Đồng dạng phối cảnh cùng tia – Toán lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Với hình đồng dạng phối cảnh, các đường nối điểm tương ứng cùng đi qua một tâm. Nhưng chỉ đồng quy chưa đủ: các khoảng cách còn phải cùng tỉ số.
Sau bài này, em có thể:
- Nhận hình đồng dạng phối cảnh và tâm.
- Giải thích căn cứ và tự kiểm kết quả trong các tình huống của bài.
Cần biết trước: Mô-đun 42; tỉ số kích thước.
1. Kiến thức và phương pháp
Trong mô hình cùng tia, chọn tâm $O$ và $k>0$. Với mỗi điểm $P\ne O$, lấy $P_1$ trên tia $OP$ sao cho $OP_1=kOP$; tâm $O$ giữ nguyên. Cùng một quy tắc cho mọi điểm tạo hai hình vị tự, hay đồng dạng phối cảnh. Bài này xét trường hợp hệ số dương cùng tia.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Nhận tâm và hệ số
Đề bài
$A_1,B_1,C_1$ ở các tia $OA,OB,OC$ và $OA_1=2OA$, $OB_1=2OB$, $OC_1=2OC$.
Lời giải
Tâm là $O$, hệ số từ $ABC$ sang $A_1B_1C_1$ là $2$. Mọi cặp dùng cùng tâm, cùng tia và cùng tỉ số, nên là hai hình đồng dạng phối cảnh.
Cách tự kiểm
Kiểm cả ba cặp, không chỉ cặp $A,A_1$.
Ví dụ 2. Kiểm tỉ số bằng số
Đề bài
$OA=3$, $OA_1=6$, $OB=4$, $OB_1=8$, $OC=5$, $OC_1=10$ cm; mỗi cặp cùng tia.
Lời giải
Các thương $6/3,8/4,10/5$ đều bằng $2$, nên cùng hệ số.
Cách tự kiểm
Phải kèm điều kiện cùng tia; ba thương riêng lẻ không cho biết hướng.
Ví dụ 3. Đồng quy nhưng không phóng đều
Đề bài
Ba đường nối đi qua $O$ nhưng các thương khoảng cách là $2,2,3$.
Lời giải
Không có cùng một hệ số cho ba cặp tương ứng. Vì thế không phải phép vị tự theo tâm $O$ và ghép đỉnh đã chọn.
Cách tự kiểm
Đồng quy kiểm vị trí tâm; tỉ số chung kiểm phóng đều.
Ví dụ 4. Đồng dạng không luôn là vị tự theo ghép đã cho
Đề bài
Một tam giác được trượt sang phải $6$ cm; ba đường nối đỉnh tương ứng song song, phân biệt.
Lời giải
Phép trượt giữ độ dài và góc nên hai tam giác đồng dạng. Tuy nhiên ba đường nối phân biệt song song không có điểm chung hữu hạn, nên không có tâm vị tự theo ghép này.
Cách tự kiểm
Không suy mọi cặp hình đồng dạng đều có tâm phối cảnh cho mọi ghép đỉnh.
3. Những lỗi thường gặp
- Không chỉ kiểm các đường nối đồng quy mà bỏ tỉ số.
- Với mô hình cùng tia, không đặt điểm mới lên tia đối.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Cho $A_{1}$ thuộc tia $OA$, $B_{1}$ thuộc tia $OB$, $C_{1}$ thuộc tia $OC$ và $OA_{1} = 2OA$, $OB_{1} = 2OB$, $OC_{1} = 2OC$. Nêu tâm, hệ số phóng và kết luận về sự đồng dạng của $ABC$, $A_{1}B_{1}C_{1}$.
-
Chỉ biết các đường $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ cùng đi qua $O$ có đủ nhận hình đồng dạng phối cảnh theo mô hình cùng tia không?
-
Biết $OA = 3$ cm, $OA_{1} = 6$ cm, $OB = 4$ cm, $OB_{1} = 8$ cm, $OC = 5$ cm, $OC_{1} = 10$ cm và mỗi cặp ở cùng tia từ $O$. Kiểm các tỉ số.
-
Hai tam giác bằng nhau được tạo bằng cách trượt mọi đỉnh sang phải $6$ cm. Các đường nối cặp đỉnh tương ứng song song, phân biệt. Chúng đồng dạng, nhưng có tâm phối cảnh hữu hạn theo đúng ghép đỉnh đó không?
-
$OA=5$ cm, $OA_1=15$ cm; $OB=4$ cm. Nếu cùng vị tự hệ số dương, $OB_1$ bằng bao nhiêu?
-
Hai đường nối đỉnh cắt tại $O$. Đã xác nhận tâm vị tự cho cả hai tam giác chưa?
-
Ba cặp điểm cùng tia từ $O$ có các thương $3/2,3/2,3/2$. Nêu tâm và hệ số.
-
Nếu một điểm gốc là tâm $O$, ảnh của nó trong phép vị tự là đâu?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Tâm là $O$; hệ số theo chiều $ABC$ sang $A_{1}B_{1}C_{1}$ là $2$. Ba cặp cùng tia và dùng cùng một tỉ số, không chỉ riêng cặp $A$, $A_{1}$. Đây là hai tam giác đồng dạng phối cảnh, nên cũng là hai tam giác đồng dạng.
-
Chưa đủ. Cần kiểm các điểm tương ứng ở cùng tia và $OA_{1}/OA = OB_{1}/OB = OC_{1}/OC$ với cùng tỉ số dương; riêng đồng quy chưa bảo đảm phóng đều.
-
$OA_{1}/OA = \frac{6}{3} = 2$, $OB_{1}/OB = \frac{8}{4} = 2$, $OC_{1}/OC = \frac{10}{5} = 2$. Các điều kiện cùng tâm, cùng tia, cùng tỉ số được thỏa.
-
Không có tâm hữu hạn chung: các đường nối tương ứng song song và phân biệt nên không đồng quy. Hai hình vẫn đồng dạng vì phép trượt giữ độ dài và góc. Đồng dạng không buộc mọi ghép tương ứng đều là vị tự.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
$k=3$, nên $OB_1=12$ cm và $B_1$ nằm trên tia $OB$.
-
Chưa: phải kiểm đường nối cặp đỉnh thứ ba đi qua $O$, điều kiện tia và cùng tỉ số cho tất cả các cặp.
-
Tâm $O$, hệ số $3/2$, nếu các điểm gốc khác tâm để các thương xác định.
-
Chính $O$. Không kiểm cặp ấy bằng thương $0/0$; dùng tính chất tâm giữ nguyên.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.