Trung điểm đoạn thẳng lớp 6: hai điều kiện cần kiểm tra
Trung điểm và thực hành thẳng hàng · Toán lớp 6
Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-37-B1
Trung điểm phải vừa nằm giữa hai đầu, vừa cách đều chúng. Em sẽ kiểm riêng từng điều kiện rồi ghép lại, thay vì suy từ một hình trông cân.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận và bác trung điểm bằng đủ hai điều kiện.
- Dùng cộng độ dài hoặc lập luận vị trí để kiểm điều kiện còn thiếu.
Cần biết trước: Đoạn thẳng, điểm nằm giữa, so sánh và cộng độ dài.
Cách học: Chuẩn bị vở và bút. Bắt đầu từ tình huống, dự đoán rồi mở gợi ý trước khi xem lời giải. Hai lời giải đầu được mở sẵn để em làm quen cách trình bày. Có thể chia bài thành nhiều lượt; hai ví dụ cuối và hai bài cuối là tự chọn.
Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.
1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết
Đánh dấu A,B trên một sợi dây thẳng, chọn M ở giữa. M có thể chia dây thành hai phần không bằng nhau. Lại có thể chọn một điểm ngoài đường AB cách A,B bằng nhau, như đỉnh của tam giác cân. Vì vậy, vị trí và cách đều là hai điều cần kiểm riêng.
2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm
Ví dụ 1. Hai điều kiện cùng đủ
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
M nằm giữa A,B, $AM=MB=2$ cm. M có là trung điểm AB không?
Bắt đầu từ đâu?
Tách kiểm vị trí và độ dài.
Gợi ý để em tự tìm
Đừng chỉ nhắc hai độ dài bằng nhau.
Lời giải và cách tự kiểm
-
M nằm giữa A,B theo giả thiết, nên M ở trên đoạn và khác hai đầu.
-
Lại có $AM=MB=2$ cm, do đó M thỏa cả hai điều kiện và là trung điểm AB.
Tự kiểm
Khi đổi tên đoạn thành BA, M vẫn là cùng trung điểm.
Ví dụ 2. Có vị trí nhưng thiếu bằng nhau
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
Theo A-N-B, $AN=2$, $NB=5$ cm. N có là trung điểm không?
Bắt đầu từ đâu?
Kiểm điều kiện nào đã có, điều kiện nào chưa đúng.
Gợi ý để em tự tìm
N nằm giữa nhưng hai phần có dài bằng nhau không?
Lời giải và cách tự kiểm
-
Thứ tự A-N-B xác nhận N nằm giữa A,B.
-
Tuy nhiên $2\ne5$ nên $AN\ne NB$; N không là trung điểm AB.
Tự kiểm
Điểm ở trong đoạn chưa chắc ở chính giữa.
Ví dụ 3. Cách đều nhưng ở ngoài đường
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
Tam giác XAB có $XA=XB=4$ cm. X có là trung điểm AB không?
Bắt đầu từ đâu?
Xét vị trí đỉnh X đối với cạnh AB.
Gợi ý để em tự tìm
Trong tam giác, ba đỉnh không thẳng hàng.
Lời giải và cách tự kiểm
-
X là đỉnh của tam giác XAB nên không nằm trên đường thẳng AB, vì vậy không nằm giữa A,B.
-
Dù $XA=XB$, X vẫn không là trung điểm AB do thiếu điều kiện vị trí.
Tự kiểm
Không dùng hình trông cân để thay việc kiểm nằm giữa.
Ví dụ 4. Đầu mút không phải trung điểm
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
A,B phân biệt. B có thể là trung điểm AB không?
Bắt đầu từ đâu?
So hai khoảng cách từ B tới hai đầu.
Gợi ý để em tự tìm
Một trong hai độ dài là BB.
Lời giải và cách tự kiểm
-
$BB=0$ nhưng $BA>0$ vì A khác B.
-
Hai độ dài không bằng nhau; B cũng không nằm giữa A,B, nên không phải trung điểm đoạn ấy.
Tự kiểm
Với đoạn có hai đầu phân biệt, trung điểm khác cả hai đầu.
Điều cần nhớ sau bốn ví dụ
Với A,B phân biệt, M là trung điểm AB khi M nằm giữa A,B và $MA=MB$. Khi đó $AM+MB=AB$, nên $AM=MB=AB:2$. Chỉ thuộc đoạn hoặc chỉ cách đều chưa đủ để kết luận. Số đo cho sẵn là dữ kiện; không tự suy đẳng thức từ kích thước ảnh.
Ví dụ 5. Đổi đơn vị để xét cách đều
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
P giữa X,Y; $XP=25$ mm, $PY=2{,}5$ cm. P có là trung điểm XY không?
Bắt đầu từ đâu?
Chưa so hai số khi đơn vị khác nhau.
Gợi ý để em tự tìm
Đổi cm sang mm.
Lời giải và cách tự kiểm
-
$PY=2{,}5\times10=25$ mm, bằng XP.
-
P đã nằm giữa X,Y, nay hai phần bằng nhau nên P là trung điểm XY.
Tự kiểm
Hai số 25 và 2,5 khác nhau chưa chứng tỏ hai độ dài khác nhau.
Ví dụ 6. Đọc ngược thứ tự
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
Theo Q-N-P, $NP=NQ=6$ cm. N có là trung điểm PQ không?
Bắt đầu từ đâu?
Viết vị trí nằm giữa không phụ thuộc hướng đọc.
Gợi ý để em tự tìm
Q-N-P cũng diễn tả N giữa P,Q.
Lời giải và cách tự kiểm
-
Từ Q-N-P suy N nằm giữa P,Q.
-
$NP=NQ=6$ cm, nên N là trung điểm PQ; đổi hướng đọc không đổi hai điều kiện.
Tự kiểm
Trung điểm PQ cũng là trung điểm QP.
Ví dụ 7. Tính phần còn thiếu để nhận trung điểm
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
M giữa A,B, $AB=10$, $AM=5$ cm. Chưa cho MB, có chứng minh M là trung điểm không?
Bắt đầu từ đâu?
Dùng nằm giữa để tìm MB trước.
Gợi ý để em tự tìm
Toàn đoạn bằng tổng hai phần.
Lời giải và cách tự kiểm
-
Vì M giữa A,B, $AM+MB=AB$ nên $MB=10-5=5$ cm.
-
$MB=AM$ và M nằm giữa, do đó M là trung điểm AB.
Tự kiểm
Điều kiện bằng nhau có thể được chứng minh, không nhất thiết được cho sẵn.
Ví dụ 8. Ghi căn cứ thay vì nhìn ảnh
Dẫn dắt từng bước
Em thử trước:
Hình vẽ đặt K gần chính giữa XY nhưng chỉ cho K thuộc đoạn XY. Có đủ kết luận K là trung điểm không?
Bắt đầu từ đâu?
Phân biệt thuộc đoạn với chia đôi.
Gợi ý để em tự tìm
K có thể ở một vị trí chưa bằng hai đầu.
Lời giải và cách tự kiểm
-
K thuộc đoạn chỉ xác nhận vị trí trong đoạn hoặc ở đầu mút; chưa cho $KX=KY$.
-
Cần thêm dữ kiện bằng nhau hoặc đo kiểm theo yêu cầu. Kích thước ảnh không tự cung cấp điều kiện còn thiếu.
Tự kiểm
Nếu mới đo gần bằng, hãy ghi mức gần đúng thay vì gọi đó là đẳng thức đã chứng minh.
3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn
Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.
Ví dụ 9. Không thể có hai trung điểm khác nhau
Mở rộng · tự chọn
Em thử trước:
M,N cùng là trung điểm của AB, A khác B. Chứng minh M và N trùng nhau.
Bắt đầu từ đâu?
Dùng cùng khoảng cách tới A trên cùng tia AB.
Gợi ý để em tự tìm
Nếu M,N khác nhau thì một điểm ở gần A hơn điểm kia.
Lời giải và cách tự kiểm
-
Vì là trung điểm, M,N đều giữa A,B và $AM=AN=AB:2$.
-
Nếu M,N khác nhau thì theo một trong hai thứ tự A-M-N hoặc A-N-M, khoảng cách từ A tới điểm xa hơn lớn hơn khoảng cách tới điểm gần hơn.
-
Điều ấy trái $AM=AN$. Vậy M,N trùng nhau, trung điểm của đoạn là duy nhất.
Tự kiểm
Không chỉ nhìn hai dấu đặt gần nhau để kết luận trùng nhau.
Ví dụ 10. Thẳng hàng và cách đều đã đủ chưa?
Mở rộng · tự chọn
Em thử trước:
A,B,M phân biệt thẳng hàng, $MA=MB$. Chứng minh M nằm giữa A,B rồi kết luận.
Bắt đầu từ đâu?
Xét điểm nào có thể nằm giữa.
Gợi ý để em tự tìm
Nếu A hoặc B ở giữa, hai khoảng cách từ M không thể bằng nhau.
Lời giải và cách tự kiểm
-
Nếu A giữa M,B thì $MB=MA+AB>MA$ vì $AB>0$, trái $MA=MB$.
-
Nếu B giữa M,A thì $MA=MB+BA>MB$, cũng mâu thuẫn.
-
Ba điểm phân biệt thẳng hàng chỉ còn trường hợp M giữa A,B; kết hợp $MA=MB$ suy M là trung điểm AB.
Tự kiểm
Cần giả thiết thẳng hàng; bỏ nó thì đỉnh tam giác cách đều hai đầu là phản ví dụ.
4. Những lỗi cần tránh
| Lỗi | Cách tự phát hiện và sửa |
|---|---|
| Chỉ ghi hai độ dài bằng nhau rồi gọi trung điểm. | Kiểm và nêu thêm điểm nằm giữa hai đầu. |
| Coi mọi điểm ở trong đoạn là trung điểm. | So hai phần bằng cùng đơn vị hoặc tính phần còn lại để kiểm bằng nhau. |
5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng
Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.
Bài 1
Nhiệm vụ nền tảng
Trong hình, cho M nằm giữa A,B và $MA=MB=3$ cm. M có là trung điểm AB không? Nêu hai điều kiện.
Gợi ý bài 1
Kiểm cả nằm giữa lẫn bằng nhau.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1
-
Giả thiết cho M nằm giữa A,B và $MA=MB=3$ cm.
-
Hai điều kiện cùng đúng nên M là trung điểm AB.
Tự kiểm
Không cần đo lại hình trên màn hình để thay dữ kiện ba cm.
Bài 2
Nhiệm vụ nền tảng
Trong hình tam giác, cho $MA=MB$. Có gọi M là trung điểm AB được không? Giải thích bằng vị trí.
Gợi ý bài 2
Nhìn vị trí đỉnh M trong tam giác.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2
-
Trong hình tam giác MAB, M không nằm trên đường thẳng AB nên không nằm giữa A,B.
-
$MA=MB$ chỉ cho cách đều; thiếu điều kiện nằm giữa nên M không là trung điểm AB.
Tự kiểm
Hình nguồn là tam giác, không phải ba điểm cùng đường.
Bài 3
Nhiệm vụ nền tảng
N nằm giữa P,Q nhưng $PN=2$ cm, $NQ=3$ cm. N có là trung điểm PQ không?
Gợi ý bài 3
Vị trí đã đúng; kiểm hai số đo.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3
-
N nằm giữa P,Q nhưng $PN=2$ cm khác $NQ=3$ cm.
-
Vì hai phần không bằng nhau, N không là trung điểm PQ.
Tự kiểm
$PQ=2+3=5$ cm, một nửa là $2{,}5$ cm chứ không phải hai hoặc ba.
Bài 4
Nhiệm vụ nền tảng
Bạn nói một đầu mút A là trung điểm của đoạn AB với A khác B. Em dùng độ dài để bác bỏ.
Gợi ý bài 4
So AA với AB.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4
-
A khác B nên $AA=0$ còn $AB>0$, không bằng nhau.
-
A không cách đều hai đầu và không nằm giữa A,B, nên không là trung điểm AB.
Tự kiểm
Đừng nhầm một đầu mút với điểm chia đôi đoạn.
Bài 5
Luyện tập có hướng dẫn
Theo X-P-Y, $XP=PY=7$ mm. P có là trung điểm YX không?
Gợi ý bài 5
Hướng đọc tên đoạn không đổi định nghĩa.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5
-
P nằm giữa Y,X do thứ tự đã cho.
-
$PY=PX$ nên P là trung điểm YX, cũng là trung điểm XY.
Tự kiểm
Không yêu cầu các tên điểm phải theo thứ tự bảng chữ cái.
Bài 6
Luyện tập có hướng dẫn
K giữa M,N; $MK=3{,}2$, $KN=3{,}3$ cm. Xét trung điểm.
Gợi ý bài 6
Không thay hai số gần nhau bằng hai số bằng nhau.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6
-
K có đúng điều kiện nằm giữa.
-
$3{,}2\ne3{,}3$ nên $MK\ne KN$, vì thế K không là trung điểm MN theo dữ kiện chính xác.
Tự kiểm
Gần bằng trong một phép đo cần báo sai số, không tự đổi thành bằng.
Bài 7
Luyện tập có hướng dẫn
Tam giác PXY có $PX=PY$. Một bạn gọi P là trung điểm XY; chỉ điều kiện thiếu.
Gợi ý bài 7
Xét đỉnh P có thuộc cạnh XY không.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7
-
Ba đỉnh tam giác không thẳng hàng, nên P không nằm giữa X,Y.
-
Cách đều hai đầu không đủ; kết luận trung điểm là sai.
Tự kiểm
Không cần biết chính xác độ dài các cạnh để bác bỏ về vị trí.
Bài 8
Luyện tập có hướng dẫn
N giữa P,Q; $PN=18$ mm, $NQ=1{,}8$ cm. Xét trung điểm.
Gợi ý bài 8
Đổi về mm.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8
-
$NQ=1{,}8\times10=18$ mm, bằng PN.
-
Kết hợp N nằm giữa P,Q suy N là trung điểm PQ.
Tự kiểm
So cùng đơn vị trước khi kết luận.
Bài 9
Luyện tập có hướng dẫn
M giữa A,B; $AB=14$, $MB=7$ cm. Chứng minh M là trung điểm.
Gợi ý bài 9
Tính AM từ toàn và phần.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9
-
$AM=AB-MB=14-7=7$ cm vì M nằm giữa.
-
$AM=MB$ và M giữa A,B, nên M là trung điểm AB.
Tự kiểm
Kiểm $7+7=14$ cm.
Bài 10
Luyện tập có hướng dẫn
A khác B. Vì sao A không thể là trung điểm BA, dù tên A đứng cuối đoạn BA?
Gợi ý bài 10
Đổi thứ tự tên không đổi hai đầu mút.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10
-
$AA=0$ còn $AB>0$, nên hai khoảng cách từ A tới hai đầu không bằng nhau.
-
A lại là đầu mút, không nằm giữa; do đó không là trung điểm BA.
Tự kiểm
Viết BA thay AB không biến đầu mút thành điểm ở giữa.
Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm
Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.
Bài 11
Mở rộng · tự chọn
A,B phân biệt. M,N là hai điểm khác nhau trên đoạn AB và cùng cách A một nửa AB. Điều này có thể xảy ra không?
Gợi ý bài 11
Hai điểm trên cùng tia AB không thể khác nhau mà cùng độ xa gốc.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11
-
Nếu M,N khác nhau, một điểm nằm gần A hơn điểm kia nên $AM\ne AN$.
-
Giả thiết lại cho $AM=AN=AB:2$, mâu thuẫn; không có hai điểm khác nhau như thế.
Tự kiểm
Đã dùng cả vị trí trên đoạn, không suy trùng chỉ từ hai khoảng cách nếu các điểm ở hai phía A.
Bài 12
Mở rộng · tự chọn
A,B,M phân biệt thẳng hàng; A nằm giữa M,B. Chứng minh $MA=MB$ là dữ kiện không thể đúng.
Gợi ý bài 12
Viết MB gồm hai phần dương.
Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12
-
A giữa M,B nên $MB=MA+AB$ với $AB>0$, do đó $MB>MA$.
-
Điều này trái $MA=MB$, nên bộ vị trí và đẳng thức ấy không thể cùng đúng.
Tự kiểm
Một phép phản chứng phải giữ nguyên vị trí đã cho, không chuyển M vào giữa.
6. Tự kiểm sau khi học
Nếu thiếu điều kiện nào, tìm ví dụ chỉ có điều kiện còn lại. Khi đủ hai điều kiện, chuyển sang tính mỗi nửa và cả đoạn.
Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.
7. Tải học liệu miễn phí
Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trung điểm và thực hành thẳng hàng. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.