r^2h$, $\pi r^2h/3$, $4\pi r^3/3$; mặt cầu có diện tích $4\pi r^2$. Với dữ liệu nhóm, tổng tần số bằng cỡ mẫu; tần số tương đối cần cùng mẫu số và chỉ cho thông tin ở mức nhóm, không tự xác định từng quan sát trong khoảng.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Ba thể tích, một bán kính
Cơ bản
Đề bài
Trụ và nón cùng $r=3,h=4$ cm; cầu $r=3$ cm. Tính và so ba thể tích.
Lời giải và cách suy nghĩ
Trụ $36\pi$, nón $12\pi$, cầu $36\pi$ cm$^3$. Nón nhỏ nhất; cầu bằng trụ trong bộ kích thước này.
Cách tự kiểm
Tỉ số nón/trụ $1/3$ dùng đúng cùng r,h.
Ví dụ 2. Diện tích mặt cầu khác đĩa tròn
Vận dụng
Đề bài
Cầu $r=5$ cm, một bạn tính diện tích bằng $25\pi$. Sửa.
Lời giải và cách suy nghĩ
$25\pi$ cm$^2$ là diện tích đĩa bán kính $5$. Mặt cầu có diện tích $4\pi r^2=100\pi$ cm$^2$.
Cách tự kiểm
Xác định đối tượng trước khi chọn công thức.
Ví dụ 3. Hai nhóm không chồng lấn
Vận dụng
Đề bài
Mẫu $40$ quan sát, nhóm $[0;10)$ có $16$, nhóm $[10;20]$ có $24$. Tính tỉ lệ và xếp hai giá trị $10,20$.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tỉ lệ $40\%,60\%$ tổng $100\%$. Cả $10$ và $20$ thuộc nhóm hai; nhóm một loại $10$, nhóm cuối nhận $20$.
Cách tự kiểm
Đọc cả hai dấu ngoặc.
Ví dụ 4. Nhãn quạt vượt tổng
Vận dụng
Đề bài
Ba nhóm bao hết mẫu, không trùng nhau, ghi $35\%,40\%,30\%$. Nếu hai số đầu đúng, sửa số cuối theo mô hình.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tổng hiện $105\%$. Phần cuối phải $100-35-40=25\%$. Với biểu đồ thật cần xác minh điều hai nhãn đầu đúng, không tự sửa dựa vào tổng.
Cách tự kiểm
Điều kiện thêm quyết định ô nào được suy ngược.
Ví dụ 5. Nhóm không cho từng giá trị
Vận dụng
Đề bài
Có $20$ quan sát trong $[10;20)$. Có suy đúng $20$ quan sát bằng $15$ không?
Lời giải và cách suy nghĩ
Không. Có thể mọi quan sát bằng $15$, cũng có thể đều bằng $12$. Chỉ biết số thuộc khoảng, không biết tần số từng giá trị.
Cách tự kiểm
Một giá trị trung điểm không thay toàn bộ dữ liệu.
Ví dụ 6. Cỡ mẫu từ góc quạt
Nâng cao
Đề bài
Một nhóm $18$ người ứng với quạt $108^\circ$. Tìm tổng số người và kiểm.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tỉ lệ $108/360=0{,}3$, nên tổng $N=18/0{,}3=60$. Kiểm $18/60=30\%$.
Cách tự kiểm
Góc quạt phải là số đo chính xác hoặc cần xét quy tắc làm tròn.
Ví dụ 7. Không cộng phần trăm hai mẫu
Vận dụng
Đề bài
Hai mẫu không trùng: mẫu1 $10/20$ đạt, mẫu2 $12/30$ đạt. Tính tỉ lệ gộp.
Lời giải và cách suy nghĩ
Tổng đạt $22$, tổng mẫu $50$, tỉ lệ $44\%$. Trung bình hai nhãn $45\%$ không đúng vì cỡ mẫu khác và hai tỉ lệ khác.
Cách tự kiểm
$44\%$ nằm giữa $40\%,50\%$.
Ví dụ 8. Hai công thức khôi phục kích thước
Thử thách
Đề bài
Trụ có thể tích $160\pi$ cm$^3$, diện tích xung quanh $80\pi$ cm$^2$. Tìm $r,h>0$.
Lời giải và cách suy nghĩ
$r^2h=160$, $rh=40$. Chia hai đẳng thức do $r,h>0$, được $r=4$, $h=10$ cm.
Cách tự kiểm
Thế cả hai kích thước vào hai công thức.
3. Lỗi thường gặp và cách tránh
- Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
- Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
- Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.
4. Tự luyện theo mức độ
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.
Bài 1–4. Nắm vững nền tảng
-
Trụ $r=2,h=6$; nón $r=2,h=6$; cầu $r=2$, đơn vị cm. Tính ba thể tích theo $\pi$ và sắp xếp.
Gợi ý bài 1
Chọn đúng công thức và cùng đơn vị trước khi so sánh.
-
Cầu bán kính $2$ cm; bạn dùng $\pi r^2$ để tính diện tích mặt cầu. Sửa công thức và kết quả.
Gợi ý bài 2
Mặt cầu dùng $4\pi r^2$, không dùng diện tích đĩa.
-
Một nhóm có $20$ quan sát chia hai khoảng $[0;10),[10;20]$ với tần số $8,12$. Tính tần số tương đối, cho biết giá trị $10$ thuộc nhóm nào và kiểm tổng.
Gợi ý bài 3
Kiểm dấu ngoặc tại đầu mút nhóm.
-
Biểu đồ tròn cho ba nhóm không trùng nhau ghi $40\%,35\%,30\%$. Tìm lỗi; nếu hai số đầu đúng và ba nhóm bao hết mẫu, sửa số cuối.
Gợi ý bài 4
Tổng tỉ lệ phải đúng toàn bộ các nhóm rời nhau.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
$V_{\text{trụ}}=24\pi$, $V_{\text{nón}}=8\pi$, $V_{\text{cầu}}=32\pi/3$ cm$^3$. Thứ tự $8\pi<32\pi/3<24\pi$.
-
Diện tích mặt cầu $S=4\pi r^2=16\pi$ cm$^2$. $\pi r^2=4\pi$ chỉ là diện tích đĩa tròn bán kính $2$ cm.
-
$40\%$ và $60\%$, tổng $100\%$. $10$ thuộc nhóm thứ hai vì khoảng đầu không chứa $10$; $20$ được nhận ở nhóm cuối.
-
Tổng $105\%$ không hợp lệ. Số cuối phải $25\%$ để tổng $100\%$; cần đối chiếu dữ liệu gốc trước khi sửa biểu đồ thật.
Bài 5–8. Củng cố và vận dụng
-
Trụ $r=4,h=3$ cm. Tính thể tích.
Gợi ý bài 5
$V=\pi r^2h$.
-
Nón cùng r,h với trụ thể tích $81$ cm$^3$. Tính thể tích nón.
Gợi ý bài 6
Dùng tỉ số $1/3$.
-
Mặt cầu có diện tích $64\pi$ cm$^2$. Tìm bán kính.
Gợi ý bài 7
$4r^2=64$, $r>0$.
-
Ba tần số $6,9,15$. Tìm cỡ mẫu và tỉ lệ từng nhóm.
Gợi ý bài 8
Cộng trước khi chia.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$48\pi$ cm$^3$.
-
$27$ cm$^3$.
-
$r=4$ cm.
-
$N=30$, tỉ lệ $20\%,30\%,50\%$.
Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận
-
Ba nhóm có quạt $72^\circ,108^\circ,180^\circ$, tổng $80$ người. Tìm số người.
Gợi ý bài 9
Lấy tổng nhân góc chia $360^\circ$.
-
Mẫu gồm $50$ quan sát trong hai nhóm $[0;10):20$ và $[10;20):30$. Số nhỏ hơn $15$ có thể từ bao nhiêu đến bao nhiêu?
Gợi ý bài 10
Nhóm đầu chắc chắn được tính, nhóm sau có thể ở hai phía $15$.
-
Một trụ có đường kính $10$ cm, cao $8$ cm. Một bạn dùng $r=10$ để tính $V$. Kết quả sai gấp mấy lần?
Gợi ý bài 11
Bán kính bị nhân đôi, chiều cao giữ nguyên.
-
Cầu bán kính $3$ cm phóng to đồng dạng để thể tích gấp $8$. Tìm bán kính mới và tỉ số diện tích.
Gợi ý bài 12
Hệ số độ dài là căn bậc ba của $8$.
-
Bảng giá trị $0,1,2$ có tần số $a,b,c$, tổng $30$, tổng giá trị $36$, biết $a=4$. Tìm b,c.
Gợi ý bài 13
$b+c=26$, $b+2c=36$.
-
Mẫu $30$ người ghi tỉ lệ chính xác $25\%$ cho một nhóm. Có thể không? Nếu nói làm tròn tới phần trăm nguyên thì sao?
Gợi ý bài 14
Kiểm $0{,}25\cdot30$ và khoảng $24{,}5\le100a/30<25{,}5$.
Mở đáp án và lời giải bài 9–14
-
$16,24,40$ người.
-
Từ $20$ đến $50$. Mỗi mức nguyên đạt được bằng chọn số quan sát nhóm sau dưới $15$ tương ứng.
-
Đúng $V=200\pi$; cách sai cho $800\pi$ cm$^3$, gấp $4$.
-
Bán kính mới $6$ cm, diện tích gấp $4$.
-
$c=10$, $b=16$. Kiểm $4+16+10=30$, $16+20=36$.
-
Chính xác cần $a=7{,}5$, không nguyên. Làm tròn cần $7{,}35\le a<7{,}65$, cũng không có số nguyên. Phải kiểm lại nhãn, mẫu hoặc quy tắc.
Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện
-
Trụ có $r\in[4;4{,}1]$ cm, $h=10$ cm chính xác. Tính khoảng thể tích và giải thích vì sao sai số thể tích không bằng sai số bán kính $0{,}1$.
Gợi ý bài 15
Thay hai cận vào hàm tăng $10\pi r^2$.
-
Trụ có $h=2r$ và diện tích toàn phần $96\pi$ cm$^2$. Tìm thể tích. Một cầu có cùng diện tích mặt $96\pi$ cm$^2$ thì thể tích lớn hơn hay nhỏ hơn?
Gợi ý bài 16
Trụ có $S=6\pi r^2$; cầu có $S=4\pi R^2$.
Mở đáp án và lời giải bài 15–16
-
$V\in[160\pi;168{,}1\pi]$ cm$^3$. Độ chênh cận $8{,}1\pi$ cm$^3$; khác đại lượng và đơn vị với $0{,}1$ cm.
-
Trụ: $r=4,h=8$, $V=128\pi$ cm$^3$. Cầu: $R=2\sqrt6$, $V=64\sqrt6\pi$ cm$^3$. Vì $\sqrt6>2$, thể tích cầu lớn hơn trong so sánh này. Không cần dùng một định lí tối ưu tổng quát.
5. Phiếu in và học tiếp
Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.