Đến nội dung chính

Căn bậc hai số học của số chính phương lớp 7

THCSLớp 7Căn bậc hai số học và số thựcMở mô-đun

Căn bậc hai số học và máy tính · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-06-B2

Nhận các số chính phương giúp tính căn nhanh và chính xác. Dù dùng bảng nhớ, em vẫn cần kiểm bằng bình phương và điều kiện không âm.

Sau bài này, em có thể:

  • Tính căn của các số chính phương quen thuộc.
  • Nhận căn của một bình phương đã biết.
  • Tìm đủ các số nguyên hoặc số chính phương trong khoảng.

Cần biết trước: Định nghĩa căn bậc hai số học và bảng bình phương.

Cách học: Đọc kiến thức, làm theo hai ví dụ đầu rồi thử các bài cơ bản. Nếu mắc ở một bước, mở gợi ý trước; sau khi tự làm mới mở lời giải chi tiết. Phần chuyên sâu là tự chọn và có thể học trong lượt sau.

Với công thức hoặc bảng dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Một số nguyên không âm là số chính phương nếu bằng bình phương của một số nguyên. Khi $n\ge0$, ta có $\sqrt{n^2}=n$.

Muốn tìm số chính phương trong một khoảng, có thể tìm các căn nguyên tương ứng. Khi so bình phương, kiểm các số đang so không âm và giữ đúng việc lấy hay loại các đầu khoảng.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{49}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $49$.

Lời giải từng bước

  1. $7\ge0$ và $\left(7\right)^2=49$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{49}=7$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-7$ cũng bình phương thành $49$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 2. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{100}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $100$.

Lời giải từng bước

  1. $10\ge0$ và $\left(10\right)^2=100$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{100}=10$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-10$ cũng bình phương thành $100$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 3. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{144}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $144$.

Lời giải từng bước

  1. $12\ge0$ và $\left(12\right)^2=144$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{144}=12$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-12$ cũng bình phương thành $144$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 4. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{324}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $324$.

Lời giải từng bước

  1. $18\ge0$ và $\left(18\right)^2=324$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{324}=18$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-18$ cũng bình phương thành $324$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 5. Kiểm bằng bình phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{625}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Nghĩ từ đâu?

Tìm số không âm có bình phương bằng $625$.

Lời giải từng bước

  1. $25\ge0$ và $\left(25\right)^2=625$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{625}=25$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Số đối $-25$ cũng bình phương thành $625$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Ví dụ 6. Căn của một bình phương đã biết

Cơ bản

Đề bài

Cho $a=23^2$. Tính $\sqrt a$ mà không nhân $23\cdot23$.

Nghĩ từ đâu?

Cơ số $23$ đã không âm, nên định nghĩa căn trả về số đó.

Lời giải từng bước

  1. $a=23^2$ và $23\ge0$.

  2. Vì vậy $\sqrt a=23$; không cần tính trước $a=529$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Kiểm đúng dấu của cơ số; với $(-23)^2$ vẫn phải chọn $23$.

Ví dụ 7. Số nguyên nằm giữa hai số chính phương

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Tìm mọi số nguyên $N$ thỏa $3<\sqrt N<4$.

Nghĩ từ đâu?

Các số đều không âm nên có thể so bình phương; giữ hai dấu nghiêm ngặt.

Lời giải từng bước

  1. Điều kiện tương đương $9<N<16$.

  2. Các số nguyên cần tìm là $10,11,12,13,14,15$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai đầu $9,16$ bị loại vì căn của chúng bằng đúng $3,4$.

Ví dụ 8. Không thể lấy căn bằng chia đôi

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Bạn dùng quy tắc $\sqrt N=N:2$ cho mọi số chính phương. Tìm các $N\ge0$ mà đẳng thức đó thực sự đúng.

Nghĩ từ đâu?

Đặt $t=\sqrt N\ge0$, nên $N=t^2$, rồi xét $t=t^2:2$.

Lời giải từng bước

  1. Điều kiện thành $2t=t^2$, hay $t(t-2)=0$. Vì tích bằng $0$, $t=0$ hoặc $t=2$.

  2. Các giá trị $N$ tương ứng là $0$ và $4$; cả hai đều thỏa, ngoài chúng quy tắc không đúng.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Một công thức sai tổng quát vẫn có thể tình cờ đúng ở vài giá trị; không dùng vài phép thử để xác nhận quy tắc.

3. Những lỗi cần tránh

Lỗi Cách tự phát hiện và sửa
Lấy số dưới căn chia hai. Dùng định nghĩa bình phương bằng số dưới căn.
Căn của bình phương giữ nguyên dấu cơ số âm. Căn bậc hai số học phải không âm.

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Tính $\sqrt{49};\sqrt{81};\sqrt{121}$.

Gợi ý bài 1

Nhớ các bình phương tương ứng và kiểm dấu không âm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

  1. $7^2=49$, $9^2=81$, $11^2=121$.

  2. Vì $7,9,11$ đều không âm, các căn lần lượt là $7,9,11$.

Tự kiểm

Không chọn các số âm có cùng bình phương.

Bài 2

Cơ bản

Tính $\sqrt{225}$ và $\sqrt{400}$; kiểm bằng bình phương.

Gợi ý bài 2

Tìm số không âm nhân với chính nó thành số dưới căn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

  1. $15^2=225$ và $20^2=400$.

  2. Do $15,20\ge0$, ta có $\sqrt{225}=15$ và $\sqrt{400}=20$.

Tự kiểm

Tính nhân $15\cdot15$ và $20\cdot20$ kiểm lại, không chỉ đọc bảng nhớ.

Bài 3

Cơ bản

Nếu $a=17^2$, tính $\sqrt a$ mà không nhân $17\cdot17$.

Gợi ý bài 3

Định nghĩa căn áp dụng trực tiếp cho số không âm $17$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

  1. $17\ge0$ và $17^2=a$.

  2. Vì vậy $\sqrt a=17$.

Tự kiểm

Không cần giá trị số của $a$ để nhận căn.

Bài 4

Cơ bản

Bạn nói $\sqrt{64}=32$ vì lấy $64$ chia $2$. Dùng định nghĩa để bác bỏ và sửa.

Gợi ý bài 4

Bình phương số bạn nêu và so với $64$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

  1. $32^2=1024\ne64$, nên $32$ không thỏa định nghĩa.

  2. $8^2=64$ và $8\ge0$, do đó $\sqrt{64}=8$.

Tự kiểm

Lấy căn và chia đôi là hai phép toán khác nhau.

Bài 5

Cơ bản

Tính $\sqrt{196}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Gợi ý bài 5

Tìm số không âm có bình phương bằng $196$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

  1. $14\ge0$ và $\left(14\right)^2=196$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{196}=14$.

Tự kiểm

Số đối $-14$ cũng bình phương thành $196$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Bài 6

Cơ bản

Tính $\sqrt{900}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Gợi ý bài 6

Tìm số không âm có bình phương bằng $900$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

  1. $30\ge0$ và $\left(30\right)^2=900$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{900}=30$.

Tự kiểm

Số đối $-30$ cũng bình phương thành $900$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Bài 7

Cơ bản

Tính $\sqrt{\frac{49}{64}}$ và kiểm hai điều kiện của căn bậc hai số học.

Gợi ý bài 7

Tìm số không âm có bình phương bằng $\frac{49}{64}$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

  1. $\frac{7}{8}\ge0$ và $\left(\frac{7}{8}\right)^2=\frac{49}{64}$.

  2. Vì thỏa cả hai điều kiện nên $\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$.

Tự kiểm

Số đối $-\frac{7}{8}$ cũng bình phương thành $\frac{49}{64}$ nhưng âm nên không phải căn bậc hai số học.

Bài 8

Cơ bản

Cho $b=(-19)^2$. Tính $\sqrt b$ mà không khai triển bình phương.

Gợi ý bài 8

Căn trả số không âm có cùng bình phương, không nhất thiết trả dấu của cơ số đã viết.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

  1. $b=(-19)^2=19^2$.

  2. Vì $19\ge0$, $\sqrt b=19$.

Tự kiểm

Kết quả $-19$ bị loại do âm.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số nguyên $N$ sao cho $5\le\sqrt N<6$.

Gợi ý bài 9

Bình phương hai đầu không âm và chú ý đầu trái được lấy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

  1. Điều kiện tương đương $25\le N<36$.

  2. Các số nguyên là $25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35$.

Tự kiểm

$25$ được lấy, $36$ bị loại; có $11$ số.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Cho $N$ là số chính phương nguyên và $100<N<169$. Tìm mọi $N$.

Gợi ý bài 10

Căn nguyên dương của $N$ phải nằm nghiêm ngặt giữa $10$ và $13$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

  1. Các căn nguyên có thể là $11,12$.

  2. Vì vậy $N=121$ hoặc $N=144$; không có căn nguyên khác trong khoảng.

Tự kiểm

$100,169$ là hai đầu bị loại; cả hai đáp án đều nằm trong khoảng.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Tìm mọi số nguyên không âm $N$ sao cho $\sqrt N=N$.

Gợi ý bài 11

Đặt $t=\sqrt N=N\ge0$, suy ra $N^2=N$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

  1. Điều kiện buộc $N(N-1)=0$, nên $N=0$ hoặc $N=1$.

  2. Kiểm $\sqrt0=0$ và $\sqrt1=1$, cả hai thỏa.

Tự kiểm

Không có số nguyên lớn hơn $1$ thỏa, vì bình phương nó lớn hơn chính nó.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Bạn nhớ $14^2=196$ và $15^2=225$. Có đủ để kết luận $\sqrt{210}=14$ hoặc $15$ không?

Gợi ý bài 12

Số dưới căn nằm giữa hai bình phương, nên căn nằm giữa hai số, không phải bằng một đầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

  1. $196<210<225$, nên $14<\sqrt{210}<15$.

  2. Căn không bằng $14$ hoặc $15$ vì bình phương của hai số đó không bằng $210$.

Tự kiểm

Khoảng chứa giá trị chưa phải một giá trị căn chính xác.

5. Tự kiểm sau khi học

Nếu chưa nhớ bình phương, viết phép nhân để kiểm thay vì đoán từ chữ số tận cùng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Căn bậc hai số học và máy tính. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.

Tải bộ năm phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án của phiếu