Vẽ parabol y = ax² khi a âm – Toán lớp 9

Đồ thị và trục đối xứng của parabol · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-14-B2

Đồ thị hệ số âm mở xuống nhưng vẫn có đỉnh và trục đối xứng như họ hệ số dương. Việc phản chiếu qua trục hoành giúp liên hệ hai hình, còn công thức kiểm mọi điểm.

Sau bài này, em có thể:

• Vẽ parabol mở xuống.
• Dùng phản chiếu và dấu để kiểm đồ thị.

Cần biết trước: Mô-đun 13; đánh dấu điểm trên mặt phẳng tọa độ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $a<0$, mọi tung độ không dương, đỉnh $O$ cao nhất, trục đối xứng $Oy$. Đồ thị $y=-bx^2$ với $b>0$ là ảnh của $y=bx^2$ qua $Ox$: mỗi $(x;y)$ đổi thành $(x;-y)$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Bảng mở xuống

Cơ bản

Đề bài

Lập năm điểm của $y=-x^2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tại $x=-2,-1,0,1,2$ được $(-2;-4),(-1;-1),(0;0),(1;-1),(2;-4)$. Vẽ cong trơn mở xuống.

Cách tự kiểm

Mọi điểm ngoài $O$ nằm phía dưới $Ox$; $O$ nằm trên $Ox$.

Ví dụ 2. Hệ số âm lớn

Cơ bản

Đề bài

Tìm điểm của $y=-2x^2$ tại $x=\pm3/2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bình phương bằng $9/4$, nên tung độ $-9/2$; hai điểm $(\pm3/2;-9/2)$.

Cách tự kiểm

Hai hoành độ đối cùng tung độ.

Ví dụ 3. Phản chiếu điểm

Cơ bản

Đề bài

Ảnh của $(2;8)$ trên $y=2x^2$ qua $Ox$ là gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Giữ hoành độ, đổi dấu tung độ: $(2;-8)$; điểm thuộc $y=-2x^2$.

Cách tự kiểm

Phản chiếu $Ox$ khác $Oy$.

Ví dụ 4. Không có điểm dương

Cơ bản

Đề bài

Có điểm nào của $y=-3x^2$ ở đường $y=6$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không vì $-3x^2\le0<6$.

Cách tự kiểm

Lý do dấu áp dụng toàn miền thực.

Ví dụ 5. Giao đường âm

Nâng cao

Đề bài

Tìm giao $y=-2x^2$ với $y=-18$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$x^2=9$ nên $x=\pm3$; hai giao $(-3;-18),(3;-18)$.

Cách tự kiểm

Dấu âm cùng hai vế cho phương trình bình phương dương.

Ví dụ 6. So hai đồ thị âm

Nâng cao

Đề bài

So $y=-x^2$ và $y=-4x^2$ với mọi $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hiệu $-x^2-(-4x^2)=3x^2\ge0$. Ngoài gốc, đồ thị hệ số $-1$ ở trên hệ số $-4$.

Cách tự kiểm

Hệ số độ lớn lớn hơn làm tung độ thấp hơn.

Ví dụ 7. Đối xứng tâm không đúng

Nâng cao

Đề bài

Có phải đồ thị $y=-x^2$ đối xứng tâm $O$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $(1;-1)$ thuộc đồ thị nhưng ảnh qua $O$ là $(-1;1)$, không thuộc vì tung độ phải $-1$.

Cách tự kiểm

Đối xứng qua $Oy$ không kéo theo đối xứng tâm.

Ví dụ 8. Giao một parabol lên và xuống

Thử thách

Đề bài

Chứng minh $y=ax^2,a>0$ và $y=bx^2,b<0$ chỉ giao ở $O$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tại giao, tung độ vừa không âm vừa không dương nên bằng $0$. Do hệ số khác không, $x^2=0$, tức $x=0$. Gốc thuộc cả hai.

Cách tự kiểm

Có thể dùng dấu hoặc $(a-b)x^2=0$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đặt điểm ở nửa trên dù hệ số âm.
• Nhầm phản chiếu qua $Ox$ và $Oy$.
• Cho rằng đối xứng trục suy đối xứng tâm.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Vẽ $y=-x^2$ trên giấy với $x$ từ $-2$ đến $2$; ghi tọa độ năm điểm.

   

   Gợi ý bài 1

   Bình phương x rồi giữ dấu âm của hệ số.

2. Với $y=-2x^2$, tính tọa độ hai điểm có hoành độ $\pm1{,}5$.

   Gợi ý bài 2

   Hai đầu vào đối nhau có cùng bình phương.

3. Vì sao đồ thị $y=-3x^2$ không có điểm nào với $y=2$?

   Gợi ý bài 3

   Mọi tung độ của hàm đều không dương.

4. So sánh các điểm ứng với $x=1$ trên $y=x^2$ và $y=-x^2$. Hai điểm liên hệ thế nào qua trục $Ox$?

   Gợi ý bài 4

   Giữ hoành độ, đổi dấu tung độ khi phản chiếu qua $Ox$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Các điểm $(-2;-4),(-1;-1),(0;0),(1;-1),(2;-4)$. Đường cong trơn mở xuống, qua $O$ và đối xứng $Oy$.

2. Cả hai tung độ là $-2\cdot2{,}25=-4{,}5$, nên hai điểm $(-1{,}5;-4{,}5)$ và $(1{,}5;-4{,}5)$.

3. Vì $-3x^2\le0$ với mọi $x$ thực, nên không thể có tung độ dương $2$.

4. Lần lượt là $(1;1)$ và $(1;-1)$. Cùng hoành độ, tung độ đối nhau nên đối xứng qua $Ox$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Lập năm điểm của $y=-3x^2$ tại $-2,-1,0,1,2$.

   Gợi ý bài 5

   Nhân các bình phương với $-3$.

6. Tìm điểm tại $x=-4$ trên $y=-x^2/2$.

   Gợi ý bài 6

   $(-4)^2=16$.

7. Nêu đỉnh và hướng mở của $y=-x^2/5$.

   Gợi ý bài 7

   Hệ số âm.

8. Ảnh của $(1;3)$ qua $Ox$ là gì?

   Gợi ý bài 8

   Đổi dấu tung độ.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $(-2;-12),(-1;-3),(0;0),(1;-3),(2;-12)$.

6. $(-4;-8)$.

7. Đỉnh $O$, mở xuống, trục $Oy$.

8. $(1;-3)$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Kiểm $(-2;8)$ có thuộc $y=-2x^2$ không.

   Gợi ý bài 9

   Thay $x=-2$.

10. Tìm giao $y=-3x^2$ với $y=-12$.

    Gợi ý bài 10

    $x^2=4$.

11. Vì sao hình $y=-x^2$ không được vẽ bằng đoạn nối $O$ với $(1;-1)$?

    Gợi ý bài 11

    Kiểm $x=1/2$.

12. So $y=-x^2/2$ và $y=-2x^2$.

    Gợi ý bài 12

    Hiệu bằng $3x^2/2$.

13. Có thể suy $y=-x^2$ bị chặn dưới bởi $-4$ vì hình chỉ vẽ tới $x=\pm2$ không?

    Gợi ý bài 13

    Thử $x=3$.

14. Ảnh của toàn đồ thị $y=-3x^2$ qua $Ox$ có công thức nào?

    Gợi ý bài 14

    Đổi dấu mọi tung độ.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Không; tung độ phải là $-8$.

10. $(-2;-12),(2;-12)$.

11. Hàm cho $-1/4$, đoạn nối cho $-1/2$; khác nhau.

12. Đồ thị $-x^2/2$ ở trên ngoài gốc; hai đồ thị gặp ở gốc.

13. Không; $y(3)=-9<-4$. Giới hạn cửa sổ không giới hạn hàm.

14. $y=3x^2$; mỗi $(x;-3x^2)$ đổi thành $(x;3x^2)$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Cho $a<b<0$. Đồ thị nào nằm trên ngoài gốc? Chứng minh.

    Gợi ý bài 15

    Tính $bx^2-ax^2$.

16. Parabol trong họ đi qua $(2;-12)$. Tìm điểm có tung độ $-3$ và chứng minh không có điểm tung độ $3$.

    Gợi ý bài 16

    Tìm $a=-3$ từ điểm nguồn.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $(b-a)x^2>0$ với $x\ne0$, nên đồ thị hệ số $b$ nằm trên; tại gốc bằng nhau.

16. $y=-3x^2$. Với $y=-3$, $x^2=1$ nên có $(-1;-3),(1;-3)$. Với $y=3$, cần $x^2=-1$, không có nghiệm thực; tương đương do toàn đồ thị không dương.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.