Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: định nghĩa và cách tính
Hiểu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua hình chiếu, ví dụ hình lập phương và công thức Oxyz; có video gốc, ba ví dụ và bốn bài tự luyện kèm đáp án.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định qua hình chiếu vuông góc. Từ định nghĩa này, ta tính góc bằng tam giác vuông hoặc bằng vectơ trong không gian $Oxyz$.
Mục tiêu: xác định đúng góc; tính được góc bằng hình học và tọa độ; nhận biết các trường hợp $0^\circ$, $90^\circ$.
Kiến thức cần biết: hình chiếu vuông góc, tam giác vuông, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và tích vô hướng.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Video · Tự luyện
1. Định nghĩa qua hình chiếu
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Góc giữa chúng, ký hiệu $\varphi$, thuộc đoạn $[0^\circ;90^\circ]$ và được xác định như sau:
- Nếu $d\perp(P)$ thì $\varphi=90^\circ$. Khi đó hình chiếu của $d$ lên $(P)$ là một điểm.
- Nếu $d$ không vuông góc với $(P)$, hình chiếu của $d$ là đường thẳng $d'$. Khi đó $\varphi$ là góc giữa $d$ và $d'$.
Đặc biệt, nếu $d\parallel(P)$ hoặc $d\subset(P)$ thì $\varphi=0^\circ$.
Trong hình, $O=d\cap(P)$, $A\in d$, $A\ne O$, và $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(P)$. Vì $AH\perp(P)$ nên $AH\perp OH$. Do đó $\varphi=\widehat{AOH}$ là góc trong tam giác vuông $OHA$.
2. Hai cách tính góc
Bằng hình học: tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng, xác định góc rồi dùng tam giác vuông. Chẳng hạn, trong hình trên, $\sin\varphi=AH/OA$.
Bằng tọa độ: chọn vectơ chỉ phương $\vec u\ne\vec0$ của $d$ và vectơ pháp tuyến $\vec n\ne\vec0$ của $(P)$. Khi đó
Tính tích vô hướng và hai độ dài, thay vào công thức, rồi tìm $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$.
Nếu $(P):ax+by+cz+d_0=0$ thì lấy $\vec n=(a;b;c)$, với $a^2+b^2+c^2>0$. Nếu đường thẳng có phương trình tham số
thì lấy $\vec u=(p;q;r)$, với $p^2+q^2+r^2>0$. Các hệ số đứng trước tham số xác định phương của đường thẳng. Tọa độ điểm đi qua giúp xác định vị trí của đường thẳng nhưng không xuất hiện trong công thức tính góc.
Khi làm bài, nên ghi riêng $\vec u$ và $\vec n$ trước khi tính. Nếu tỉ số nhận được lớn hơn $1$ hoặc âm, cần kiểm tra lại tích vô hướng, độ dài và dấu giá trị tuyệt đối. Nếu tỉ số bằng $0$ hoặc $1$, kết luận ngay trường hợp đặc biệt.
Vì sao dùng sin? Gọi $\theta\in[0^\circ;180^\circ]$ là góc giữa hai vectơ $\vec u,\vec n$. Vì pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng nên $\varphi=|90^\circ-\theta|$. Do đó
Bất đẳng thức Cauchy bảo đảm tỉ số trên thuộc $[0;1]$. Nếu tích vô hướng bằng $0$ thì $\varphi=0^\circ$; nếu hai vectơ cùng phương thì $\varphi=90^\circ$. Đổi chiều một vectơ không làm thay đổi kết quả vì tử số có dấu giá trị tuyệt đối.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Đường chéo của một mặt hình lập phương
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ cạnh $a>0$, với $E,F,G,H$ lần lượt ở trên $A,B,C,D$. Tính góc giữa $AF$ và $(ABCD)$.
Lời giải. Vì $BF\perp(ABCD)$ và $A\in(ABCD)$, hình chiếu của $AF$ lên đáy là $AB$. Góc cần tìm bằng $\widehat{FAB}$. Tam giác $ABF$ vuông tại $B$, có $AB=BF=a$, nên vuông cân. Vậy $\widehat{FAB}=45^\circ$.
Cũng có thể chọn $A$ làm gốc tọa độ, các trục theo $AB,AD,AE$. Khi đó $\overrightarrow{AF}=(a;0;a)$ và đáy có pháp tuyến $(0;0;1)$. Công thức tọa độ cho $\sin\varphi=1/\sqrt2$, đúng với kết quả hình học.
Ví dụ 2. Tính góc trong Oxyz
Đường thẳng $d$ qua $A(1;-1;2)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(1;0;1)$. Tính góc giữa $d$ và $(P):x+y-2=0$.
Lời giải. Chọn $\vec n=(1;1;0)$. Ta có $\vec u\cdot\vec n=1$ và $\|\vec u\|=\|\vec n\|=\sqrt2$. Vì vậy
Vì $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$, suy ra $\varphi=30^\circ$.
Trong ví dụ này, ta không cần tìm hình chiếu của $d$ để tính góc. Nếu cần dựng đường chiếu, xem bài hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng.
Ví dụ 3. Phân biệt các trường hợp đặc biệt
Với $(P):z=0$, chọn pháp tuyến $\vec n=(0;0;1)$.
- Đường thẳng qua $(0;0;3)$, có chỉ phương $(2;-1;0)$, song song với $(P)$ vì tích vô hướng bằng $0$ và điểm đã cho không thuộc $(P)$. Góc bằng $0^\circ$.
- Nếu thay điểm trên bằng $(0;0;0)$, đường thẳng nằm trong $(P)$; góc vẫn bằng $0^\circ$.
- Đường thẳng qua $(1;2;3)$, có chỉ phương $(0;0;1)$, vuông góc với $(P)$ vì chỉ phương cùng phương với pháp tuyến. Góc bằng $90^\circ$.
4. Video bài giảng
Video gốc trình bày định nghĩa và ví dụ hình lập phương. Phần công thức tọa độ được bổ sung trong bài viết ở trên.
5. Bài tập tự luyện
Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp:
- $d$ qua $(0;0;1)$, có chỉ phương $(-1;0;-1)$; $(P):z=0$.
- $d$ qua $(1;2;0)$, có chỉ phương $(2;-1;0)$; $(P):z=0$. Cho biết thêm vị trí của $d$ đối với $(P)$.
- $d$ qua $(0;0;0)$, có chỉ phương $(1;-1;2)$; $(P):x-y+2z-3=0$.
- $d$ qua $(1;0;0)$, có chỉ phương $(1;1;0)$; $(P):x+z-1=0$.
Gợi ý và đáp án
- Chọn $\vec n=(0;0;1)$. Tích vô hướng bằng $-1$ nên $\sin\varphi=1/\sqrt2$ và $\varphi=45^\circ$.
- Tích vô hướng bằng $0$ nên $\varphi=0^\circ$. Điểm đã cho thuộc $(P)$, vì vậy $d\subset(P)$.
- Chỉ phương cùng phương với pháp tuyến $(1;-1;2)$, nên $d\perp(P)$ và $\varphi=90^\circ$.
- Chọn $\vec n=(1;0;1)$. Tích vô hướng bằng $1$, hai độ dài đều bằng $\sqrt2$; do đó $\sin\varphi=1/2$ và $\varphi=30^\circ$.
6. Những lỗi cần tránh
- Dùng nhầm công thức cos của góc giữa hai vectơ cho góc với mặt phẳng.
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối, dẫn đến sin âm.
- Lấy $90^\circ-\theta$ khi $\theta$ là góc tù giữa hai vectơ.
- Gọi hình chiếu của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một đường thẳng.
- Để máy tính ở chế độ radian khi cần kết quả theo độ.
Học tiếp: Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng · Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng · Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Xem thêm trong chuyên mục Hình học không gian hoặc tài liệu gốc trên Scribd.
Để lại một bình luận