Đến nội dung chính

Tỉ số lượng giác góc 30 độ từ tam giác đều – lớp 9

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Góc đặc biệt và hai góc phụ nhau · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-22-B2

Đường cao của một tam giác đều tạo ra hai tam giác $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$. Từ mô hình ấy, các giá trị ở $30^\circ$ được chứng minh bằng độ dài và Pythagore.

Sau bài này, em có thể:

  • Suy ra bốn tỉ số lượng giác của góc $30^\circ$.
  • Dùng cấu trúc nửa tam giác đều để giải bài toán thuận, đảo và kiểm dữ kiện.

Cần biết trước: Mô-đun 21; tam giác vuông cân, tam giác đều và Pythagore lớp 8.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Lấy tam giác đều $ABC$ cạnh $2a>0$, đường cao $AH$ đồng thời là trung tuyến và phân giác. Khi ấy $BH=a$, $AH=a\sqrt3$, $\widehat{BAH}=30^\circ$, huyền $AB=2a$. Suy ra

$$\sin30^\circ=\frac12,\quad\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2,\quad\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}3,\quad\cot30^\circ=\sqrt3.$$

Cạnh đối góc $30^\circ$ bằng nửa huyền; cần giữ đúng góc khi nhận dạng cạnh.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chia tam giác đều

Cơ bản

Đề bài

Tam giác đều cạnh $14$ cm được chia bởi đường cao. Tìm các cạnh của một nửa và $\sin30^\circ$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nửa đáy bằng $7$ cm, huyền bằng $14$ cm. Đường cao $\sqrt{14^2-7^2}=7\sqrt3$ cm. Với góc ở đỉnh bị chia đôi, sin bằng $7/14=1/2$.

Cách tự kiểm

Đường cao tạo hai góc $30^\circ$ ở đỉnh, không phải ở chân đường cao.

Ví dụ 2. Côsin qua chiều cao

Cơ bản

Đề bài

Nửa tam giác đều có huyền $6$ cm. Tính cạnh kề góc $30^\circ$ và côsin.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh đối $30^\circ$ bằng $3$ cm. Cạnh kề bằng $\sqrt{36-9}=3\sqrt3$ cm, nên côsin $3\sqrt3/6=\sqrt3/2$.

Cách tự kiểm

Cạnh kề lớn hơn cạnh đối, phù hợp $30^\circ$ nhỏ hơn $60^\circ$.

Ví dụ 3. Tang và côtang

Vận dụng

Đề bài

Trong tam giác $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$, cạnh đối $30^\circ$ là $2\sqrt3$ cm. Tính cạnh kề và tang.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cạnh kề gấp $\sqrt3$ lần cạnh đối, nên bằng $6$ cm. Tang bằng $2\sqrt3/6=\sqrt3/3$; côtang bằng $\sqrt3$.

Cách tự kiểm

Hai tỉ số nghịch đảo, tích bằng $1$.

Ví dụ 4. Suy ngược huyền

Vận dụng

Đề bài

Tam giác vuông có góc $30^\circ$ và cạnh đối góc đó dài $9$ cm. Tìm huyền và diện tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

Huyền bằng $18$ cm; cạnh kề bằng $9\sqrt3$ cm. Diện tích $\frac12\cdot9\cdot9\sqrt3=81\sqrt3/2$ $\mathrm{cm}^{2}$.

Cách tự kiểm

Cạnh 9 là cạnh đối $30^\circ$, không phải nửa một cạnh kề bất kì.

Ví dụ 5. Độ chính xác của biểu thức

Nâng cao

Đề bài

Tính $\sin^230^\circ+\cos^230^\circ$ và $\cot30^\circ-3\tan30^\circ$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Biểu thức đầu bằng $1/4+3/4=1$. Biểu thức sau bằng $\sqrt3-3(\sqrt3/3)=0$.

Cách tự kiểm

Không cần máy tính hoặc số thập phân để nhận sự triệt tiêu.

Ví dụ 6. Điều kiện nhận góc $30^\circ$

Nâng cao

Đề bài

$ABC$ vuông tại $A$, $AC=BC/2$. Chứng minh $B=30^\circ$ bằng mô hình tam giác đều.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt $AC=a$, $BC=2a$. Pythagore cho $AB=a\sqrt3$. Một nửa tam giác đều cạnh $2a$ cũng có ba cạnh $a,a\sqrt3,2a$. Hai tam giác bằng nhau theo ba cạnh, nên góc đối cạnh $a$ bằng $30^\circ$.

Cách tự kiểm

Không suy từ hai cạnh tỉ lệ nếu chưa biết tam giác vuông.

Ví dụ 7. Một dữ kiện không khả thi

Nâng cao

Đề bài

Một tam giác vuông được ghi góc $30^\circ$, cạnh đối $4$ cm và huyền $10$ cm. Có thể vẽ đúng tất cả không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Góc $30^\circ$ buộc sin bằng $1/2$, nhưng dữ kiện cho $4/10=2/5$. Phải kiểm lại một dữ kiện; không chọn giữ góc hay giữ cạnh theo ý mình.

Cách tự kiểm

Các cạnh 4 và 10 tự chúng có thể thuộc một tam giác vuông, nhưng góc đối 4 không phải $30^\circ$.

Ví dụ 8. Từ diện tích suy kích thước

Thử thách

Đề bài

Tam giác $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ có diện tích $24\sqrt3$ $\mathrm{cm}^{2}$. Tìm ba cạnh.

Lời giải và cách suy nghĩ

Đặt cạnh đối $30^\circ$ là $a>0$, kề là $a\sqrt3$, huyền $2a$. Diện tích $a^2\sqrt3/2=24\sqrt3$ cho $a^2=48$, $a=4\sqrt3$. Vậy kề $12$, huyền $8\sqrt3$ cm.

Cách tự kiểm

Thay lại diện tích $\frac12\cdot4\sqrt3\cdot12=24\sqrt3$.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Ghép cạnh đối $30^\circ$ với cạnh đối $60^\circ$.
  • Nhầm tang và $\cot30^\circ$.
  • Từ số làm tròn suy ra một đẳng thức chính xác sai.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Tam giác đều cạnh $10$ cm được chia đôi bởi đường cao. Giải thích $\sin30^\circ=1/2$ từ các độ dài.

    Gợi ý bài 1

    Cạnh đối góc ở nửa đỉnh bằng nửa đáy.

  2. Trong nửa tam giác đều cạnh $8$ cm, tính chiều cao và $\cos30^\circ$.

    Gợi ý bài 2

    Nửa đáy bằng $4$ cm.

  3. Tính $\tan30^\circ$ và $\cot30^\circ$ từ cạnh đối $a$, cạnh kề $a\sqrt3$, với $a>0$.

    Gợi ý bài 3

    Viết hai thương nghịch đảo.

  4. Bạn ghi $\cot30^\circ=1/\sqrt3$. Kiểm bằng quan hệ tang–côtang và sửa.

    Gợi ý bài 4

    Tích hai tỉ số phải bằng $1$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. Cạnh đối $30^\circ$ bằng $5$ cm, huyền bằng $10$ cm nên sin bằng $5/10=1/2$.

  2. Chiều cao $\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3$ cm. $\cos30^\circ$ bằng $4\sqrt3/8=\sqrt3/2$.

  3. Tang bằng $1/\sqrt3=\sqrt3/3$; côtang bằng $\sqrt3$. Cả hai không phụ thuộc $a$.

  4. $\tan30^\circ$ bằng $1/\sqrt3$ nên $\cot30^\circ$ phải bằng $\sqrt3$. Số bạn ghi là tang, không phải côtang.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Tam giác vuông có huyền $22$ cm và góc $30^\circ$. Tính cạnh đối góc đó.

    Gợi ý bài 5

    Nhân huyền với $\sin30^\circ$.

  2. Cạnh đối $30^\circ$ dài $5\sqrt3$ cm. Tìm cạnh kề và huyền.

    Gợi ý bài 6

    Dùng tỉ lệ $1:\sqrt3:2$.

  3. Tính $4\sin30^\circ+\sqrt3\tan30^\circ$.

    Gợi ý bài 7

    Thay các giá trị chính xác.

  4. Tam giác vuông có cạnh kề $30^\circ$ bằng $12$ cm. Tìm cạnh đối.

    Gợi ý bài 8

    $\tan30^\circ$ là đối/kề.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Cạnh đối $22/2=11$ cm.

  2. Cạnh kề $15$ cm, huyền $10\sqrt3$ cm. Kiểm bình phương $75+225=300$.

  3. $4\cdot1/2+\sqrt3\cdot\sqrt3/3=2+1=3$.

  4. Đối $12\cdot\sqrt3/3=4\sqrt3$ cm; huyền $8\sqrt3$ cm nếu kiểm thêm.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Tam giác $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ có chu vi $18+6\sqrt3$ cm. Tìm các cạnh.

    Gợi ý bài 9

    Đặt cạnh ngắn $a$, chu vi $a(3+\sqrt3)$.

  2. Có thể có tam giác vuông góc $30^\circ$ với hai cạnh góc vuông bằng nhau không?

    Gợi ý bài 10

    Góc của một tam giác vuông cân là bao nhiêu?

  3. So sánh chính xác $\sin30^\circ$ và $\tan30^\circ$.

    Gợi ý bài 11

    So $1/2$ với $1/\sqrt3$.

  4. Một tam giác vuông có cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông $a$. Chứng minh góc đối cạnh $a$ bằng $30^\circ$.

    Gợi ý bài 12

    Dùng Pythagore và ghép với nửa tam giác đều.

  5. Tam giác đều có đường cao $9$ cm. Tìm cạnh bằng tỉ số ở $30^\circ$.

    Gợi ý bài 13

    Trong nửa hình, đường cao kề $30^\circ$.

  6. Một bạn thay $\tan30^\circ$ bằng $0{,}58$ rồi kết luận $3\tan^230^\circ=1{,}0092$. Kết quả chính xác là gì?

    Gợi ý bài 14

    Đừng bình phương số đã làm tròn nếu cần đẳng thức.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Chu vi bằng $6(3+\sqrt3)$ nên $a=6$. Ba cạnh là $6,6\sqrt3,12$ cm.

  2. Không. Hai cạnh góc vuông bằng nhau buộc hai góc nhọn đều $45^\circ$, trái $30^\circ$. Cũng có thể dùng tỉ số đối/kề $30^\circ$ bằng $1/\sqrt3\ne1$.

  3. Vì $0<\sqrt3<2$, nghịch đảo cho $1/2<1/\sqrt3$. Vậy $\sin30^\circ$ nhỏ hơn $\tan30^\circ$.

  4. Cạnh còn lại $a\sqrt3$. Bộ cạnh $a,a\sqrt3,2a$ bằng bộ của nửa tam giác đều cạnh $2a$, nên góc đối $a$ là $30^\circ$ theo ba cạnh.

  5. Gọi cạnh đều là $s$, có $9/s=\cos30^\circ=\sqrt3/2$. Suy ra $s=6\sqrt3$ cm.

  6. $3(\sqrt3/3)^2=1$. Số $1{,}0092$ là kết quả dùng giá trị làm tròn, không bác bỏ đẳng thức chính xác.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Tam giác vuông có một góc $30^\circ$ và chu vi bằng $3$ lần cạnh huyền. Có tồn tại không?

    Gợi ý bài 15

    Viết chu vi theo cạnh ngắn $a>0$.

  2. Hai tam giác vuông cùng có góc $30^\circ$. Cạnh ngắn của hình thứ nhất dài hơn hình thứ hai $2$ cm, còn huyền dài hơn $5$ cm. Kiểm dữ kiện mà không cần biết từng cạnh.

    Gợi ý bài 16

    Hiệu các huyền phải gấp đôi hiệu cạnh đối $30^\circ$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Chu vi $a(3+\sqrt3)$, còn $3$ lần huyền là $6a$. Đẳng thức buộc $\sqrt3=3$, vô lí. Không có tam giác ấy.

  2. Huyền mỗi hình bằng hai lần cạnh ngắn nên hiệu huyền phải $2\cdot2=4$ cm, không phải $5$ cm. Dữ kiện mâu thuẫn; không thể tìm một cặp kích thước đáp ứng cả hai.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án