Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 11 · Bài 24 – Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

TOÁN 11 · CHƯƠNG VII · BÀI 24

Dựng chân chiếu rồi chọn góc

Chiếu điểm, đường và tam giác. Kiểm giả thiết của định lí ba đường vuông góc, tính góc bằng tam giác vuông và đọc mô hình bóng nắng.

Bật để giữ câu đang dở và kết quả trên trình duyệt này. Có thể tắt hoặc xóa bản lưu bất cứ lúc nào.

Chọn bộ luyện

Bắt đầu với chẩn đoán hoặc vào thẳng kỹ năng em muốn luyện. Các bộ có điểm riêng.

Điểm tự làm bằng số câu đúng ở lần nộp hợp lệ đầu tiên trước khi mở gợi ý hoặc lời giải, chia cho tổng số câu của bộ, rồi quy về thang 10.

Chẩn đoán nhanh

Kiểm cách tìm chân chiếu, nhận ra hình chiếu suy biến và chọn góc ở đúng đỉnh.

5 câu · 5–8 phút dự kiến

Chặng 1 · Dựng hình chiếu

Tìm chân chiếu từng điểm. Kiểm các ảnh trùng nhau trước khi gọi tên ảnh của cả hình.

7 câu · 12–18 phút dự kiến

Chặng 2 · Ba đường vuông góc và đường xiên

Đưa quan hệ vuông góc về mặt nhận ảnh và so độ dài bằng các tam giác vuông chung đường cao.

7 câu · 12–18 phút dự kiến

Chặng 3 · Góc và vận dụng

Đọc góc giữa đường thẳng và hình chiếu, rồi chọn tỉ số lượng giác theo độ dài đã biết.

7 câu · 12–18 phút dự kiến

Luyện lại theo kỹ năng

Thử câu có dữ kiện mới rồi đọc lại điều kiện hoặc tỉ số tương ứng.

6 câu · 5–10 phút dự kiến

Đọc lại kiến thức

Bài đọc theo kỹ năng · Điều kiện của định lí ba đường vuông góc · Xác định góc qua hình chiếu

Chân chiếu của một điểm

Nếu A∉(P), gọi H là giao điểm của đường qua A vuông góc với (P) với chính (P). Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A. Điểm đã thuộc (P) tự là hình chiếu của nó. Khi cần chứng minh một đường vuông góc với một mặt phẳng, tìm hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng đó để kiểm.

Hình chiếu của đường, đoạn và tam giác

Hai điểm phân biệt của đường thẳng có hai ảnh phân biệt nếu đường không vuông góc với mặt nhận chiếu. Đường vuông góc với mặt phẳng chiếu thành một điểm. Với đoạn hoặc tam giác, nối các ảnh của đầu mút hoặc đỉnh. Nếu các ảnh thẳng hàng, lấy đoạn có hai đầu là hai ảnh ngoài cùng, trừ trường hợp tất cả ảnh trùng nhau.

Định lí ba đường vuông góc

Cho a không vuông góc với (P) và a0 là hình chiếu của a lên (P). Với b⊂(P), ta có b⊥a khi và chỉ khi b⊥a0. Hai đường a,b có thể chéo nhau. Nếu a⊥(P), dùng tính chất a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). Để giải thích khi a cắt xiên (P) tại O, lấy A trên a ngoài (P) và gọi H là chân chiếu của A. Trong mặt phẳng (AOH) có ba đường a=OA, a0=OH và AH. Vì b⊥AH, nếu b vuông góc với một trong hai đường OA,OH, nó vuông góc với hai đường cắt nhau của (AOH). Do đó b⊥(AOH) và cũng vuông góc với đường còn lại. Nếu a song song với hoặc thuộc (P), a và a0 cùng phương, nên tương đương cũng đúng.

Đường xiên và hình chiếu

Cho S∉(P) có chân chiếu H. Với M∈(P) và M≠H, đường xiên SM có hình chiếu HM và SM2=SH2+HM2. Với cùng S và (P), hai đường xiên có độ dài bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu có độ dài bằng nhau. Hình chiếu dài hơn đi với đường xiên dài hơn.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu a⊥(P), góc bằng 90∘. Nếu a song song với hoặc nằm trong (P), góc bằng 0∘. Khi a cắt xiên (P) tại O, lấy A∈a ngoài (P) và gọi H là hình chiếu của A. Góc cần tìm là AOH^, nằm trong tam giác AOH vuông tại H. Góc giữa a và phương vuông góc với (P) là góc phụ của góc này.

Mô hình góc nâng và bóng

Với đường bay thẳng dài s từ mặt đất ngang theo góc nâng α, độ cao là ssin⁡α và hình chiếu ngang dài scos⁡α. Đổi thời gian sang đơn vị phù hợp với vận tốc trước khi tính s. Với cọc thẳng đứng cao h và bóng ngang dài ℓ>0, góc của phương tia sáng với mặt ngang thỏa tan⁡α=h/ℓ.

Quay lại chọn bộ luyện

Tự luận trên giấy

Hãy viết lập luận trước khi mở lời giải. Dùng các mốc tự kiểm để xem em đã nêu đủ điều kiện, căn cứ và kết luận chưa.

Bài 1 · Hình chiếu trên hai mặt bên

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B và SA=4, AB=3, BC=5. Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên (SAB), rồi tính góc giữa SC và (SAB). Gọi H là chân đường vuông góc từ A xuống SB. Chứng minh H là hình chiếu của A lên (SBC) và tính AH.
Mở gợi ý
Xét lần lượt BC với SA,AB và AH với BC,SB. Dùng hệ thức diện tích trong tam giác SAB để tính AH.
Xem lời giải và tự kiểm
Vì BC⊥SA và BC⊥AB, ta có BC⊥(SAB). Hình chiếu của các đỉnh S,B,C lên (SAB) lần lượt là S,B,B. Vậy ảnh của tam giác là đoạn SB. Do SB=42+32=5=BC, tam giác SBC vuông cân tại B. Góc giữa SC và (SAB) là CSB^=45∘. Mặt khác AH⊂(SAB), nên AH⊥BC. Lại có AH⊥SB. Vì SB,BC cắt nhau và thuộc (SBC), suy ra AH⊥(SBC). Điểm H thuộc SB, nên là chân chiếu của A. So hai công thức tính diện tích tam giác SAB được AH⋅SB=SA⋅AB. Do đó AH=4⋅35=125.
  • Kiểm hai đường cắt nhau để chứng minh BC⊥(SAB).
  • Ghi đúng hai ảnh trùng nhau và gọi ảnh là đoạn SB.
  • Nêu đúng góc CSB^ và lí do tam giác vuông cân.
  • Chứng minh AH vuông góc với cả BC và SB trước khi tính độ dài.

Bài 2 · Dùng góc nâng và độ dài bóng

Trong hai phút đầu, hai thiết bị bay thẳng từ mặt đất ngang với cùng vận tốc 144 km/h. Góc nâng của thiết bị thứ nhất là 30∘, của thiết bị thứ hai là 45∘. Tính độ cao của mỗi thiết bị sau hai phút và so sánh. Nêu cách đo góc giữa phương tia sáng và mặt ngang bằng cọc thẳng đứng. Tính góc nếu cọc cao 3 m và bóng dài 1 m.
Mở gợi ý
Đổi hai phút sang giờ. Với đường bay, độ dài đã biết là cạnh huyền. Với cọc và bóng, hai cạnh đã biết là hai cạnh góc vuông.
Xem lời giải và tự kiểm
Mỗi thiết bị đi được 144⋅260=4,8 km. Hai độ cao lần lượt là 4,8sin⁡30∘=2,4 km và 4,8sin⁡45∘=2,42 km, nên thiết bị thứ hai cao hơn. Để đo góc tia sáng, dựng cọc thẳng đứng trên nền phẳng ngang. Đo chiều cao cọc và khoảng cách từ chân cọc đến đầu bóng tại cùng thời điểm. Tam giác qua đỉnh cọc, chân cọc và đầu bóng vuông tại chân cọc. Góc ở đầu bóng có tang bằng chiều cao chia độ dài bóng. Với số liệu đã cho, tang bằng 3, nên góc bằng 60∘.
  • Đổi đúng đơn vị thời gian và tính quãng đường xiên.
  • Dùng sin cho độ cao và so sánh hai giá trị có cùng đơn vị.
  • Nêu cách đo chiều cao và chiều dài bóng tại cùng thời điểm.
  • Chọn đúng góc ở đầu bóng và tỉ số tang.