Vì sao hình vuông có đường tròn ngoại tiếp? – Toán lớp 9

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-35-B3

Hình vuông thừa hưởng đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật. Đối xứng thêm của hình vuông giúp phân biệt khoảng cách tới đỉnh, tới cạnh và các phép quay quanh tâm.

Sau bài này, em có thể:

• Giải thích hình vuông có đường tròn ngoại tiếp
• Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.

Cần biết trước: Mô-đun 32,34; tính chất đường chéo hình chữ nhật và hình vuông lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ là giao hai đường chéo. Nó là hình chữ nhật nên $OA=OB=OC=OD$. Các đường chéo còn vuông góc, chia đường tròn ngoại tiếp thành bốn cung bằng nhau, mỗi cung $90^\circ$. Tâm cách đỉnh một nửa đường chéo, cách cạnh một nửa cạnh.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Thừa hưởng hình chữ nhật

Làm quen

Đề bài

Chứng minh hình vuông nội tiếp bằng tính chất đường chéo.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai đường chéo bằng nhau và cắt đôi nhau tại $O$, nên bốn đoạn từ $O$ tới đỉnh bằng nhau. Đường tròn tâm $O$ qua bốn đỉnh.

Cách tự kiểm

Không cần dùng định lí đảo về góc đối.

Ví dụ 2. Tâm từ đối xứng

Làm quen

Đề bài

Vì sao giao hai trục đối xứng qua trung điểm các cạnh cũng là tâm ngoại tiếp hình vuông?

Lời giải và cách suy nghĩ

Giao ấy là giao hai đường chéo và là điểm cách đều bốn đỉnh. Tâm ngoại tiếp qua ba đỉnh là duy nhất nên các cách dựng cho cùng điểm.

Cách tự kiểm

Trục qua trung điểm các cạnh khác với chính các cạnh.

Ví dụ 3. Đường chéo đã biết

Vận dụng

Đề bài

Hình vuông có đường chéo $18$ cm. Tính $R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R=9$ cm.

Cách tự kiểm

Đường chéo chính là đường kính.

Ví dụ 4. Góc ở tâm

Vận dụng

Đề bài

Hình vuông $ABCD$ nội tiếp tâm $O$. Tính các góc nhỏ $AOB$ và $AOC$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\angle AOB=90^\circ$, còn $A,O,C$ thẳng hàng nên $\angle AOC=180^\circ$.

Cách tự kiểm

Phân biệt hai đỉnh kề với hai đỉnh đối.

Ví dụ 5. Cung giữa đỉnh kề

Nâng cao

Đề bài

Tìm số đo cung nhỏ giữa hai đỉnh kề của hình vuông nội tiếp.

Lời giải và cách suy nghĩ

Bốn đỉnh chia đường tròn thành bốn cung bằng nhau, nên mỗi cung nhỏ bằng $360^\circ/4=90^\circ$.

Cách tự kiểm

Không nhầm cung $90^\circ$ với góc nội tiếp chắn nó là $45^\circ$.

Ví dụ 6. Trung điểm cạnh sai tâm

Nâng cao

Đề bài

Hình vuông cạnh $a>0$, $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $M$ không cách đều $A,C$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$MA=a/2$, trong khi $MC=\sqrt{a^2+(a/2)^2}=a\sqrt5/2>a/2$. Vậy $M$ không thể là tâm ngoại tiếp.

Cách tự kiểm

Cần $a>0$ để hai khoảng cách thực sự khác nhau.

Ví dụ 7. Hai đường kính vuông góc

Thử thách

Đề bài

Chọn hai đường kính vuông góc của $(O)$ và nối bốn đầu mút theo thứ tự. Chứng minh là hình vuông.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai đường kính tạo bốn góc ở tâm bằng $90^\circ$, nên bốn cung và bốn dây kề bằng nhau. Mỗi góc tứ giác chắn đường kính nên vuông; do đó là hình vuông.

Cách tự kiểm

Chứng minh cả bằng cạnh và góc vuông.

Ví dụ 8. Không suy vuông từ nội tiếp

Thử thách

Đề bài

Hình thoi nội tiếp có phải hình vuông không? Chứng minh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hình thoi là hình bình hành; nếu nội tiếp thì là hình chữ nhật vì góc đối vừa bằng nhau vừa bù nhau. Hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông.

Cách tự kiểm

Cần cả giả thiết hình thoi và nội tiếp.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
• Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Giải thích hình vuông có đường tròn ngoại tiếp dựa vào tính chất hình chữ nhật.

   Gợi ý bài 1

   Hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật.

2. Hình vuông có đường chéo $14$ cm. Tính $R$.

   Gợi ý bài 2

   Bán kính bằng nửa đường chéo.

3. Tâm ngoại tiếp hình vuông có trùng giao hai đường chéo không? Nêu lí do.

   Gợi ý bài 3

   Hai đường chéo cắt đôi và bằng nhau.

4. Có thể chọn trung điểm một cạnh làm tâm ngoại tiếp hình vuông không?

   Gợi ý bài 4

   So sánh khoảng cách từ trung điểm cạnh đến hai đỉnh gần và xa.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Hình vuông là hình chữ nhật; hai đường chéo bằng nhau và cắt đôi nhau, nên giao điểm cách đều bốn đỉnh.

2. $R=7$ cm.

3. Có; giao điểm cách đều bốn đỉnh theo tính chất đường chéo.

4. Không. Trung điểm một cạnh không cách đều bốn đỉnh; tâm là giao hai đường chéo.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Hình vuông có $R=7$ cm. Tính hai đường chéo.

   Gợi ý bài 5

   Tâm là trung điểm mỗi đường chéo.

6. $OA=2\sqrt3$ cm với $O$ là tâm hình vuông. Tìm $OC$ và $AC$.

   Gợi ý bài 6

   $A,O,C$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa.

7. Tính $\angle ADB$ trong hình vuông $ABCD$ nội tiếp.

   Gợi ý bài 7

   Không nhầm góc tại đỉnh với góc ở tâm.

8. Phép quay quanh tâm góc $90^\circ$ có giữ nguyên hình vuông và đường tròn ngoại tiếp không?

   Gợi ý bài 8

   Giữ nguyên hình nghĩa là giữ tập hợp, không phải giữ từng đỉnh riêng lẻ.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. Hai đường chéo đều bằng $14$ cm.

6. $OC=2\sqrt3$ cm; $AC=4\sqrt3$ cm.

7. Góc chắn cung nhỏ $AB=90^\circ$, nên $\angle ADB=45^\circ$.

8. Có. Nó đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kề theo chiều quay, giữ tập đỉnh; mọi điểm trên đường tròn vẫn cách tâm cùng bán kính.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Chứng minh $O$ thuộc trung trực $AB$ trong hình vuông.

   Gợi ý bài 9

   Có thể dùng đối xứng hình vuông làm cách kiểm.

10. Vì sao cùng điểm $O$ còn là tâm nội tiếp hình vuông?

    Gợi ý bài 10

    Bán kính nội tiếp khác bán kính ngoại tiếp.

11. Hình vuông cạnh $a$. So sánh $R$ và khoảng cách $r$ từ tâm tới cạnh.

    Gợi ý bài 11

    Bán kính tới đỉnh luôn dài hơn khoảng cách tới cạnh.

12. Bốn điểm theo thứ tự cùng cách $O$ một khoảng $R$. Có chắc tạo hình vuông không?

    Gợi ý bài 12

    Cần thêm góc hoặc cạnh bằng nhau để có hình vuông.

13. Giải thích vì sao không có tâm ngoại tiếp thứ hai của một hình vuông.

    Gợi ý bài 13

    Không cần kiểm vô số điểm ứng viên.

14. Đã biết chính xác hình là hình vuông và đoạn $AC$. Có đủ dựng tâm ngoại tiếp không?

    Gợi ý bài 14

    Nếu chỉ là tứ giác bất kì thì trung điểm một đường chéo chưa đủ.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $OA=OB$ là hai bán kính ngoại tiếp, nên theo tính chất đảo, $O$ thuộc trung trực $AB$.

10. Khoảng cách từ $O$ tới bốn cạnh đều bằng nửa cạnh; đường tròn tâm $O$ bán kính ấy tiếp xúc bốn cạnh ở trung điểm.

11. $r=a/2$, còn $R=a\sqrt2/2$. Vì $\sqrt2>1$, $R>r$, nên hai đường tròn đồng tâm phân biệt.

12. Không. Chúng chỉ tạo tứ giác nội tiếp. Ví dụ hai đường kính không vuông góc cho một hình chữ nhật không phải hình vuông.

13. Ba đỉnh liên tiếp không thẳng hàng; đường tròn qua chúng có tâm duy nhất. Tâm qua cả bốn đỉnh cũng bị xác định bởi ba điểm này.

14. Có. Dựng trung điểm $O$ của đường chéo $AC$ rồi lấy bán kính $OA$. Tính chất hình vuông bảo đảm đường tròn cũng qua $B,D$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Trong hình vuông $ABCD$ tâm $O$, phép quay $180^\circ$ đưa các đỉnh đến đâu?

    Gợi ý bài 15

    Ảnh nằm trên tia đối qua tâm, cùng khoảng cách.

16. Hai đường kính phân biệt tạo một hình chữ nhật bằng bốn đầu mút. Khi nào hình đó là hình vuông?

    Gợi ý bài 16

    Nêu cả hai chiều, dùng hai tính chất khác nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $A\mapsto C$, $B\mapsto D$, $C\mapsto A$, $D\mapsto B$ vì hai cặp đỉnh đối diện là đầu các đường kính.

16. Khi và chỉ khi hai đường kính vuông góc. Nếu vuông góc thì bốn cung kề bằng $90^\circ$, các cạnh bằng nhau. Nếu là hình vuông thì các đường chéo vuông góc, chính là hai đường kính ấy.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.