Đến nội dung chính
THCSLớp 9Thống kê và xác suấtMở mô-đun

Bảng và biểu đồ dữ liệu phù hợp · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-45-B5

Quạt tròn diễn tả các phần của một tổng, còn đoạn thẳng làm rõ biến đổi qua các mốc có thứ tự. Em sẽ chọn dạng phù hợp, kiểm góc quạt và phân biệt dữ liệu quan sát với giá trị nội suy.

Sau bài này, em có thể:

  • Chọn quạt tròn hoặc đoạn thẳng theo ý nghĩa dữ liệu.
  • Tính góc, khôi phục số đếm và kiểm giới hạn của nhãn làm tròn, đoạn nối.

Cần biết trước: Phân loại dữ liệu và đọc bảng, biểu đồ lớp 6–8.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Quạt tròn phù hợp các phần không chồng và đủ một tổng; góc bằng $360^\circ$ nhân tỉ lệ. Đoạn thẳng cần thứ tự ngang có ý nghĩa; đoạn nối không cung cấp số đo chưa quan sát.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Từ tỉ lệ sang góc

Cơ bản

Đề bài

Cơ cấu 20%,30%,50% có góc quạt nào?

Lời giải và cách suy nghĩ

Các góc lần lượt $360^\circ\cdot20\%=72^\circ$, $108^\circ$, $180^\circ$, tổng $360^\circ$. Các nhóm cần không chồng lấn và phủ hết tổng.

Cách tự kiểm

Góc bằng 360 nhân tỉ lệ.

Ví dụ 2. Từ góc về tỉ lệ

Cơ bản

Đề bài

Một quạt 54° chiếm bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tỉ lệ là $54/360=3/20=15\%$, không phải $54\%$.

Cách tự kiểm

Chia góc cho cả vòng.

Ví dụ 3. Theo dõi biến đổi

Cơ bản

Đề bài

Số theo thời gian 5,8,6,9 mô tả xu hướng?

Lời giải và cách suy nghĩ

Các hiệu liên tiếp là $8-5=3$, $6-8=-2$, $9-6=3$. Dãy tăng, giảm rồi tăng; không tăng liên tục.

Cách tự kiểm

Tính từng hiệu liên tiếp.

Ví dụ 4. Nhãn loại không có thứ tự

Vận dụng

Đề bài

Nhãn thể thao A, B, C không có thứ tự: cột hay đoạn thẳng?

Lời giải và cách suy nghĩ

Biểu đồ cột phù hợp hơn để so các loại không có thứ tự tự nhiên. Nối các nhãn loại tùy ý có thể tạo ấn tượng về xu hướng không có nghĩa.

Cách tự kiểm

Xét ý nghĩa thứ tự ngang.

Ví dụ 5. Đoạn nối không phải số đo mới

Vận dụng

Đề bài

Nhiệt độ hai ngày 20,30°C; đường nối có chứng minh giữa ngày là 25°C không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Đường nối hai mốc nhiệt độ chỉ mô tả trực quan hai quan sát; nhiệt độ ở giữa cần một phép đo hoặc giả thiết nội suy riêng.

Cách tự kiểm

Phân biệt dữ liệu với nội suy.

Ví dụ 6. Cơ cấu khoản chi

Nâng cao

Đề bài

Các khoản 50,30,20 nghìn đồng. Đổi thành góc?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng là $50+30+20=100$ nghìn đồng. Các góc tương ứng $180^\circ$, $108^\circ$, $72^\circ$. Chỉ dùng khi các khoản cùng phạm vi và không chồng nhau.

Cách tự kiểm

Tính tổng tiền trước.

Ví dụ 7. Các nhóm chồng lấn

Nâng cao

Đề bài

Tỉ lệ chọn môn 60%,50% do nhiều lựa chọn, vẽ quạt được không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không dùng hai tỉ lệ như hai phần không chồng của một số người vì tổng $110\%$. Có thể dùng cột tỉ lệ và ghi rõ nhiều lựa chọn; tự chuẩn hóa sẽ đổi mẫu số và câu hỏi.

Cách tự kiểm

Không tự chuẩn hóa làm đổi mẫu số.

Ví dụ 8. Từ tỉ số góc tới số đếm

Thử thách

Đề bài

Tổng 100 quan sát; ba quạt góc tỉ lệ 2:3:5. Tìm số đếm.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng số phần $2+3+5=10$. Tỉ lệ là $20\%,30\%,50\%$; số đếm $20,30,50$; góc $72^\circ,108^\circ,180^\circ$. Kiểm cả tổng $100$ quan sát lẫn $360^\circ$.

Cách tự kiểm

Tổng số phần là 10.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
  • Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
  • Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Một ngân sách giả định chia thành sách 50%, dụng cụ 30%, hoạt động 20%. Biểu đồ quạt tròn có phù hợp không? Tính góc mỗi quạt.

    Gợi ý bài 1

    Kiểm ba phần có đủ 100% và có chồng nhau không trước khi nhân 360°.

  2. Nhiệt độ đo cùng giờ trong bốn ngày là 28, 30, 29, 31°C. Chọn cột hay đoạn thẳng để nhấn mạnh biến đổi theo ngày, rồi mô tả xu hướng.

    Gợi ý bài 2

    Đặt bốn ngày đúng thứ tự và tính từng hiệu liên tiếp.

  3. Chọn biểu đồ cho (a) cơ cấu chi tiêu của một tổng; (b) số cây của bốn tổ; (c) chiều cao cây qua sáu tuần. Giải thích khi nào dùng quạt tròn và khi nào dùng đoạn thẳng.

    Gợi ý bài 3

    Xem biến là phần của tổng, nhãn nhóm hay biến đổi theo thời gian.

  4. Một khảo sát cho phép mỗi bạn chọn nhiều môn thể thao; các tỉ lệ lựa chọn cộng thành 140%. Có thể vẽ các tỉ lệ đó thành những quạt của một hình tròn không?

    Gợi ý bài 4

    Các nhóm nhiều lựa chọn có thể chồng nhau; tổng góc vẫn chỉ 360°.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4
  1. Phù hợp vì ba phần không chồng lấn và tổng 100%. Góc lần lượt 180°, 108°, 72°. Tổng 360°.

  2. Có thể chọn đoạn thẳng với các ngày đúng thứ tự. Nhiệt độ tăng 2°C, giảm 1°C rồi tăng 2°C; không tăng liên tục.

  3. (a) Quạt tròn khi các khoản loại trừ nhau và đủ tổng. (b) Cột đơn để so số cây. (c) Đoạn thẳng theo tuần để theo dõi thay đổi. Đoạn thẳng không tự khẳng định giá trị giữa các lần đo.

  4. Không, vì các nhóm chồng lấn và tổng không phải 100%. Dùng biểu đồ cột tỉ lệ lựa chọn, ghi rõ một bạn được chọn nhiều môn; không tự chia lại cho 140% vì sẽ đổi nghĩa dữ liệu.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Ba khoản sách, dụng cụ, hoạt động là 40,35,25 nghìn đồng, không chồng nhau. Chọn dạng biểu đồ và tính góc.

    Gợi ý bài 5

    Tính tổng 100 rồi nhân 360° với từng phần.

  2. Cây cao lần lượt $12,15,14,18$ cm ở bốn tuần liên tiếp. Mô tả biểu đồ đoạn thẳng và chiều biến đổi.

    Gợi ý bài 6

    Đặt tuần đúng thứ tự, không sắp xếp theo chiều cao.

  3. Ba môn được chọn bởi 60%,50%,30% số người; cho phép nhiều lựa chọn. Có dùng một hình quạt cho cơ cấu người không? Đề xuất dạng khác.

    Gợi ý bài 7

    Tổng các phần là 140%, các nhóm có thể giao nhau.

  4. Một quạt $120^\circ$ biểu thị 8 người. Tìm tổng và số người ở phần còn lại nếu góc được cho chính xác.

    Gợi ý bài 8

    Liên hệ $8/N=120/360$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8
  1. Quạt tròn phù hợp cơ cấu tổng 100 nghìn đồng. Góc lần lượt $144^\circ,126^\circ,90^\circ$, tổng $360^\circ$. Giữ tên từng khoản và cùng đơn vị.

  2. Đặt các điểm $(1;12),(2;15),(3;14),(4;18)$, trục ngang Tuần, dọc Chiều cao(cm). Các hiệu $3,-1,4$ cm nên không tăng liên tục. Đoạn nối không tự xác định chiều cao mọi ngày giữa tuần.

  3. Không dùng ba quạt như các phần không chồng của cùng số người. Dùng cột phần trăm lựa chọn, ghi rõ nhiều lựa chọn; không chia lại cho 140% để tạo cơ cấu mới mà không đổi câu hỏi.

  4. $8/N=1/3$ nên $N=24$. Phần còn lại $24-8=16$ người, góc $240^\circ$. Giả thiết nhóm đủ tổng và không chồng nhau là cần.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Ba quạt có góc $x,2x,3x$. Tìm các tỉ lệ của tổng.

    Gợi ý bài 9

    Tổng góc $360^\circ$.

  2. Quạt $90^\circ$ biểu thị 12 quan sát. Tìm cỡ mẫu, biết góc chính xác.

    Gợi ý bài 10

    Liên hệ góc với tỉ lệ $12/N$.

  3. Chiều cao một cây ở ba mốc thời gian bằng nhau là 100 cm, tăng 20% rồi giảm 20% so mốc liền trước. Tính dãy để vẽ đoạn thẳng và mô tả.

    Gợi ý bài 11

    Mỗi lần nhân hệ số trên giá trị mới.

  4. Tổng số sản phẩm ba ngày 24; ngày 2 gấp 2 ngày 1, ngày 3 hơn ngày 2 là 4. Tìm dãy để vẽ theo thời gian.

    Gợi ý bài 12

    Đặt ngày 1 là $x$.

  5. Ba quạt có nhãn làm tròn 33%,33%,33%. Có nhất thiết sai không?

    Gợi ý bài 13

    Thử ba tỉ lệ chính xác đều bằng $1/3$.

  6. Quạt có nhãn 25%, cỡ mẫu 10. Nhãn có thể chính xác hoặc do làm tròn đến một điểm phần trăm không?

    Gợi ý bài 14

    Tần số tương đối của mẫu 10 là các bội 10%.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14
  1. $6x=360^\circ$ nên $x=60^\circ$. Các tỉ lệ $1/6,1/3,1/2$, không phải 60%,120%,180%.

  2. $12/N=90/360=1/4$ nên $N=48$.

  3. Dãy $100,120,96$ cm. Vẽ các điểm theo đúng thứ tự: tăng rồi giảm, cuối thấp hơn đầu 4 cm, tức 4%. Không cộng hai phần trăm để suy trở về đầu; không suy chiều cao giữa mốc nếu chưa có mô hình thêm.

  4. $x+2x+(2x+4)=24$ nên $x=4$. Dãy $4,8,12$. Đoạn thẳng tăng ở các mốc, chưa chứng minh mọi thời điểm trung gian đều tăng.

  5. Không. Mỗi $1/3$ làm tròn đến một điểm phần trăm thành 33%, tổng nhãn 99%. Cần ghi quy tắc làm tròn và giữ số đếm; không sửa ngầm một nhóm.

  6. Nếu chính xác thì số đếm $0{,}25\cdot10=2{,}5$ không nguyên. Nếu làm tròn đến một điểm phần trăm thì cũng không được 25%, vì các tỉ lệ thật đều là bội 10%. Cần kiểm nhãn, cỡ mẫu hoặc quy tắc khác được nêu rõ; không tự quy lỗi cho làm tròn.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Dãy theo ba thời điểm cách đều là $2,a,8$ và tăng cùng một lượng mỗi bước. Tìm $a$.

    Gợi ý bài 15

    Cho hai hiệu bằng nhau.

  2. Mẫu 12, ba số đếm $(a;a;12-2a)$ đều nguyên dương. Liệt kê góc có thể của quạt cuối.

    Gợi ý bài 16

    Mỗi quan sát ứng với $360^\circ/12=30^\circ$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16
  1. $a-2=8-a$ nên $a=5$. Nếu khoảng thời gian không bằng nhau, cần một giả thiết về tốc độ khác và không được dùng ngay hai hiệu bằng nhau.

  2. $a\in\{1,2,3,4,5\}$. Số cuối lần lượt 10,8,6,4,2 nên góc $300^\circ,240^\circ,180^\circ,120^\circ,60^\circ$. Danh sách đủ từ hai điều kiện $a>0$ và $12-2a>0$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.