Sắp xếp các bước chứng minh tứ giác – Toán lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Chứng minh nhiều bước cần xác lập kết quả trung gian trước khi dùng nó làm tiền đề tiếp. Một sơ đồ ngắn chỉ có giá trị nếu mỗi mũi chuyển có dấu hiệu đủ.
Sau bài này, em có thể:
- Ghép dấu hiệu theo đúng thứ tự
- Trình bày căn cứ của từng bước
Cần biết trước: Mô$-$đun $31–36$.
1. Kiến thức và phương pháp
Từ tứ giác đến bình hành có thể dùng cạnh hoặc đường chéo. Sau khi có bình hành, thêm góc vuông hoặc đường chéo bằng nhau để nhận chữ nhật; thêm cạnh kề bằng nhau hoặc đường chéo vuông góc để nhận thoi.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Từ hai cặp cạnh
Đề bài
Tứ giác lồi $ABCD$ có $AB=CD=8$ cm, $AD=BC=5$ cm và $\angle A=90^\circ$. Nhận loại hình.
Lời giải
Hai cặp cạnh đối bằng nhau cho hình bình hành. Một góc vuông trong hình bình hành cho cả bốn góc vuông, nên hình chữ nhật.
Cách tự kiểm
Kết luận dừng ở chữ nhật: hai cạnh kề $8$ cm và $5$ cm khác nhau.
Ví dụ 2. Từ các nửa đường chéo
Đề bài
Hai đường chéo của tứ giác lồi $ABCD$ cắt tại $O$, với $AO=OC=4$ cm và $BO=OD=4$ cm. Nhận loại hình chắc chắn.
Lời giải
Hai đường chéo chia đôi nhau nên bình hành. Cả hai đường chéo bằng $8$ cm, nên hình bình hành là hình chữ nhật.
Cách tự kiểm
Chưa biết góc giao của đường chéo nên chưa kết luận vuông.
Ví dụ 3. Từ hình thoi đến hình vuông
Đề bài
Hình thoi $ABCD$ có $AC=BD=12$ cm. Chứng minh hình vuông.
Lời giải
Hình thoi là hình bình hành. Bình hành có đường chéo bằng nhau nên là chữ nhật. Vừa là chữ nhật vừa là thoi, nó là hình vuông.
Cách tự kiểm
Hai nguồn điều kiện là bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.
Ví dụ 4. Tính rồi nhận biết
Đề bài
Hình chữ nhật có $AB=3x-1$ cm, $BC=8$ cm. Tìm $x$ để nhận hình vuông.
Lời giải
Đặt $AB=BC$: $3x-1=8$, suy $x=3$. Khi đó hai cạnh kề đều $8$ cm; chữ nhật có cạnh kề bằng nhau là vuông.
Cách tự kiểm
Giải xong kiểm độ dài dương và viện dẫn đủ tiền đề chữ nhật.
3. Những lỗi thường gặp
- Dùng bước sau để chứng minh tiền đề bước trước.
- Chỉ vẽ sơ đồ mà không nêu dấu hiệu ở mỗi bước.
- Bỏ điều kiện tứ giác lồi hoặc vị trí giao điểm.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Cho tứ giác lồi $ABCD$, $AB$ song song $CD$ và $AB=CD$. Nếu thêm góc $A=90^\circ $, chứng minh hình chữ nhật.
-
Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB=BC$ và $AC=BD$. Chứng minh hình vuông bằng quan hệ các lớp hình.
-
Một hình chữ nhật có $O$ là giao đường chéo, góc $AOB=90^\circ $. Giải thích vì sao điều kiện này đủ để là hình vuông.
-
Tự tạo một bài nhận biết gồm hai bước từ tứ giác lồi đến hình bình hành rồi hình chữ nhật hoặc hình thoi. Viết giả thiết và lời giải đầy đủ.
-
$AB=CD$, $BC=DA$ và $AC$ vuông góc $BD$. Chứng minh thoi.
-
Hai đường chéo chia đôi nhau, bằng nhau; $AB=BC$. Chứng minh vuông.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau suy hình bình hành; có một góc vuông suy các góc đều vuông, là hình chữ nhật.
-
$AB=BC$ trong hình bình hành suy hình thoi; $AC=BD$ suy hình chữ nhật. Vừa bốn cạnh bằng nhau vừa bốn góc vuông nên hình vuông.
-
Góc $AOB$ vuông nghĩa $AC$ vuông góc $BD$. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
-
Ví dụ hai đường chéo chia đôi nhau và bằng nhau: bước $1$ hình bình hành, bước $2$ hình chữ nhật. Cần nêu đủ dữ kiện, không dùng kết luận làm giả thiết.
Mở đáp án và lời giải bài 5–6
-
Hai cặp cạnh đối bằng nhau cho bình hành; đường chéo vuông góc cho thoi.
-
Chia đôi nhau cho bình hành, bằng nhau cho chữ nhật; chữ nhật có cạnh kề bằng nhau cho vuông.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.