Tính độ dài với phân giác trong tam giác lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Khi dữ kiện chứa ẩn, hệ thức phân giác dẫn tới phương trình. Điều kiện độ dài phải được đặt trước và kiểm lại sau khi giải.
Sau bài này, em có thể:
- Tính độ dài với dữ kiện phân giác.
- Giải thích căn cứ và tự kiểm kết quả trong các tình huống của bài.
Cần biết trước: Mô-đun 39; phân giác góc và tỉ lệ thức.
1. Kiến thức và phương pháp
Nếu $BC=a$ và đặt $BD=x$ thì $DC=a-x$, với $0<x<a$. Nếu hai đoạn được cho bởi các biểu thức khác, mỗi biểu thức phải dương. Lập $BD/DC=AB/AC$, giải rồi kiểm tổng, tỉ số và sự phù hợp của tam giác.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Một đoạn là ẩn, biết toàn cạnh
Đề bài
$AB=6$ cm, $AC=10$ cm, $BC=12$ cm. Tìm $BD$.
Lời giải
Đặt $BD=x$ cm, $0<x<12$. Ta có
Suy ra $5x=36-3x$, nên $x=4{,}5$. Vậy $BD=4{,}5$ cm, $DC=7{,}5$ cm.
Cách tự kiểm
$4{,}5+7{,}5=12$ và $4{,}5/7{,}5=3/5$.
Ví dụ 2. Cả hai đoạn chứa ẩn
Đề bài
$AB=9$ cm, $AC=6$ cm, $BD=x+1$ cm, $DC=x-1$ cm. Tìm $x$.
Lời giải
Điều kiện $x>1$. Phương trình $2(x+1)=3(x-1)$ cho $x=5$. Hai đoạn là $6$ cm và $4$ cm.
Cách tự kiểm
$6/4=9/6$; $BC=10$ cm và $|9-6|<10<9+6$.
Ví dụ 3. Ẩn ở cạnh kề góc
Đề bài
$AB=5$ cm, $BD=3$ cm, $DC=4{,}2$ cm. Tìm $AC$.
Lời giải
Nhân chéo: $3AC=21$, nên $AC=7$ cm.
Cách tự kiểm
$BC=7{,}2$ cm; ba cạnh $5,7,7{,}2$ thỏa bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ 4. Loại một giá trị không phải độ dài
Đề bài
Với $BC=12$ cm và $BD=x$, vì sao $x=15$ không phù hợp?
Lời giải
$D$ nằm giữa $B,C$ nên $0<x<12$. Nếu $x=15$ thì $DC=12-15=-3$ cm, trái với độ dài dương. Cần tìm lỗi biến đổi thay vì nhận nghiệm này.
Cách tự kiểm
Điều kiện hình học là một cách phát hiện sai độc lập với phép nhân chéo.
3. Những lỗi thường gặp
- Không viết $DC=x-12$ nếu đã đặt $BD=x$ và $BC=12$.
- Giải phương trình xong phải kiểm điều kiện, không chỉ ghi nghiệm đại số.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
$AD$ là phân giác trong, $AB = 6$ cm, $AC = 10$ cm, $BC = 12$ cm. Tìm $BD$ bằng phương trình và kiểm $DC$.
-
$AD$ là phân giác trong, $AB = 9$ cm, $AC = 6$ cm. Biết $BD = x + 1$ cm, $DC = x - 1$ cm. Tìm $x$ và kiểm độ dài dương.
-
$AD$ là phân giác trong, $AB = 5$ cm, $BD = 3$ cm, $DC = 4{,}2$ cm. Tìm $AC$.
-
Có người giải $x/(12 - x) = \frac{3}{5}$ rồi nhận $x = 15$ cm là độ dài $BD$. Ngoài tính lại, điều kiện nào cho biết kết quả đã không phù hợp?
-
$AB=8$ cm, $AC=12$ cm, $BC=20$ cm, $AD$ phân giác trong. Tìm $BD$ bằng phương trình.
-
$AB=10$ cm, $AC=15$ cm, $BD=x$ cm, $DC=x+3$ cm. Tìm hai đoạn.
-
$AB=7$, $AC=14$, $BD=x$, $DC=x+4$ cm, $AD$ phân giác trong. Tìm $x$ và kiểm tam giác.
-
Phương trình độ dài cho nghiệm $x=0$. Vì sao cần kiểm riêng trong tam giác không suy biến?
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Đặt $BD = x$, $0 < x < 12$. $x/(12 - x) = \frac{6}{10}$ nên $10x = 72 - 6x$; $x = 4{,}5$. $DC = 7{,}5$ cm và $4{,}5/7{,}5 = \frac{3}{5}$.
-
$(x + 1)/(x - 1) = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ với $x > 1$. Suy ra $2x + 2 = 3x - 3$, nên $x = 5$. $BD = 6$ cm, $DC = 4$ cm; $BC = 10$ cm phù hợp các cạnh $9$ cm, $6$ cm.
-
$3/4{,}2 = 5/AC$ nên $AC = 7$ cm. $BC = 7{,}2$ cm, nhỏ hơn $5 + 7$ và lớn hơn $7 - 5$.
-
$D$ nằm giữa $B$, $C$ và $BC = 12$ cm nên phải có $0 < x < 12$. $x = 15$ làm $DC = -3$ cm, không thể là độ dài. Giải đúng cho $x = 4{,}5$ cm.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Đặt $BD=x$, $0<x<20$. $x/(20-x)=2/3$ cho $3x=40-2x$, nên $x=8$ cm. Nhưng $8+12=20$ là bộ cạnh suy biến: dữ kiện không tạo thành tam giác; không có cấu hình đã nêu.
-
$x/(x+3)=2/3$ với $x>0$. Suy ra $3x=2x+6$, nên $BD=6$ cm, $DC=9$ cm; $BC=15$ cm phù hợp tam giác.
-
$x/(x+4)=1/2$ nên $x=4$; $BD=4$, $DC=8$, $BC=12$ cm; $|14-7|<12<21$ nên phù hợp.
-
Nếu $x$ là đoạn cạnh được chia bởi phân giác trong thì phải dương; $x=0$ làm điểm chia trùng đầu mút và không thỏa cấu hình.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.