Ba đường vuông góc lớp 11: hai chiều và phần chứng minh vectơ

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Định lý ba đường vuông góc chuyển một quan hệ vuông góc trong không gian về quan hệ vuông góc với hình chiếu trên mặt phẳng. Phải kiểm tra hình chiếu là đường thẳng, không phải một điểm.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phát biểu với điều kiện đầy đủ

Cho $a\subset(P)$ và đường thẳng $d$ không vuông góc $(P)$. Gọi $d^{\prime}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$. Vì $d$ không vuông góc mặt phẳng, $d^{\prime}$ là một đường thẳng. Khi đó

Định lý dùng được cả khi $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$. Nếu $d\perp(P)$, hình chiếu chỉ là một điểm, nên không viết quan hệ giữa đường $a$ với “đường chiếu” không tồn tại. Khi đó đã có ngay $d\perp a$ từ định nghĩa.

2. Vì sao tương đương và cách áp dụng

Gọi $\vec u$ là chỉ phương của $d$. Phân tích $\vec u=\vec u_P+\vec u_N$, trong đó $\vec u_P$ là hình chiếu vectơ lên mặt phẳng, còn $\vec u_N$ có phương pháp tuyến. Điều kiện $d\not\perp(P)$ bảo đảm $\vec u_P\ne\vec0$; nó là một chỉ phương của $d^{\prime}$.

Chọn chỉ phương $\vec v$ của $a$. Vì $a\subset(P)$, ta có $\vec u_N\cdot\vec v=0$. Do đó

Hai vế cùng bằng $0$ hoặc cùng khác $0$, chứng minh cả hai chiều định lý. Hai đường $d,a$ không cần có điểm chung; quan hệ vuông góc xét qua phương.

1. Chọn mặt phẳng $(P)$ chứa đường $a$.
2. Nếu $d\perp(P)$, kết luận ngay $d\perp a$. Nếu không, xác định hình chiếu $d^{\prime}$.
3. Chứng minh $d^{\prime}\perp a$ trong mặt phẳng rồi suy ra $d\perp a$, hoặc dùng chiều ngược khi đã biết $d\perp a$.

Để tìm $d^{\prime}$, có thể chiếu hai điểm phân biệt của $d$ và nối hai hình chiếu, với điều kiện chúng phân biệt. Trong bài hình chóp, điểm ở đáy giữ nguyên khi chiếu; đỉnh có chân đường cao đã biết thường cho điểm chiếu còn lại.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cạnh bên chiếu xuống một cạnh đáy

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông và $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh $BC\perp SB$. Hình chiếu của $S$ xuống đáy là $A$, còn $B$ giữ nguyên. Vì $A\ne B$, hình chiếu của đường $SB$ là đường $AB$. Trong hình vuông, $BC\perp AB$. Theo định lý, $BC\perp SB$.

Ở đây $SB$ không vuông góc mặt phẳng đáy vì hình chiếu của nó là đường $AB$, không phải một điểm. Hai đường $BC,SB$ còn cắt nhau tại $B$, nhưng sự cắt nhau không phải điều kiện chung của định lý.

Ví dụ 2. Chiều ngược của định lý

Với cùng hình chóp, hình chiếu của $SC$ là $AC$. Từ $BD\perp AC$ trong hình vuông, suy ra $BD\perp SC$. Ngược lại, nếu đã chứng minh $BD\perp SC$, có thể dùng định lý để suy ra $BD\perp AC$. Việc xác định hình chiếu đúng vẫn là bước bắt buộc trong cả hai hướng suy luận.

4. Bài tập tự luyện

1. Trong hình chóp ở ví dụ 1, chứng minh $CD\perp SD$.
2. Nếu $d\subset(P)$, hình chiếu $d^{\prime}$ là gì? Định lý trở thành phát biểu nào?
3. Nếu $d\perp(P)$, có thể coi hình chiếu là một đường rồi áp dụng định lý không?

5. Những lỗi cần tránh

• Bỏ điều kiện $d$ không vuông góc mặt phẳng khi dùng đường chiếu.
• Chiếu nhầm điểm đã nằm trong mặt phẳng.
• Chứng minh một đường vuông góc đoạn nhìn thấy trên ảnh nhưng chưa xác nhận đó là hình chiếu.
• Chỉ dùng một chiều dù phát biểu định lý là tương đương.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.