Tang và côtang của hai góc phụ nhau – lớp 9

$\tan23^\circ=\cot67^\circ$.

$\cot41^\circ=\tan49^\circ$.

Tích $\tan30^\circ\cot30^\circ=1$; cũng có $(\sqrt3/3)\sqrt3=1$.

$\tan B=AC/AB$, $\cot C=AC/AB$, nên bằng nhau. Hai góc $B,C$ phụ nhau và hai cạnh dương.

Hai số bằng nhau nên hiệu bằng $0$.

$\cot73^\circ=\tan17^\circ$, nên tích bằng $1$.

$\tan\beta=\cot\alpha=9/4$.

$\tan40^\circ=1/\tan50^\circ$; mẫu dương nên chia được.

Mỗi tích bằng $1$, nên tổng bằng $2$.

Đặt $t=\tan\beta>0$ thì $2t^2=1$, $t=1/\sqrt2$. Vậy $\tan\alpha=\sqrt2$; không cần gọi hai góc là góc đặc biệt.

Từ quan hệ tỉ số và tính duy nhất của tang trong miền nhọn, có $\alpha+\beta=90^\circ$. Kết hợp hiệu $20^\circ$ được $\alpha=55^\circ$, $\beta=35^\circ$.

Nếu bằng nhau, tích bằng 1 và hai tang dương nên đều bằng 1. Góc tương ứng phải $45^\circ$ vì hai cạnh góc vuông bằng nhau, trái $20^\circ$ và $70^\circ$. Quan hệ đúng là $\tan20^\circ=\cot70^\circ$.

Mẫu bằng $\tan x>0$, nên thương bằng 1. Nếu bỏ điều kiện góc nhọn, cần xét lại miền xác định trước khi dùng công thức.

$t+1/t=13/6$ cho $6t^2-13t+6=0$, tức $(3t-2)(2t-3)=0$. Vậy $t=2/3$ hoặc $3/2$; hai giá trị chỉ khác cách đặt tên hai góc.

Cần $k=t+1/t\ge2$. Ngược lại với $k\ge2$, phương trình $t^2-kt+1=0$ có nghiệm dương $t=(k+\sqrt{k^2-4})/2$. Dựng tam giác vuông cạnh kề 1, đối $t$; hai góc nhọn phụ nhau có các tang $t,1/t$, tổng $k$. Khi $k=2$ chỉ có $t=1$.

Ta có $t^2+1/t^2-2=(t-1/t)^2=0$, nên $t=1/t$. Vì $t>0$, $t=1$. Hai góc bằng $45^\circ$. Không suy từ tổng bình phương bằng 2 rằng từng bình phương bằng 1 nếu chưa dùng tích hai tang bằng 1.