Đến nội dung chính

Thể tích hình cầu và vỏ cầu – Toán lớp 9

THCSLớp 9Hình khối và đo lườngMở mô-đun

Hình cầu, mặt cầu và thiết diện · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-42-B5

Bài này tập trung vào tính thể tích hình cầu. Em kiểm điều kiện và đối tượng trước khi tính; phần nâng cao yêu cầu giải thích, suy ngược hoặc xét những dữ kiện chưa đủ.

Sau bài này, em có thể:

  • Tính thể tích hình cầu.
  • Chọn đúng điều kiện, đơn vị và cách kiểm kết quả.
  • Giải bài suy ngược hoặc phân biệt kết luận duy nhất với dữ kiện chưa đủ.

Cần biết trước: Mô-đun 40; đường tròn và khoảng cách trong mô hình không gian. Phần nâng cao dùng Pythagore, phương trình và kiểm các nghiệm nguyên khi đề yêu cầu.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Thể tích hình cầu là

$$V=\frac43\pi R^3,\qquad R>0.$$

Hai bán kính có tỉ số $k$ thì thể tích có tỉ số $k^3$. Với vỏ có độ dày, thể tích vật liệu là hiệu thể tích ngoài và trong; dung tích dùng bán kính trong.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Thể tích trực tiếp

Cơ bản

Đề bài

Hình cầu $R=4$ cm. Tính thể tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=\frac43\pi\cdot64=\frac{256}3\pi$ cm$^3$.

Cách tự kiểm

Dùng bán kính, không dùng đường kính.

Ví dụ 2. Từ đường kính

Cơ bản

Đề bài

Đường kính cầu $12$ cm. Tính thể tích.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R=6$ cm, $V=288\pi$ cm$^3$.

Cách tự kiểm

Chia đôi đường kính trước.

Ví dụ 3. Tìm bán kính

Cơ bản

Đề bài

$V=\frac{500}3\pi$ cm$^3$. Tìm $R$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R^3=125$ nên $R=5$ cm. Với bán kính dương, lập phương tăng nên nghiệm duy nhất.

Cách tự kiểm

Tách hệ số $4\pi/3$.

Ví dụ 4. Nửa khối cầu

Vận dụng

Đề bài

Nửa khối cầu bán kính $3$ cm có thể tích bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

Một nửa của $36\pi$ là $18\pi$ cm$^3$. Đĩa đáy không có thể tích riêng cần cộng.

Cách tự kiểm

Tách thể tích khỏi diện tích bề mặt.

Ví dụ 5. Đổi ra lít

Vận dụng

Đề bài

Bồn dạng hình cầu lí tưởng có bán kính trong $0{,}3$ m. Tính dung tích theo lít.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=0{,}036\pi$ m$^3=36\pi$ lít. Dùng kích thước trong.

Cách tự kiểm

$1$ m$^3=1000$ lít.

Ví dụ 6. So hai cầu

Nâng cao

Đề bài

Bán kính A gấp $3/2$ B. Tỉ số thể tích và diện tích là gì?

Lời giải và cách suy nghĩ

Thể tích có tỉ số $27/8$, diện tích có tỉ số $9/4$. Không dùng chung một hệ số cho hai loại đại lượng.

Cách tự kiểm

Dùng số mũ tương ứng.

Ví dụ 7. Vỏ có độ dày

Nâng cao

Đề bài

Vỏ cầu có bán kính ngoài $5$, trong $4$ cm. Tính thể tích vật liệu.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=\frac43\pi(125-64)=\frac{244}3\pi$ cm$^3$. Không lấy hiệu diện tích thay thể tích.

Cách tự kiểm

Trừ hai khối cùng tâm.

Ví dụ 8. Hai bán kính nguyên

Thử thách

Đề bài

Hai cầu có tổng thể tích $\frac{140}3\pi$ cm$^3$, bán kính nguyên dương và $R_1\le R_2$. Tìm mọi cặp.

Lời giải và cách suy nghĩ

$R_1^3+R_2^3=35$, nên $2R_1^3\le35$ và $R_1=1$ hoặc $2$. Phần còn lại $34$ không là lập phương; $27=3^3$. Duy nhất cặp $(2,3)$ cm.

Cách tự kiểm

Giới hạn ẩn nguyên nhỏ và thử hết.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Bỏ qua điều kiện của công thức hoặc mô hình được nêu.
  • Nhận nghiệm đại số mà chưa kiểm đơn vị, dấu và tính hợp lệ.
  • Dùng một hình hoặc một số liệu gần đúng để kết luận chính xác cho mọi trường hợp.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Hình cầu bán kính $6$ cm. Tính thể tích chính xác.

    Gợi ý bài 1

    Dùng $V=4\pi R^3/3$.

  2. Hình cầu có đường kính $10$ cm. Tính thể tích.

    Gợi ý bài 2

    Bán kính là nửa đường kính.

  3. Thể tích hình cầu $36\pi$ cm³. Tìm bán kính.

    Gợi ý bài 3

    Rút phương trình cho $R^3$ rồi chọn bán kính dương.

  4. Hai hình cầu có tỉ số đường kính $2:1$. Tỉ số thể tích là bao nhiêu?

    Gợi ý bài 4

    Tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số bán kính.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $V=\frac43\pi\cdot6^3=288\pi$ cm³.

  2. $R=5$ cm, $V=\frac43\pi\cdot5^3=500\pi/3$ cm³.

  3. $\frac43\pi R^3=36\pi$ nên $R^3=27$, $R=3$ cm.

  4. Tỉ số bán kính cũng $2:1$, nên tỉ số thể tích $2^3:1^3=8:1$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Cầu có $R=2$ cm. Tính thể tích chính xác và diện tích mặt cầu.

    Gợi ý bài 5

    Thể tích chứa ba thừa số độ dài.

  2. Cầu có $R=3$ cm. Tính thể tích chính xác và diện tích mặt cầu.

    Gợi ý bài 6

    Thể tích chứa ba thừa số độ dài.

  3. Cầu có $R=5$ cm. Tính thể tích chính xác và diện tích mặt cầu.

    Gợi ý bài 7

    Thể tích chứa ba thừa số độ dài.

  4. Cầu có $R=9$ cm. Tính thể tích chính xác và diện tích mặt cầu.

    Gợi ý bài 8

    Thể tích chứa ba thừa số độ dài.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $V=\frac{32}3\pi$ cm$^3$; $S=16\pi$ cm$^2$. Không cộng hai kết quả khác loại.

  2. $V=\frac{108}3\pi$ cm$^3$; $S=36\pi$ cm$^2$. Không cộng hai kết quả khác loại.

  3. $V=\frac{500}3\pi$ cm$^3$; $S=100\pi$ cm$^2$. Không cộng hai kết quả khác loại.

  4. $V=\frac{2916}3\pi$ cm$^3$; $S=324\pi$ cm$^2$. Không cộng hai kết quả khác loại.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Bán kính tăng $2$ lần. Thể tích tăng mấy lần?

    Gợi ý bài 9

    Lập tỉ số trước khi tính số.

  2. Mặt cầu có $S=100\pi$ cm$^2$. Tìm thể tích khối cầu tương ứng.

    Gợi ý bài 10

    Tìm bán kính dương trước.

  3. Một cầu được báo $S=64\pi$ cm$^2$ và $V=36\pi$ cm$^3$. Có thể đúng cùng lúc không?

    Gợi ý bài 11

    Dùng một dữ kiện khôi phục bán kính rồi kiểm dữ kiện kia.

  4. $2{,}9\le R\le3{,}1$ cm. Chặn thể tích chính xác theo $\pi$.

    Gợi ý bài 12

    Giữ căn cứ từ tính tăng.

  5. $R=10$ cm. Tính thể tích theo dm$^3$.

    Gợi ý bài 13

    Có thể đổi độ dài trước để tránh nhầm hệ số.

  6. Thể tích A gấp $8$ B, bán kính A hơn B $3$ cm. Tìm hai bán kính.

    Gợi ý bài 14

    Không lấy căn bậc hai của tỉ số thể tích.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. $V_1=\frac43\pi(2R)^3=8V$. Nếu chỉ dùng hệ số $4$ thì đã nhầm với diện tích.

  2. $R=5$ cm, nên $V=500\pi/3$ cm$^3$. Đây là khối có cùng biên mặt cầu đã nêu.

  3. Diện tích buộc $R=4$ cm, khi đó $V=256\pi/3\ne36\pi$. Hai dữ kiện chính xác mâu thuẫn.

  4. $\frac43\pi(2{,}9)^3\le V\le\frac43\pi(3{,}1)^3$. Vì lập phương tăng trên số dương, hai đầu cho chặn đúng; không báo $36\pi$ là chính xác.

  5. $R=1$ dm nên $V=4\pi/3$ dm$^3$. Tương đương $4000\pi/3$ cm$^3$ chia $1000$.

  6. $R_A=2R_B$ do cả hai dương và tỉ số lập phương bằng $8$. Hiệu cho $R_B=3,R_A=6$ cm.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Chứng minh $V/S=R/3$. Nếu $V/S=2$ cm thì bán kính là bao nhiêu?

    Gợi ý bài 15

    Kiểm mẫu khác $0$ và đơn vị.

  2. Hai cầu nhỏ bán kính $3$ cm được gộp bảo toàn thể tích thành một cầu. Bán kính mới có bằng $6$ cm không?

    Gợi ý bài 16

    Bảo toàn thể tích, không bảo toàn độ dài.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Chia $4\pi R^3/3$ cho $4\pi R^2>0$ được $R/3$. Do đó $R=6$ cm. Tỉ số thể tích/diện tích có đơn vị độ dài.

  2. Không. $R^3=2\cdot3^3=54$; nếu $R=6$ thì thể tích gấp $8$ một cầu nhỏ, không phải $2$. Chỉ cần nêu $R$ là nghiệm dương của $R^3=54$, xấp xỉ $3{,}78$ cm; không cộng bán kính.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án