Căn bậc hai số học của số không âm lớp 7

Căn bậc hai số học và máy tính · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-06-B1

Sau bài này, em có thể:

• Nhận căn bậc hai số học của số không âm.
• Phân biệt ký hiệu căn với bài tìm số có bình phương đã biết.
• Giải thích vì sao giá trị căn được chọn duy nhất.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $a\ge0$, căn bậc hai số học của $a$ là số $b\ge0$ có $b^2=a$, ký hiệu $\sqrt a$. Khi dùng một số làm giá trị căn, kiểm hai điều kiện này.

Với $a>0$, hai số đối $b,-b$ có thể cùng bình phương bằng $a$, nhưng ký hiệu $\sqrt a$ chỉ chọn số không âm. Bình phương của số thực không âm, nên không có căn bậc hai số học thực của số âm.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{9}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $9$.

Lời giải từng bước

1. $3\ge0$ và $\left(3\right)^2=9$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{9}=3$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-3$ cũng bình phương thành $9$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 2. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{0}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $0$.

Lời giải từng bước

1. $0\ge0$ và $\left(0\right)^2=0$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{0}=0$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $0$ trùng với $0$; căn bậc hai số học của $0$ chỉ là $0$.

Ví dụ 3. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{1}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $1$.

Lời giải từng bước

1. $1\ge0$ và $\left(1\right)^2=1$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{1}=1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-1$ cũng bình phương thành $1$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 4. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{25}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $25$.

Lời giải từng bước

1. $5\ge0$ và $\left(5\right)^2=25$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{25}=5$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-5$ cũng bình phương thành $25$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 5. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{\frac{9}{16}}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $\frac{9}{16}$.

Lời giải từng bước

1. $\frac{3}{4}\ge0$ và $\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-\frac{3}{4}$ cũng bình phương thành $\frac{9}{16}$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 6. Không chọn số âm

Cơ bản

Đề bài

Số $-7$ có phải căn bậc hai số học của $49$ không?

Nghĩ từ đâu?

Bình phương đúng là một điều kiện; còn phải không âm.

Lời giải từng bước

1. $(-7)^2=49$ nhưng $-7<0$, nên không thỏa điều kiện không âm.

2. Căn bậc hai số học là $7$, vì $7\ge0$ và $7^2=49$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phân biệt “một số bình phương bằng $49$” với ký hiệu $\sqrt{49}$.

Ví dụ 7. Hai số bình phương giống nhau

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm mọi số hữu tỉ $x$ có $x^2=16$ và chỉ ra số nào là $\sqrt{16}$.

Nghĩ từ đâu?

Tách miền không âm và miền âm để không bỏ một số có cùng bình phương.

Lời giải từng bước

1. Nếu $x\ge0$, bình phương bằng $16$ buộc $x=4$. Nếu $x<0$, số đối $-x>0$ có bình phương $16$, nên $-x=4$ và $x=-4$.

2. Vậy $x=4$ hoặc $x=-4$, nhưng ký hiệu $\sqrt{16}$ chỉ số không âm $4$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$4^2=(-4)^2=16$; chỉ $4$ thỏa điều kiện không âm của căn bậc hai số học.

Ví dụ 8. Tính duy nhất của số không âm

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Vì sao không thể có hai số không âm khác nhau cùng là căn bậc hai số học của một số $a\ge0$?

Nghĩ từ đâu?

Giả sử hai số $u<v$ không âm; so bình phương của chúng.

Lời giải từng bước

1. Nếu $0\le u<v$, thì $v^2-u^2=(v-u)(v+u)>0$ vì $v-u>0$ và $v+u>0$.

2. Vì vậy $u^2<v^2$, nên không thể đồng thời bằng $a$. Căn bậc hai số học, nếu có, là duy nhất.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Trường hợp $u=0$ vẫn có $v+u>0$ vì $v>u$; dấu tích đã được kiểm đủ.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Vì sao $\sqrt{16}=4$? Nêu hai điều kiện cần kiểm.

Gợi ý bài 1

Kiểm dấu của $4$ và bình phương của nó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $4\ge0$.

2. $4^2=16$, nên $4$ là căn bậc hai số học của $16$.

Tự kiểm

Chỉ bình phương đúng chưa đủ: $-4$ có bình phương $16$ nhưng âm.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\sqrt0$ và $\sqrt1$.

Gợi ý bài 2

Tìm số không âm có bình phương lần lượt bằng $0$ và $1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $0\ge0$ và $0^2=0$, nên $\sqrt0=0$.

2. $1\ge0$ và $1^2=1$, nên $\sqrt1=1$.

Tự kiểm

Không dùng dấu $\pm$ cho giá trị ký hiệu căn bậc hai số học.

Bài 3

Cơ bản

Số $-5$ có phải căn bậc hai số học của $25$ không? Giải thích.

Gợi ý bài 3

Kiểm cả hai điều kiện, đặc biệt điều kiện dấu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $(-5)^2=25$ nhưng $-5<0$, nên không là căn bậc hai số học.

2. Số đúng là $5$ vì $5\ge0$ và $5^2=25$.

Tự kiểm

$\sqrt{25}=5$, không phải $-5$.

Bài 4

Cơ bản

Bạn viết $\sqrt{36}=\pm6$. Sửa ký hiệu và phân biệt với việc tìm các số $x$ có $x^2=36$.

Gợi ý bài 4

Ký hiệu căn chỉ một số không âm; phương trình bình phương có thể có hai số đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Ký hiệu đúng là $\sqrt{36}=6$.

2. Còn $x^2=36$ có hai nghiệm $x=6$ và $x=-6$, vì cả hai bình phương bằng $36$.

Tự kiểm

Không đặt dấu $\pm$ ở kết quả của căn bậc hai số học.

Bài 5

Cơ bản

Tính $\sqrt{64}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Gợi ý bài 5

Tìm số không âm có bình phương bằng $64$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $8\ge0$ và $\left(8\right)^2=64$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{64}=8$.

Tự kiểm

Số đối $-8$ cũng bình phương thành $64$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Bài 6

Cơ bản

Tính $\sqrt{\frac{25}{36}}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Gợi ý bài 6

Tìm số không âm có bình phương bằng $\frac{25}{36}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $\frac{5}{6}\ge0$ và $\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}$.

2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}$.

Tự kiểm

Số đối $-\frac{5}{6}$ cũng bình phương thành $\frac{25}{36}$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Bài 7

Cơ bản

Bạn viết $\sqrt{81}=-9$. Hãy chỉ rõ điều kiện bị vi phạm và sửa.

Gợi ý bài 7

Giá trị căn phải không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $-9$ âm dù bình phương bằng $81$, nên bị loại.

2. $9\ge0$ và $9^2=81$, nên $\sqrt{81}=9$.

Tự kiểm

Sửa dấu cần dựa vào định nghĩa, không theo sở thích chọn một trong hai nghiệm bình phương.

Bài 8

Cơ bản

Có căn bậc hai số học thực của $-4$ không? Giải thích bằng dấu bình phương.

Gợi ý bài 8

Bình phương của mọi số thực đều không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Không có số thực nào bình phương bằng $-4<0$.

2. Vì vậy trong phạm vi số thực ở bài này, $\sqrt{-4}$ không xác định.

Tự kiểm

Không trả lời $-2$, vì $(-2)^2=4$, không phải $-4$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số hữu tỉ $x$ thỏa $x^2=\dfrac9{25}$ rồi xác định $\sqrt{\dfrac9{25}}$.

Gợi ý bài 9

Hai số đối có cùng bình phương; căn bậc hai số học chọn số không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $\left(\dfrac35\right)^2=\left(-\dfrac35\right)^2=\dfrac9{25}$; các nghiệm là $x=\pm\dfrac35$.

2. Căn bậc hai số học là $\dfrac35$. Không có nghiệm khác vì trên các số không âm, bình phương tăng nghiêm ngặt; số âm được đưa về số đối.

Tự kiểm

Đã giải thích đủ hai nghiệm và chọn đúng một giá trị của căn.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $b\ge0$ và $b^2=a$. Có thể kết luận $a\ge0$ và $\sqrt a=b$ không?

Gợi ý bài 10

Dùng dấu bình phương rồi đối chiếu đúng định nghĩa.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Vì $a=b^2$, ta có $a\ge0$.

2. Số $b$ không âm và bình phương bằng $a$, nên theo định nghĩa $\sqrt a=b$.

Tự kiểm

Giả thiết $b\ge0$ không thể bỏ; nếu $b=-2$, tuy $b^2=4$ nhưng $\sqrt4\ne b$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Có số hữu tỉ $a$ nào thỏa $\sqrt a=-\dfrac12$ trong phạm vi số thực không?

Gợi ý bài 11

Giá trị ký hiệu căn bậc hai số học luôn không âm khi xác định.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. Nếu căn xác định, $\sqrt a\ge0$.

2. Vế phải $-\dfrac12<0$, nên không có số hữu tỉ $a$ thỏa mãn.

Tự kiểm

Bình phương hai vế cho ứng viên $a=\dfrac14$ nhưng thay lại căn bằng $\dfrac12$, không phải $-\dfrac12$.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Chứng minh nếu $0\le u<v$ thì $\sqrt{u^2}<\sqrt{v^2}$ mà không dùng máy tính.

Gợi ý bài 12

Căn của bình phương một số không âm trả lại chính số đó.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Vì $u,v$ không âm, $\sqrt{u^2}=u$ và $\sqrt{v^2}=v$.

2. Từ $u<v$, suy ra ngay bất đẳng thức cần chứng minh.

Tự kiểm

Điều kiện không âm rất quan trọng; với hai số âm thì không được trả căn bình phương về chính số đó.

5. Tự kiểm sau khi học

Với mọi căn tính được, hãy viết hai điều kiện kiểm trước khi đọc đáp số.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Căn bậc hai số học và máy tính. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.