Bài toán thực tế về cộng, trừ số nguyên lớp 6

Cộng và trừ số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-11-B5

Sau bài này, em có thể:

• Dùng cộng/trừ số nguyên để tính nhiệt độ, tầng và số dư giả định.
• Tìm ngược giá trị đầu hoặc thay đổi; kiểm miền, thứ tự diễn biến và các giới hạn ở từng bước.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Nhiệt độ $-4$ °C tăng $7$ °C được viết $(-4)+7=3$ °C. Giá trị $7$ là mức tăng, không phải nhiệt độ cuối. Đi xuống tầng hoặc chi ra tương ứng một thay đổi âm trong mô hình có quy ước rõ.

Các ví dụ mới là dữ liệu giả định. Tầng trệt được đánh số $0$, các tầng liên tiếp không bỏ mốc. Mô hình tài khoản phải nói rõ có cho phép ghi số dư âm; không tự dùng số âm để mô tả lượng tiền mặt đang cầm hoặc lượng đồ vật thật không thể âm.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Nhiệt độ đầu cộng phần tăng

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ giả định ban đầu $-4$ °C, sau đó tăng $7$ °C. Nhiệt độ cuối là bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Tăng là thay đổi dương; cộng vào giá trị ban đầu có dấu.

Gợi ý để em tự tìm

$(-4)+7$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Viết nhiệt độ cuối $(-4)+7$. Phần dương vượt phần âm $7-4=3$.

2. Nhiệt độ cuối $3$ °C; giá trị đầu, thay đổi và giá trị cuối lần lượt $-4,7,3$ theo đơn vị °C.

Tự kiểm

$3-(-4)=3+4=7$ °C kiểm đúng phần tăng.

Ví dụ 2. Giảm có thể đưa qua mốc 0

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ ban đầu $5$ °C giảm $9$ °C. Ghi thay đổi có dấu và nhiệt độ mới.

Bắt đầu từ đâu?

Giảm $9$ ứng với thay đổi $-9$, không phải nhiệt độ cuối tự bằng $-9$.

Gợi ý để em tự tìm

$5+(-9)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Thay đổi có dấu là $-9$ °C; nhiệt độ mới $5+(-9)=-4$ °C.

2. Phần giảm vượt mức đầu $9-5=4$ độ, nên kết quả ở dưới mốc bốn độ.

Tự kiểm

$(-4)-5=(-4)+(-5)=-9$ °C, kiểm đúng thay đổi.

Ví dụ 3. Tầng nhà đi qua mốc trệt

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong mô hình tầng trệt là $0$, các tầng đánh số liên tiếp. Thang máy ở tầng $-3$, đi lên $4$ tầng. Đến tầng nào?

Bắt đầu từ đâu?

Đi lên theo chiều dương của dãy tầng.

Gợi ý để em tự tìm

Các mốc sau từng tầng là $-2,-1,0,1$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Viết tầng cuối $(-3)+4=1$.

2. Đếm độc lập: từ $-3$ qua $-2,-1,0$ rồi tới $1$ sau bốn bước.

Tự kiểm

Không bỏ tầng $0$ hoặc đếm tầng xuất phát thành một bước.

Ví dụ 4. Số dư âm chỉ trong mô hình cho phép

Cốt lõi

Em thử trước:

Tài khoản giả định cho phép ghi số dư âm. Ban đầu có $12$ nghìn đồng, chi $20$ nghìn. Tính số dư và diễn giải dấu.

Bắt đầu từ đâu?

Chi là thay đổi âm; giữ điều kiện mô hình cho phép ghi thiếu.

Gợi ý để em tự tìm

$12-20=12+(-20)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số dư sau chi $12-20=12+(-20)=-8$ nghìn đồng.

2. Theo mô hình này, tài khoản thiếu $8$ nghìn đồng. Đây là cách hệ thống ghi phần thiếu theo điều kiện cho phép số dư âm.

Tự kiểm

$(-8)+20=12$ nghìn đồng kiểm ngược khoản đã chi; không dùng mô hình này nếu quy định thực tế của bài cấm số dư âm.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Giá trị cuối bằng giá trị đầu cộng thay đổi có dấu. Tăng/đi lên/nhận thêm mang dấu dương theo quy ước bài; giảm/đi xuống/chi ra mang dấu âm. Mức thay đổi bằng cuối trừ đầu; muốn tìm đầu, đi ngược thao tác thay đổi.

Giữ cùng mốc và đơn vị, nêu rõ đại lượng cần tìm. Khi nhiều bước, kiểm cả giá trị trung gian nếu mô hình có giới hạn. Dùng phép tính ngược để khôi phục đầu, phần tăng/giảm hoặc số dư theo đúng điều kiện đã nêu.

Ví dụ 5. Tăng đến đúng mốc

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ $-6$ °C tăng $6$ °C. Kết quả có bắt buộc dương không vì đang tăng?

Bắt đầu từ đâu?

Độ tăng vừa bù hết phần âm.

Gợi ý để em tự tìm

$(-6)+6=0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Hai lượng đối $-6$ và $6$ có tổng $0$, nên nhiệt độ mới $0$ °C.

2. Tăng làm nhiệt độ cao hơn lúc đầu, nhưng không bắt buộc cuối dương; có thể tới đúng mốc.

Tự kiểm

$0>-6$ xác nhận đã tăng; $0$ vẫn không là số dương.

Ví dụ 6. Hai lần thay đổi nối tiếp

Cốt lõi

Em thử trước:

Nhiệt độ giả định $-2$ °C tăng $9$ °C rồi giảm $4$ °C. Tìm nhiệt độ sau mỗi lần.

Bắt đầu từ đâu?

Tính từng lần theo đúng thứ tự, giữ nhiệt độ trung gian.

Gợi ý để em tự tìm

Sau tăng $(-2)+9$, rồi trừ $4$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Sau tăng: $(-2)+9=7$ °C.

2. Sau giảm: $7-4=3$ °C. Tương ứng biểu thức $(-2)+9+(-4)=3$.

Tự kiểm

Thay đổi chung $9+(-4)=5$ °C, nên $(-2)+5=3$ °C kiểm giá trị cuối.

Ví dụ 7. Nhận tiền vào một số dư đang âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Tài khoản giả định cho phép số dư âm, đang ghi $-5$ nghìn đồng. Nhận thêm $12$ nghìn đồng, không có giao dịch khác. Số dư mới bao nhiêu?

Bắt đầu từ đâu?

Phần nhận là dương, có thể bù phần thiếu rồi còn dư.

Gợi ý để em tự tìm

$(-5)+12$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Số dư mới $(-5)+12=7$ nghìn đồng, vì $12-5=7$.

2. Khoản nhận bù $5$ nghìn đang thiếu và còn $7$ nghìn theo mô hình.

Tự kiểm

$7-(-5)=7+5=12$ nghìn đồng, đúng lượng nhận thêm.

Ví dụ 8. Tìm nhiệt độ đầu từ kết quả

Cốt lõi

Em thử trước:

Một nhiệt độ tăng $8$ °C và thành $3$ °C. Nhiệt độ ban đầu là bao nhiêu? Thay lại kiểm.

Bắt đầu từ đâu?

Đi ngược phần tăng bằng trừ $8$ khỏi kết quả.

Gợi ý để em tự tìm

$3-8$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhiệt độ đầu $3-8=3+(-8)=-5$ °C.

2. Kiểm $(-5)+8=3$ °C, đúng nhiệt độ sau tăng.

Tự kiểm

Không lấy $3+8$ để tìm đầu khi phần tăng đã được áp dụng trước kết quả.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Tìm mọi nhiệt độ đầu phù hợp một khoảng cuối

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Nhiệt độ đầu $t$ là số nguyên từ $-5$ đến $1$ °C. Tăng $3$ °C, nhiệt độ cuối phải từ $-1$ đến $2$ °C, nhận hai mốc. Tìm mọi $t$.

Bắt đầu từ đâu?

Tìm các nhiệt độ cuối nguyên hợp lệ rồi đi ngược phần tăng.

Gợi ý để em tự tìm

Các kết quả cuối là $-1,0,1,2$ °C.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nhiệt độ cuối $t+3$ có thể là $-1,0,1,2$. Trừ $3$ để tìm đầu: $-1-3=-4$, $0-3=-3$, $1-3=-2$, $2-3=-1$.

2. Nhận đủ $t=-4,-3,-2,-1$ °C, đều thuộc miền đầu từ $-5$ đến $1$.

3. Cộng lại $3$ cho từng giá trị thu đúng bốn mốc cuối; các nhiệt độ đầu khác không thể cho kết quả ngoài danh sách mà vẫn thỏa khoảng.

Tự kiểm

Đã kiểm cả hai miền và mốc cuối được nhận; không dùng khoảng cuối làm khoảng đầu.

Ví dụ 10. Cùng kết quả cuối nhưng khác giá trị giữa

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tài khoản giả định cho phép số dư âm, ban đầu $3$ nghìn đồng. So kế hoạch A: thu $10$ rồi chi $10$; kế hoạch B: chi $10$ rồi thu $10$. Tính số dư giữa và cuối. Nếu đổi quy định cấm số dư âm, cả hai kế hoạch còn hợp lệ không?

Bắt đầu từ đâu?

Kết quả cuối không thay việc kiểm từng bước khi có điều kiện trong quá trình.

Gợi ý để em tự tìm

A đi qua số dư $13$; B đi qua số dư $-7$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. A: sau thu $3+10=13$, sau chi $13-10=3$ nghìn đồng.

2. B: sau chi $3-10=-7$, sau thu $(-7)+10=3$ nghìn đồng. Cả hai cuối cùng $3$, nhưng giữa quá trình khác nhau.

3. Trong mô hình ban đầu cả hai được phép. Nếu cấm số dư âm, B không hợp lệ ở bước đầu $-7<0$, dù cuối cùng cũng $3$; A vẫn hợp lệ.

Tự kiểm

Đã giữ hai mô hình điều kiện riêng; không đánh giá sự khả thi của cả quá trình chỉ bằng số dư cuối.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Buổi sáng $-3$ °C, sau đó tăng $8$ °C. Nhiệt độ sau là bao nhiêu?

Gợi ý bài 1

Nhiệt độ cuối bằng đầu cộng phần tăng dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $(-3)+8=5$.

2. Nhiệt độ sau là $5$ °C; kiểm $5-(-3)=5+3=8$ °C tăng.

Tự kiểm

Không nhầm phần tăng $8$ với nhiệt độ mới.

Bài 2

Cốt lõi

Nhiệt độ $6$ °C giảm $11$ °C. Ghi nhiệt độ mới.

Gợi ý bài 2

Giảm $11$ là cộng $-11$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $6-11=6+(-11)=-5$.

2. Nhiệt độ mới $-5$ °C; kiểm $(-5)-6=(-5)+(-6)=-11$ °C.

Tự kiểm

Kết quả dưới mốc là hợp lệ vì phần giảm vượt mức đầu.

Bài 3

Cốt lõi

Tài khoản giả định có $20$ nghìn đồng, chi $35$ nghìn đồng và hệ thống cho phép ghi số dư âm. Số dư sau là bao nhiêu nghìn đồng?

Gợi ý bài 3

Giữ rõ điều kiện cho phép số dư âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Số dư sau $20-35=20+(-35)=-15$ nghìn đồng.

2. Theo mô hình tài khoản thiếu $15$ nghìn; kiểm $(-15)+35=20$ nghìn, khôi phục số dư đầu.

Tự kiểm

Không bỏ dấu âm hoặc bác mô hình dù nguồn đã cho phép ghi số dư âm.

Bài 4

Cốt lõi

Thang máy ở tầng $-2$, đi lên $5$ tầng, quy ước tầng trệt là $0$ và các tầng đánh số liên tiếp. Một bạn kết luận tầng $-7$. Sửa theo hướng đi.

Gợi ý bài 4

Đi lên là cộng số dương $5$, không đi tiếp theo phía âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Tầng cuối $(-2)+5=3$. Các mốc lần lượt $-1,0,1,2,3$, đúng năm bước lên.

2. Sửa đến tầng $3$, không phải $-7$. Tầng $-7$ tương ứng đi xuống năm tầng từ $-2$, sai hướng.

Tự kiểm

Đã giữ tầng $0$ và không đếm tầng đầu thành một bước.

Bài 5

Cốt lõi

Nhiệt độ $-8$ °C tăng $5$ °C. Tính nhiệt độ mới.

Gợi ý bài 5

Cộng phần tăng, xem đã đủ vượt mốc chưa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $(-8)+5=-3$ vì phần âm còn $8-5=3$ độ.

2. Nhiệt độ mới $-3$ °C, cao hơn mức đầu nhưng vẫn âm.

Tự kiểm

$(-3)-(-8)=(-3)+8=5$ °C kiểm đúng độ tăng.

Bài 6

Cốt lõi

Nhiệt độ $4$ °C giảm $7$ °C. Tính nhiệt độ mới.

Gợi ý bài 6

Giảm dùng trừ hoặc cộng số âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $4-7=4+(-7)=-3$.

2. Nhiệt độ mới $-3$ °C; kiểm $(-3)-4=-7$ °C thay đổi.

Tự kiểm

Không trả lời $3$ dương chỉ từ hiệu hai độ lớn.

Bài 7

Cốt lõi

Trong mô hình tầng trệt $0$, các tầng đánh số liên tiếp. Thang máy từ tầng $2$ đi xuống $6$ tầng. Đến tầng nào?

Gợi ý bài 7

Đi xuống tương ứng cộng $-6$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Tầng cuối $2+(-6)=-4$.

2. Các mốc đi qua $1,0,-1,-2,-3,-4$, đúng sáu bước xuống.

Tự kiểm

Không bỏ tầng $0$ khi đếm qua hai phía.

Bài 8

Cốt lõi

Tài khoản giả định cho phép số dư âm, ban đầu $12$ nghìn đồng, chi $7$ rồi nhận $4$ nghìn, không có giao dịch khác. Tìm số dư sau từng lần.

Gợi ý bài 8

Ghi hai bước thay vì dùng sai dấu của khoản nhận.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Sau chi: $12-7=5$ nghìn đồng.

2. Sau nhận: $5+4=9$ nghìn đồng. Biểu thức cả quá trình $12+(-7)+4=9$.

Tự kiểm

Thay đổi chung $(-7)+4=-3$ nghìn, nên $12+(-3)=9$ nghìn, khớp cách theo từng bước.

Bài 9

Cốt lõi

Nhiệt độ từ $-7$ °C lên $2$ °C. Tăng bao nhiêu độ? Kiểm từ đầu tới cuối.

Gợi ý bài 9

Mức tăng bằng cuối trừ đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Mức tăng $2-(-7)=2+7=9$ °C.

2. Kiểm $(-7)+9=2$ °C.

Tự kiểm

Không lấy $7-2=5$ chỉ vì thấy hai độ lớn; cần đi qua mốc $0$.

Bài 10

Cốt lõi

Một nhiệt độ giảm $6$ °C và thành $-2$ °C. Tìm nhiệt độ ban đầu rồi kiểm.

Gợi ý bài 10

Đi ngược phần giảm bằng cộng $6$ vào kết quả.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nhiệt độ đầu $(-2)+6=4$ °C.

2. Kiểm $4-6=-2$ °C, đúng kết quả đã cho.

Tự kiểm

Không trừ tiếp $6$ khi đang tìm ngược giá trị đầu.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Trong mô hình tầng trệt $0$, các tầng đánh số liên tiếp. Thang máy bắt đầu tầng $-2$, đi lên $n$ tầng, với $n$ tự nhiên từ $0$ đến $6$. Tìm mọi $n$ để tầng cuối từ $0$ đến $3$, nhận hai mốc.

Gợi ý bài 11

Tầng cuối là $(-2)+n$; lọc toàn bộ miền số bước.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Với $n=0,1,2,3,4,5,6$, các tầng cuối lần lượt $-2,-1,0,1,2,3,4$.

2. Nhận đủ $n=2,3,4,5$ cho tầng cuối $0,1,2,3$. Loại $0,1,6$ vì ngoài khoảng cuối.

Tự kiểm

Giữ mốc cuối $0$ và $3$; không nhầm miền số bước với miền tầng kết thúc.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Tài khoản giả định cho phép số dư âm, số dư đầu là số nguyên $x$ từ $0$ đến $20$ nghìn đồng. Chi $15$ rồi nhận $8$ nghìn, cuối còn $5$ nghìn. Tìm $x$ và số dư giữa. Nếu cấm số dư âm ở mọi bước, còn phương án nào đúng các yêu cầu này không?

Gợi ý bài 12

Gộp hai thay đổi để tìm đầu, rồi kiểm cả bước trung gian theo từng mô hình.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Thay đổi chung $(-15)+8=-7$ nghìn. Vì $x+(-7)=5$, đi ngược được $x=5+7=12$, thuộc miền đầu.

2. Kiểm theo thứ tự: $12-15=-3$, rồi $(-3)+8=5$ nghìn. Số dư giữa là $-3$, hợp lệ trong mô hình ban đầu.

3. Nếu cấm số dư âm, giá trị đầu duy nhất $12$ vi phạm ở bước giữa. Không có phương án khác vì điều kiện kết quả cuối đã buộc $x=12$.

Tự kiểm

Đã tìm ngược, thay lại và kiểm điều kiện trong quá trình; cùng kết quả cuối không tự bảo đảm khả thi.

6. Tự kiểm sau khi học

Tiếp tục nhân/chia số nguyên: giữ quy tắc dấu theo đúng loại phép tính và luôn kiểm số chia khác 0.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.