Kiểm tra tổng và hiệu đa thức một biến lớp 7

Cộng và trừ đa thức một biến · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-17-B5

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm hiệu bằng cộng ngược và tìm đa thức chưa biết.
• Dùng hai điều kiện để xác định hệ số hoặc chỉ ra thiếu căn cứ.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu $R=P-Q$ thì $R+Q=P$. Nếu $P+Q=S$ thì $Q=S-P$. Kiểm ngược toàn đa thức giúp phát hiện hạng tử thiếu hoặc sai dấu.

Thử tại một vài giá trị có thể bác một đẳng thức sai khi hai bên cho kết quả khác nhau. Trùng ở vài điểm chưa chứng minh đồng nhất trong các đa thức bậc tùy ý; cần biến đổi hợp lệ hoặc so các hệ số sau thu gọn.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Kiểm hiệu bằng phép cộng ngược

Cơ bản

Đề bài

Cho $P(x)=4x^{2}+x-2$, $Q(x)=x^{2}-3x+1$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.

Nghĩ từ đâu?

Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.

Lời giải từng bước

1. Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-x^{2}+3x-1$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.

2. Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(4-(1))x^{2}+(1-(-3))x+(-2-(1))$.

3. Vậy $P-Q=3x^{2}+4x-3$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(3x^{2}+4x-3)+(x^{2}-3x+1)=4x^{2}+x-2$.

Ví dụ 2. Tìm số hạng còn thiếu bậc ba

Cơ bản

Đề bài

Cho $P(x)=x^{3}+2x-1$, $S(x)=2x^{3}-x+4$. Tìm $Q$ biết $P+Q=S$.

Nghĩ từ đâu?

Lấy tổng đã biết trừ số hạng đã biết rồi kiểm cộng ngược.

Lời giải từng bước

1. $Q=S-P=(2x^{3}-x+4)-(x^{3}+2x-1)$.

2. Đổi dấu đủ và nhóm hạng tử được $Q(x)=x^{3}-3x+5$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$x^{3}+2x-1+(x^{3}-3x+5)=2x^{3}-x+4$, khôi phục đúng $S$.

Ví dụ 3. Tìm đa thức từ tổng

Cơ bản

Đề bài

Cho $P(x)=3x^{2}+x+2$, $S(x)=5x^{2}+4x-1$. Tìm $Q$ biết $P+Q=S$.

Nghĩ từ đâu?

Lấy tổng đã biết trừ số hạng đã biết rồi kiểm cộng ngược.

Lời giải từng bước

1. $Q=S-P=(5x^{2}+4x-1)-(3x^{2}+x+2)$.

2. Đổi dấu đủ và nhóm hạng tử được $Q(x)=2x^{2}+3x-3$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$3x^{2}+x+2+(2x^{2}+3x-3)=5x^{2}+4x-1$, khôi phục đúng $S$.

Ví dụ 4. Phép thử phát hiện sai dấu

Cơ bản

Đề bài

Bạn ghi $(x^2+x)-(x^2-x)=0$. Thử $x=1$ rồi sửa.

Nghĩ từ đâu?

Một phản ví dụ phát hiện lỗi; thu gọn để có công thức đúng.

Lời giải từng bước

1. Tại $x=1$, vế trái $2$, vế phải $0$, nên đẳng thức sai.

2. Bỏ ngoặc đúng: $x^2+x-x^2+x=2x$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hiệu cộng lại với đa thức bị trừ phải khôi phục đa thức đầu.

Ví dụ 5. Một điểm trùng chưa đồng nhất

Cơ bản

Đề bài

$P=x^2+x$ và $Q=2x^2+x$ trùng tại $x=0$. Có thể nhận $P=Q$ không?

Nghĩ từ đâu?

Kiểm thêm hoặc lấy hiệu đại số.

Lời giải từng bước

1. $P(0)=Q(0)=0$.

2. Nhưng $Q-P=x^2$ không là đa thức $0$; tại $x=1$, hai giá trị $2$ và $3$ khác nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Một phép thử trùng không đủ chứng minh đồng nhất.

Ví dụ 6. Lý do phép cộng kiểm ngược

Cơ bản

Đề bài

Biết $R=P-Q$. Vì sao $R+Q=P$ là phép kiểm đúng với mọi đa thức?

Nghĩ từ đâu?

Thay định nghĩa $R$ và nhóm hai đa thức đối.

Lời giải từng bước

1. $R+Q=(P-Q)+Q$.

2. Nhóm $-Q+Q=0$ cho $P$, nên phép cộng ngược khôi phục đúng biểu thức.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phải cộng đúng đa thức $Q$ ban đầu, không cộng một đa thức đã đổi dấu sai.

Ví dụ 7. Tìm hai hệ số bằng kiểm ngược

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Cho $P=2x^2+ax+1$, $Q=x^2+3x+b$. Một kết quả $R=x^2-x+4$ được nói là $P-Q$. Tìm $a,b$ và kiểm ngược.

Nghĩ từ đâu?

So hệ số hiệu đã thu gọn.

Lời giải từng bước

1. $P-Q=x^2+(a-3)x+(1-b)$. So với $R$ cho $a-3=-1$ và $1-b=4$.

2. $a=2,b=-3$. Khi cộng $R+Q$ được $2x^2+2x+1=P$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phải kiểm cả hệ số $x$ lẫn hằng, không chỉ bậc $2$.

Ví dụ 8. Từ tổng và hiệu tìm hai đa thức

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Biết $P+Q=S$ và $P-Q=D$. Với hệ số thực, chứng minh $P=(S+D)/2$, $Q=(S-D)/2$ rồi nêu cách kiểm.

Nghĩ từ đâu?

Cộng/trừ hai quan hệ để triệt tiêu một đa thức.

Lời giải từng bước

1. $S+D=2P$, $S-D=2Q$; chia mọi hệ số cho $2$ được hai công thức.

2. Cộng hai kết quả cho $S$, trừ cho $D$; vì $2\ne0$ nên hai đa thức được xác định duy nhất.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phân chia mỗi hệ số cho $2$, không thay biến bằng $2$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Cho $P(x)=4x^2+x-2$, $Q(x)=x^2-3x+1$. Tính $R=P-Q$, rồi kiểm $R+Q$.

Gợi ý bài 1

Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-x^{2}+3x-1$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.

2. Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(4-(1))x^{2}+(1-(-3))x+(-2-(1))$.

3. Vậy $R=P-Q=3x^2+4x-3$.

Tự kiểm

$R+Q=(3x^2+4x-3)+(x^2-3x+1)=4x^2+x-2=P$, nên phép cộng ngược khôi phục đúng $P$.

Bài 2

Cơ bản

Cho $P(x)=x^{3}+2x-1$, $S(x)=2x^{3}-x+4$. Tìm $Q$ biết $P+Q=S$.

Gợi ý bài 2

Lấy tổng đã biết trừ số hạng đã biết rồi kiểm cộng ngược.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $Q=S-P=(2x^{3}-x+4)-(x^{3}+2x-1)$.

2. Đổi dấu đủ và nhóm hạng tử được $Q(x)=x^{3}-3x+5$.

Tự kiểm

$x^{3}+2x-1+(x^{3}-3x+5)=2x^{3}-x+4$, khôi phục đúng $S$.

Bài 3

Cơ bản

Bạn ghi $(x^2+x)-(x^2-x)=0$. Thử $x=1$ rồi sửa bằng thu gọn.

Gợi ý bài 3

Thử $1$ phát hiện, rồi đổi dấu đủ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Tại $x=1$, vế trái bằng $2\ne0$ nên sai.

2. Đúng là $x^2+x-x^2+x=2x$.

Tự kiểm

Không dừng ở phản ví dụ nếu đề còn yêu cầu sửa biểu thức.

Bài 4

Cơ bản

Hai cách tính tổng cùng kết quả tại $x=0$. Đã đủ xác nhận hai đa thức bằng nhau chưa? Nêu ví dụ.

Gợi ý bài 4

Giá trị tại $0$ chỉ kiểm hằng số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Chưa: $x$ và $x^2$ đều bằng $0$ tại $x=0$.

2. Tại $x=2$, giá trị $2$ và $4$ khác nhau, nên không đồng nhất.

Tự kiểm

Cần phép biến đổi hợp lệ hoặc so hệ số sau thu gọn.

Bài 5

Cơ bản

Cho $P(x)=x^{2}+2x+1$, $S(x)=4x^{2}-x+3$. Tìm $Q$ biết $P+Q=S$.

Gợi ý bài 5

Lấy tổng đã biết trừ số hạng đã biết rồi kiểm cộng ngược.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $Q=S-P=(4x^{2}-x+3)-(x^{2}+2x+1)$.

2. Đổi dấu đủ và nhóm hạng tử được $Q(x)=3x^{2}-3x+2$.

Tự kiểm

$x^{2}+2x+1+(3x^{2}-3x+2)=4x^{2}-x+3$, khôi phục đúng $S$.

Bài 6

Cơ bản

Cho $P(x)=5x^{2}+2x-3$, $Q(x)=3x^{2}+x+2$. Tính $P-Q$ bằng cách nhóm hạng tử.

Gợi ý bài 6

Đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ, rồi cộng các hạng tử cùng số mũ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Đa thức đối của $Q$ là $-Q(x)=-3x^{2}-x-2$. Vì vậy $P-Q=P+(-Q)$.

2. Các hệ số được ghép đúng số mũ: $(5-(3))x^{2}+(2-(1))x+(-3-(2))$.

3. Vậy $P-Q=2x^{2}+x-5$.

Tự kiểm

Cộng kết quả với $Q$ khôi phục $P$: $(2x^{2}+x-5)+(3x^{2}+x+2)=5x^{2}+2x-3$.

Bài 7

Cơ bản

$R=P-Q$ nhưng $R+Q$ khác $P$ theo hệ số của $x$. Có đủ khẳng định một dữ kiện hoặc phép tính nào đó sai không? Có xác định ngay lỗi ở $R$ không?

Gợi ý bài 7

Phép cộng ngược là điều kiện cần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. Ít nhất một trong biểu thức dữ kiện hoặc phép tính kiểm không nhất quán.

2. Chưa xác định riêng lỗi ở $R$ nếu chưa kiểm lại $P,Q$ và phép cộng; cần rà từng hệ số và dấu.

Tự kiểm

Phân biệt phát hiện mâu thuẫn với xác định nguồn lỗi.

Bài 8

Cơ bản

Cho $P=x^2+2x+1$, $Q=x^2-2x+1$. Tính $R=P-Q$ rồi kiểm $R+Q$.

Gợi ý bài 8

Hệ số bậc $2$ và hằng số triệt tiêu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $R=4 x$.

2. $4 x+(x^2-2 x+1)=x^2+2 x+1=P$.

Tự kiểm

Không bỏ hạng tử $x$ khi trừ hai hệ số trái dấu.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $S=3x^2+2x+5$, $D=x^2-4x+1$. Tìm $P,Q$ biết $P+Q=S$, $P-Q=D$.

Gợi ý bài 9

Dùng nửa tổng và nửa hiệu, chia mọi hệ số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $P=(S+D)/2=2 x^2-x+3$.

2. $Q=(S-D)/2=x^2+3 x+2$; cộng cho $S$, trừ cho $D$.

Tự kiểm

Cả hai quan hệ phải cùng thỏa.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $P=x^3+ax+2$, $Q=-x^3+bx-2$. Tổng $S=(a+b)x$ và hiệu $D=2x^3+(a-b)x+4$. Biết $S=6x$, $D=2x^3+2x+4$. Tìm $a,b$.

Gợi ý bài 10

So hai hệ số $x$ cho tổng và hiệu của $a$, $b$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $a+b=6$, $a-b=2$.

2. $2 a=8$ nên $a=4$, $b=2$.

Tự kiểm

Không giải riêng hai hệ số bằng hai giá trị không cùng cặp.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn tìm tổng $R$ rồi kiểm tại $x=0$ và $x=1$ đều đúng. Cho hai đa thức khác nhau cùng trùng tại $0,1$ để thấy giới hạn của phép kiểm.

Gợi ý bài 11

Có thể thêm $x(x-1)$ vào một ứng viên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $A=0$, $B=x(x-1)$ đều nhận $0$ tại $x=0,1$.

2. Tại $x=2$, $A=0$, $B=2$, nên khác nhau; hai phép thử không chứng minh đồng nhất cho mọi bậc.

Tự kiểm

Không phủ nhận ích lợi kiểm lỗi số học của phép thử.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Nếu $P-Q=0$ với mọi $x$ thì $P=Q$. Nếu chỉ $P(2)-Q(2)=0$ thì có buộc đồng nhất không? Nêu phản ví dụ.

Gợi ý bài 12

Tách quan hệ đa thức và quan hệ tại một điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Chọn $P=x$, $Q=2$. Tại $x=2$, hiệu bằng $0$.

2. Nhưng $P(0)=0\ne Q(0)=2$, nên không đồng nhất.

Tự kiểm

Mệnh đề với mọi $x$ khác mệnh đề tại một $x$ được chọn.

5. Tự kiểm sau khi học

Tiếp tục nhân đa thức bằng phân phối từng hạng tử.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Cộng và trừ đa thức một biến. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.