Giải bất phương trình bậc nhất: chuyển vế và chia hệ số – lớp 9

Bất phương trình bậc nhất một ẩn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-12-B3

Giải bất phương trình là dùng các biến đổi tương đương để tìm tất cả giá trị làm nó đúng. Mỗi lần chia hệ số phải xác định dấu; trường hợp hệ số bằng không được xét riêng.

Sau bài này, em có thể:

• Giải qua các bước tương đương.
• Xét hệ số và kiểm biên.

Cần biết trước: Mô-đun 11; phương trình bậc nhất lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Cộng hoặc trừ cùng biểu thức giữ chiều. Nhân hoặc chia cùng số dương giữ chiều; với số âm phải đổi chiều. Khai triển, thu gọn rồi tách ẩn. Chỉ dùng mẫu chung là hằng số khác không trong bài này; nếu nhân mẫu âm, đổi chiều.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hệ số dương

Cơ bản

Đề bài

Giải $4x-3>9$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$4x>12$ nên $x>3$, do chia $4>0$.

Cách tự kiểm

$x=4$ thỏa; $x=3$ là biên bị loại.

Ví dụ 2. Hệ số âm

Cơ bản

Đề bài

Giải $5-3x\ge11$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-3x\ge6$; chia $-3$ đảo chiều, được $x\le-2$.

Cách tự kiểm

$x=-2$ cho đúng dấu bằng.

Ví dụ 3. Ẩn hai vế

Cơ bản

Đề bài

Giải $2x+7\le5x-2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$9\le3x$ nên $x\ge3$. Mỗi bước trừ cùng biểu thức hoặc chia dương.

Cách tự kiểm

Thế $3$ vào hai vế đều bằng $13$.

Ví dụ 4. Ngoặc và dấu trừ

Cơ bản

Đề bài

Giải $3-2(x-1)<9$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$5-2x<9$ nên $-2x<4$, suy $x>-2$.

Cách tự kiểm

$-2(x-1)=-2x+2$.

Ví dụ 5. Mẫu số hằng

Nâng cao

Đề bài

Giải $(x+1)/2-(x-2)/3\ge2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nhân $6>0$: $3x+3-2x+4\ge12$, nên $x\ge5$.

Cách tự kiểm

Nhân mọi hạng, không bỏ hằng $2$.

Ví dụ 6. Không còn ẩn

Nâng cao

Đề bài

Giải $2(x+1)>2x+3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thu gọn $2>3$ sai, nên vô nghiệm. Không chia cho hệ số $0$.

Cách tự kiểm

Không còn ẩn không có nghĩa luôn đúng.

Ví dụ 7. Mọi số đều thỏa

Nâng cao

Đề bài

Giải $4x-1\le4x+2$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Trừ $4x$ được $-1\le2$, đúng với mọi $x\in\mathbb R$.

Cách tự kiểm

Phân biệt với trường hợp mệnh đề sai.

Ví dụ 8. Hệ số theo tham số

Thử thách

Đề bài

Giải $(m-1)x>2$ theo $m$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $m>1$, nghiệm $x>2/(m-1)$. Nếu $m<1$, nghiệm $x<2/(m-1)$. Nếu $m=1$, $0>2$ sai nên vô nghiệm.

Cách tự kiểm

Không dùng một chiều chung cho hệ số chưa biết dấu.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chuyển vế sai dấu.
• Quên đổi chiều khi chia âm.
• Chia cho hệ số bằng không hoặc bỏ trường hợp mất bậc.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Giải $5x+2>17$.

   Gợi ý bài 1

   Trừ $2$, sau đó chia $5>0$.

2. Giải $7-2x\ge1$, ghi rõ bước đổi chiều.

   Gợi ý bài 2

   Đánh dấu đúng bước chia cho $-2$.

3. Giải $2(x-1)<x+5$.

   Gợi ý bài 3

   Khai triển trước khi chuyển các hạng chứa ẩn.

4. Giải $\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{x+1}{2}\le1$.

   Gợi ý bài 4

   Nhân $6$ vào mọi hạng, rồi chia $-1$ và đổi chiều.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $5x>15$ nên $x>3$. Chia cho $5>0$ giữ chiều.

2. $-2x\ge-6$; chia cho $-2<0$ đổi chiều thành $x\le3$.

3. $2x-2<x+5$ tương đương $x<7$.

4. Nhân với $6>0$: $2x-4-3x-3\le6$, nên $-x\le13$. Chia $-1$ đổi chiều, được $x\ge-13$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Giải $3x+1\le10$.

   Gợi ý bài 5

   Trừ $1$ và chia $3$.

6. Giải $8-2x>4$.

   Gợi ý bài 6

   Chia âm phải đảo chiều.

7. Giải $2(x+3)\ge x+1$.

   Gợi ý bài 7

   Khai triển rồi trừ $x+6$.

8. Giải $(x-1)/4<2$.

   Gợi ý bài 8

   Nhân $4>0$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $3x\le9$ nên $x\le3$.

6. $-2x>-4$ nên $x<2$.

7. $2x+6\ge x+1$ nên $x\ge-5$.

8. $x-1<8$, nên $x<9$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Giải $5-3(x+1)\le2x-8$.

   Gợi ý bài 9

   Khai triển cho $2-3x\le2x-8$.

10. Giải $(2x-1)/3+(x+2)/2>4$.

    Gợi ý bài 10

    Nhân $6>0$.

11. Giải $(x+1)/(-2)\ge3$.

    Gợi ý bài 11

    Nhân $-2$ phải đảo chiều.

12. Giải $3(x-2)<3x-7$.

    Gợi ý bài 12

    Ẩn triệt tiêu sau khai triển.

13. Giải $5(x+1)\ge5x+4$.

    Gợi ý bài 13

    Xét mệnh đề số sau thu gọn.

14. Bạn từ $-4x<8$ suy $x<-2$. Sửa và cho phản ví dụ đối với tập nghiệm sai.

    Gợi ý bài 14

    Chia cho $-4$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $10\le5x$, suy $x\ge2$. Thế $2$ cho hai vế bằng $-4$.

10. $4x-2+3x+6>24$ nên $7x>20$, tức $x>20/7$.

11. $x+1\le-6$, nên $x\le-7$.

12. $-6<-7$ sai nên vô nghiệm.

13. $5\ge4$ đúng nên mọi $x\in\mathbb R$ đều là nghiệm.

14. Đúng là $x>-2$. $x=0$ thỏa đề $0<8$ nhưng bị tập sai bỏ; $x=-3$ thuộc tập sai nhưng $12<8$ sai.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giải $(m+2)x\le0$ theo $m$.

    Gợi ý bài 15

    Xét ba dấu của $m+2$.

16. Chứng minh hai bất phương trình $2x+3>7$ và $5x-1>9$ tương đương; liệu nhân riêng hai vế với hai số khác nhau có là chứng minh không?

    Gợi ý bài 16

    Giải từng bất phương trình hoặc nối các bước tương đương.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Nếu $m>-2$, $x\le0$; nếu $m<-2$, $x\ge0$; nếu $m=-2$, $0\le0$ đúng nên mọi số thực.

16. Cả hai tương đương $x>2$. Đây là chứng minh tập nghiệm trùng nhau. Nhân riêng hai vế bằng hai số khác nhau không tự bảo đảm tương đương; cần các phép biến đổi hợp lệ.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.