Xác suất khi chọn một thẻ hoặc một viên bi

Mô hình xác suất và mô phỏng · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-54-B1

Khi chọn đều một thẻ hoặc một viên, kết quả sơ cấp là từng vật phân biệt. Em dùng ví dụ và bài suy ngược để kiểm điều kiện, rồi phân biệt điều biết được với điều chưa đủ dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

• Xác suất khi chọn một thẻ hoặc một viên bi.
• Giải thích từng điều kiện của mô hình và kiểm kết quả bằng một cách khác.
• Giải bài suy ngược; nhận ra điều chưa thể kết luận từ dữ kiện đã cho.

Cần biết trước: Mô-đun 51,53. Mô phỏng là quan sát, không thay thế phép tính hoặc chứng minh.

1. Kiến thức và phương pháp

Khi chọn đều một thẻ hoặc một viên, kết quả sơ cấp là từng vật phân biệt. Nhãn số, màu hoặc tính chất có thể gộp nhiều vật; tỉ số đếm phải dùng đúng mức đồng khả năng.

Trong toàn bài, phép chọn là chọn đều từng vật phân biệt và vẫn chọn đều sau thay đổi số lượng. Số thẻ hoặc số viên luôn là số nguyên dương.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chọn thẻ chia hết

Cơ bản

Đề bài

Chọn đều một thẻ từ $1$ đến $10$. Tính xác suất chia hết cho $3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=3/10$, vì mười thẻ đồng khả năng và ba thuận lợi.

Cách tự kiểm

Liệt kê $3,6,9$.

Ví dụ 2. Dùng biến cố không đỏ

Cơ bản

Đề bài

Túi có $5$ đỏ, $3$ xanh, $2$ vàng; chọn đều viên. Tính xác suất không đỏ.

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=(3+2)/10=1/2$. Không chia theo số tên màu.

Cách tự kiểm

Hai màu còn lại gồm năm viên.

Ví dụ 3. Tránh đếm lặp số sáu

Vận dụng

Đề bài

Thẻ $1$ đến $6$, chọn đều; E là chẵn hoặc lớn hơn $4$. Tính xác suất.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thuận lợi $\{2,4,5,6\}$, nên $P=4/6=2/3$.

Cách tự kiểm

Số $6$ thuộc hai điều kiện nhưng chỉ đếm một lần.

Ví dụ 4. Thêm viên đổi cả tử và mẫu

Vận dụng

Đề bài

Túi có $4$ đỏ,$2$ xanh. Thêm xanh để xác suất xanh bằng $1/2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$(2+x)/(6+x)=1/2$ nên $x=2$. Có bốn viên mỗi màu.

Cách tự kiểm

Gọi số thêm $x$, mẫu cũng tăng.

Ví dụ 5. Chia hết nhưng loại bội chung

Vận dụng

Đề bài

Thẻ $1$ đến $20$, chọn đều; xác suất chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $5$?

Lời giải và cách suy nghĩ

Có $8$ thuận lợi, $P=8/20=2/5$.

Cách tự kiểm

Có mười thẻ chẵn, bỏ hai bội của $10$.

Ví dụ 6. Bỏ viên ngoài biến cố

Nâng cao

Đề bài

Túi có ba đỏ và năm xanh, bỏ hai xanh. Tính xác suất đỏ trước và sau.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trước $3/8$, sau $3/6=1/2$. Xóa viên ngoài biến cố có thể làm xác suất biến cố tăng.

Cách tự kiểm

Số đỏ giữ $3$, tổng từ $8$ còn $6$.

Ví dụ 7. Thẻ trùng số vẫn là vật riêng

Nâng cao

Đề bài

Một bộ có các thẻ $1,1,2,3$ với mã phân biệt, chọn đều thẻ. Tính xác suất số $1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$P=2/4=1/2$. Ba nhãn số không đồng khả năng.

Cách tự kiểm

Thuận lợi có hai thẻ, không chỉ một nhãn số.

Ví dụ 8. Nguyên tố lẻ

Thử thách

Đề bài

Thẻ $1$ đến $12$, E là số nguyên tố và lẻ. Tính xác suất.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thuận lợi $3,5,7,11$, nên $P=4/12=1/3$.

Cách tự kiểm

Nguyên tố là $2,3,5,7,11$, loại $2$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm phép tính mà bỏ qua phạm vi, đơn vị hoặc điều kiện của dữ liệu.
• Cho rằng hai cách biểu diễn có cùng tổng thì mọi chi tiết đều đúng.
• Khẳng định kết luận vượt quá thông tin mà mô hình hoặc bản ghi cung cấp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Rút đều một thẻ từ các thẻ $1$ đến $10$. Tính xác suất số trên thẻ chia hết cho $3$.

   Gợi ý bài 1

   Liệt kê ba bội của $3$ trên mười thẻ.

2. Túi có $5$ viên đỏ, $3$ viên xanh, $2$ viên vàng giống nhau về kích thước và khối lượng. Chọn đều một viên. Tính xác suất không đỏ.

   Gợi ý bài 2

   Không đỏ gồm xanh và vàng.

3. Bộ thẻ gồm $1,2,3,4,5,6$; rút đều một thẻ. Tính xác suất số chẵn hoặc lớn hơn $4$, giải thích cách tránh đếm lặp.

   Gợi ý bài 3

   Số $6$ chỉ được đếm một lần.

4. Một túi có $4$ viên đỏ và $2$ viên xanh. Muốn thêm các viên xanh để xác suất xanh bằng $\frac12$ khi rút đều, cần thêm bao nhiêu viên? Nêu phép kiểm.

   Gợi ý bài 4

   Thêm xanh làm cả tử và mẫu tăng.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Thuận lợi $\{3,6,9\}$, có $3$ trên $10$ kết quả, nên $P=\frac3{10}$.

2. Có $3+2=5$ viên không đỏ trên 10 viên, nên $P=\frac12$.

3. Các thẻ thuận lợi $\{2,4,5,6\}$, có $4$ trên $6$ kết quả, nên $P=\frac23$. Số $6$ thuộc cả hai điều kiện nhưng chỉ đếm một lần.

4. Thêm $2$ viên xanh, được $4$ viên đỏ và $4$ viên xanh; xác suất xanh bằng $\frac48=\frac12$. Không phải thêm $1$ viên vì khi đó $\frac37$ chưa bằng $\frac12$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Thẻ $1$ đến $8$, xác suất số lớn hơn $5$?

   Gợi ý bài 5

   Thuận lợi $6,7,8$.

6. Túi $2$ đỏ,$3$ xanh,$5$ vàng; xác suất đỏ hoặc xanh?

   Gợi ý bài 6

   Hai nhóm không giao nên cộng số viên.

7. Thẻ $1$ đến $15$, xác suất chia hết cho $4$?

   Gợi ý bài 7

   Có $4,8,12$.

8. Túi $6$ đỏ,$4$ xanh. Chuyển nhãn một viên đỏ thành xanh trong mô hình. Tính xác suất xanh mới.

   Gợi ý bài 8

   Tổng không đổi, số xanh tăng một.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $P=3/8$.

6. $P=5/10=1/2$.

7. $P=3/15=1/5$.

8. $P=5/10=1/2$. Đổi nhóm khác với thêm một viên mới, khi đó mẫu số sẽ đổi.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Túi có $x$ đỏ,$8$ xanh, chọn đều có xác suất đỏ $3/7$. Tìm $x$.

   Gợi ý bài 9

   Lập $x/(x+8)=3/7$.

10. Túi $5$ đỏ,$7$ xanh. Thêm $x$ đỏ để xác suất đỏ bằng $2/3$. Tìm $x$.

    Gợi ý bài 10

    Lập $(5+x)/(12+x)=2/3$.

11. Túi $8$ đỏ,$4$ xanh. Bỏ $x$ đỏ để xác suất đỏ bằng $1/2$. Tìm $x$.

    Gợi ý bài 11

    Lập $(8-x)/(12-x)=1/2$.

12. Một túi có xác suất đỏ $2/5$, cả hai màu đều có viên. Tổng từ $16$ đến $24$. Tìm mọi số đỏ và xanh.

    Gợi ý bài 12

    Tổng là bội của $5$.

13. Túi có $a$ đỏ,$b$ xanh, xác suất đỏ $1/4$. Thêm $6$ đỏ thành xác suất $2/5$. Tìm túi.

    Gợi ý bài 13

    $b=3a$ và $(a+6)/(4a+6)=2/5$.

14. Thẻ $1$ đến $n$, $n$ chẵn. Xác suất rút thẻ lớn hơn $n/2$ là bao nhiêu? Có tìm được $n$ nếu chỉ biết xác suất $1/2$ không?

    Gợi ý bài 14

    Đếm nửa trên gồm $n/2$ thẻ.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $7x=3x+24$ nên $x=6$. Tổng $14$, tỉ lệ $6/14=3/7$.

10. $15+3x=24+2x$, nên $x=9$. Mới $14/21=2/3$.

11. $16-2x=12-x$ nên $x=4$. Còn bốn viên mỗi màu, điều kiện bỏ không quá tám được thỏa.

12. Chỉ có tổng $20$, gồm $8$ đỏ,$12$ xanh. Điều kiện khoảng và tính nguyên xác định túi.

13. $5a+30=8a+12$ nên $a=6,b=18$. Sau thêm có $12/30=2/5$.

14. Xác suất $(n/2)/n=1/2$ với mọi $n$ chẵn dương. Vì vậy thông tin xác suất này không xác định duy nhất số thẻ.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Túi có $3$ đỏ,$5$ xanh. Thêm cùng $x$ viên mỗi màu. Có thể xác suất đỏ thành đúng $1/2$ với $x$ hữu hạn không?

    Gợi ý bài 15

    Lập $(3+x)/(8+2x)=1/2$.

16. Túi có $a$ đỏ,$b$ xanh. Bỏ một đỏ làm xác suất đỏ từ $1/2$ thành $2/5$. Tìm túi ban đầu.

    Gợi ý bài 16

    Từ xác suất đầu suy $a=b$; lập $(a-1)/(2a-1)=2/5$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Phương trình yêu cầu $6+2x=8+2x$, vô lí. Hai màu luôn chênh hai viên; xác suất có thể gần $1/2$ nhưng không bằng với số thêm hữu hạn.

16. $5a-5=4a-2$ nên $a=b=3$. Sau bỏ còn hai đỏ ba xanh, đúng $2/5$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.