Định lí Viète lớp 9: tổng hai nghiệm thực

Định lí Viète và nhẩm nghiệm · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-19-B1

Tổng hai nghiệm theo Viète được tính sau khi xác nhận phương trình bậc hai có nghiệm thực. Công thức đếm nghiệm kép hai lần và không xác định riêng từng nghiệm.

Sau bài này, em có thể:

• Tính và giải thích tổng theo Viète.
• Suy tham số có kiểm tồn tại.

Cần biết trước: Mô-đun 17; phép cộng và nhân hai nghiệm trong công thức nghiệm.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $a\ne0,\Delta\ge0$, gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm kể cả lặp. Từ $a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$, so hệ số của $x$ được

Điều kiện tồn tại nghiệm phải được kiểm trước; riêng biểu thức $-b/a$ không chứng minh tồn tại.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tổng dương

Cơ bản

Đề bài

Với $x^2-8x+12=0$, kiểm nghiệm thực và tính tổng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\Delta=64-48=16>0$; tổng $8$. Có thể kiểm nghiệm $2$ và $6$.

Cách tự kiểm

Dấu trừ của $b=-8$ được đổi đúng.

Ví dụ 2. Tổng âm

Cơ bản

Đề bài

Với $2x^2+5x-3=0$, tính tổng hai nghiệm thực.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\Delta=25+24=49>0$; tổng $-5/2$.

Cách tự kiểm

Không lấy $b/a$.

Ví dụ 3. Hệ số đầu âm

Cơ bản

Đề bài

Với $-3x^2+2x+1=0$, tính tổng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\Delta=4+12=16>0$; tổng $-2/(-3)=2/3$.

Cách tự kiểm

Mẫu âm làm tổng dương.

Ví dụ 4. Nghiệm kép

Cơ bản

Đề bài

Tính tổng theo bội của $x^2+4x+4=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nghiệm kép $-2$ được ghi $x_1=x_2=-2$; tổng $-4$, không phải $-2$.

Cách tự kiểm

Viète sử dụng hai vị trí nghiệm kể cả lặp.

Ví dụ 5. Biểu thức đối xứng

Nâng cao

Đề bài

$x_1,x_2$ là nghiệm $x^2-3x-2=0$. Tính $2x_1+2x_2-1$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\Delta=17>0$, tổng 3. Do đó biểu thức $2\cdot3-1=5$.

Cách tự kiểm

Không cần giải riêng từng nghiệm.

Ví dụ 6. Suy hệ số

Nâng cao

Đề bài

$2x^2+mx-3=0$ có hai nghiệm tổng 4. Tìm $m$ và kiểm tồn tại.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-m/2=4$ nên $m=-8$. Khi ấy $\Delta=64+24=88>0$, phù hợp.

Cách tự kiểm

Giải tham số xong vẫn kiểm nghiệm thực.

Ví dụ 7. Tổng không xác định cặp

Nâng cao

Đề bài

Hai phương trình $x^2-4x+3=0$ và $x^2-4x-5=0$ có cùng tổng. Có cùng tập nghiệm không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Tổng đều bằng $4$ nhưng hai cặp nghiệm lần lượt là $(1;3)$ và $(-1;5)$. Hai tập nghiệm khác nhau; tổng chưa đủ để xác định cặp nghiệm.

Cách tự kiểm

Cả hai ví dụ đều có nghiệm thực.

Ví dụ 8. Từ công thức đến tổng

Thử thách

Đề bài

Chứng minh công thức tổng từ công thức nghiệm, kể cả $\Delta=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cộng $(-b+\sqrt\Delta)/(2a)$ và $(-b-\sqrt\Delta)/(2a)$ được $-2b/(2a)=-b/a$. Khi $\Delta=0$ hai biểu thức trùng nhưng phép cộng vẫn tính hai lần.

Cách tự kiểm

Cần $a\ne0,\Delta\ge0$ để hai công thức là nghiệm thực.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Lấy b/a thay -b/a.
• Dùng Viète trước xác nhận nghiệm thực.
• Cộng nghiệm kép chỉ một lần hoặc suy cặp từ riêng tổng.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Phương trình $x^2-7x+10=0$ có hai nghiệm thực. Không giải riêng từng nghiệm, tính tổng theo Viète; sau đó phân tích để kiểm.

   Gợi ý bài 1

   Kiểm biệt thức rồi dùng $-b/a$.

2. Với $3x^2+4x-2=0$, kiểm điều kiện nghiệm thực rồi tìm tổng hai nghiệm.

   Gợi ý bài 2

   Giữ hệ số $b=4$, mẫu 3.

3. Giả sử $a\ne0$ và $x_1,x_2$ là hai nghiệm thực kể cả lặp. Khai triển $a(x-x_1)(x-x_2)$, rồi giải thích dấu trừ trong công thức tổng.

   Gợi ý bài 3

   Khai triển hai nhân tử và so hệ số x.

4. Xét $x^2+6x+9=0$. Nghiệm kép là gì và tổng hai nghiệm tính theo Viète có phải chỉ $-3$ không?

   Gợi ý bài 4

   Nghiệm kép được cộng hai lần.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $\Delta=49-40=9\ge0$. Theo Viète, tổng bằng $7$. Phân tích $(x-2)(x-5)=0$ cho nghiệm $2$ và $5$, tổng đúng $7$.

2. $a=3\ne0$, $\Delta=16+24=40>0$. Tổng $x_1+x_2=-4/3$.

3. Tích khai triển thành $ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$. Hệ số $x$ bằng $b$, nên $-a(x_1+x_2)=b$; chia $-a\ne0$ được $x_1+x_2=-b/a$. Dấu trừ xuất phát từ hai nhân tử $x-x_1,x-x_2$.

4. $\Delta=0$, nghiệm kép $-3$. Khi tính cả hai lần, $x_1=x_2=-3$ nên tổng $-6=-b/a$. Không nhầm tổng theo bội với giá trị nghiệm phân biệt.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Tính tổng nghiệm $x^2-9x+14=0$, sau kiểm tồn tại.

   Gợi ý bài 5

   $\Delta=81-56$.

6. Tính tổng nghiệm $3x^2+2x-1=0$.

   Gợi ý bài 6

   $\Delta=16$.

7. Tính tổng theo bội của $4x^2-4x+1=0$.

   Gợi ý bài 7

   Nghiệm kép $1/2$.

8. Tính tổng nghiệm $-x^2+3x+4=0$.

   Gợi ý bài 8

   $\Delta=25$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $\Delta=25>0$, tổng 9.

6. Tổng $-2/3$.

7. Tổng 1.

8. Tổng 3.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Với nghiệm của $x^2-5x+2=0$, tính $3(x_1+x_2)+2$.

   Gợi ý bài 9

   Tổng 5, biệt thức 17 dương.

10. Tìm $m$ để nghiệm của $x^2+mx-1=0$ có tổng $-6$.

    Gợi ý bài 10

    $-m=-6$.

11. Tìm $m$ để $2x^2-mx+1=0$ có hai nghiệm thực tổng 1.

    Gợi ý bài 11

    $m/2=1$, rồi kiểm biệt thức.

12. Có được tính tổng hai nghiệm thực của $x^2+2x+3=0$ là $-2$ không?

    Gợi ý bài 12

    Kiểm $\Delta$.

13. Phương trình có tổng nghiệm 0. Có phải cả hai nghiệm đều 0 không? Cho phản ví dụ.

    Gợi ý bài 13

    Dùng cặp đối nhau.

14. Chứng minh nếu hai nghiệm bằng nhau và tổng bằng $S$ thì mỗi nghiệm bằng $S/2$.

    Gợi ý bài 14

    Gọi nghiệm chung $r$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Kết quả 17.

10. $m=6$; $\Delta=40>0$.

11. $m=2$ nhưng khi đó $\Delta=4-8<0$. Vì vậy không có $m$ đáp ứng cả hai yêu cầu.

12. Không có hai nghiệm thực vì $\Delta=-8<0$. $-b/a=-2$ chỉ là giá trị biểu thức, không xác nhận cặp thực tồn tại.

13. Không. $x^2-4=0$ có nghiệm $-2$ và $2$, tổng 0 nhưng mỗi nghiệm khác 0.

14. $2r=S$ nên $r=S/2$. Điều kiện hai nghiệm bằng nhau là cần; chỉ tổng không đủ.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Với $x^2-2mx+m^2-1=0$, tính tổng và chứng minh luôn có hai nghiệm phân biệt.

    Gợi ý bài 15

    $\Delta=4$.

16. Chứng minh thay $x$ bằng $-t$ trong phương trình có nghiệm thực làm đổi dấu tổng hai nghiệm, nhưng không cần đổi dấu hạng tự do.

    Gợi ý bài 16

    Nghiệm mới là $-x_1,-x_2$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Tổng $2m$; biệt thức 4 dương với mọi $m$, nên hai nghiệm thực phân biệt. Chúng là $m-1,m+1$.

16. Phương trình thành $at^2-bt+c=0$. Tổng mới $-(-b)/a=b/a=-(x_1+x_2)$. Đây cũng là tổng $-x_1-x_2$; hệ số tự do vẫn $c$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.