Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 8 – Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG II · BÀI 8

Dùng tọa độ để tính, kiểm điều kiện và giải bài thực tế

Tính độ dài và góc, tìm trung điểm và trọng tâm, rồi kiểm điều kiện hình học bằng tích vô hướng hoặc khoảng cách.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Kiểm góc tại đúng đỉnh
Cho A(1;−2;3), B(4;0;3) và C(3;−5;7). Góc BAC^ dùng hai vectơ cùng điểm đầu A. Vì AB→=(3;2;0) và AC→=(2;−3;4), ta có
AB→⋅AC→=3⋅2+2⋅(−3)+0⋅4=0.
Cả hai vectơ khác 0⃗, nên tam giác vuông tại A.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

5 câu. Thực hiện phép toán theo từng thành phần và đọc khoảng cách.

Vận dụng

5 câu. Nối phép tính vectơ với hình bình hành, trung điểm và góc.

Nâng cao

5 câu. Truy ngược dữ kiện, kiểm điều kiện vuông góc và xét biên của vùng quan sát.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn tọa độ và độ dài vectơ · Ôn tọa độ trung điểm · Ôn tọa độ trọng tâm tam giác · Ôn tích vô hướng và góc

Tính theo từng thành phần

Với u⃗=(u1;u2;u3) và v⃗=(v1;v2;v3), tọa độ u⃗+v⃗ là (u1+v1;u2+v2;u3+v3). Khi nhân với k, nhân cả ba thành phần. Nếu ABCD là hình bình hành, AD→=BC→.

Phân biệt độ dài với bình phương độ dài

Ta có ∣u⃗∣=u12+u22+u32 và u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3. Khi so sánh các độ dài, có thể so sánh bình phương vì các độ dài không âm.

Chọn hai vectơ cùng gốc tại đỉnh góc

Với u⃗,v⃗≠0⃗, ta có cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣. Để tính ABC^, dùng BA→ và BC→. Tích vô hướng bằng 0 cho góc vuông khi cả hai vectơ khác 0⃗.

Lấy trung bình từng tọa độ

Trung điểm của một đoạn có mỗi tọa độ bằng trung bình cộng của tọa độ tương ứng của hai đầu mút. Trọng tâm tam giác có mỗi tọa độ bằng trung bình cộng của tọa độ tương ứng của ba đỉnh. Nếu một đỉnh chưa biết, nhân tọa độ trọng tâm với 3 rồi trừ hai tọa độ đỉnh đã biết theo từng thành phần.

So khoảng cách với bán kính đã cho

Khoảng cách từ thiết bị tại A đến mục tiêu B là ∣AB→∣. Nếu thiết bị phát hiện mọi điểm có khoảng cách không vượt quá R, kiểm ∣AB→∣2≤R2. Dấu bằng ứng với điểm trên biên vùng quan sát.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Đỉnh còn lại và dạng của hình bình hành

Trong Oxyz, cho M(1;0;2), N(3;1;2) và P(2;3;4). Tìm Q sao cho MNPQ là hình bình hành. Tính chu vi và chứng minh đây là hình chữ nhật.
Mở gợi ý
Dùng MQ→=NP→. Sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ cạnh kề.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có MN→=(2;1;0) và NP→=(−1;2;2). Hai vectơ đều khác 0⃗ và không cùng phương, nên ba điểm tạo được hình bình hành. Từ MQ→=NP→ suy ra Q(0;2;4). Hai cạnh kề có độ dài 5 và 3, nên chu vi bằng 2(5+3). Do MN→⋅NP→=−2+2=0, hai cạnh kề vuông góc và hình bình hành là hình chữ nhật.
  • Giữ đúng thứ tự bốn đỉnh khi chọn hai vectơ cạnh đối.
  • Dùng hai cạnh kề để tính chu vi.
  • Xác nhận hai vectơ đều khác vectơ không trước khi kết luận vuông góc.

Bài 2 · Từ trọng tâm đến đỉnh chưa biết

Cho tam giác ABC với A(1;2;1), B(3;3;1) và trọng tâm G(1;3;2). Tìm C và trung điểm M của BC. Kiểm tra AG→=23AM→ và xác định BAC^ là góc nhọn, góc vuông hay góc tù.
Mở gợi ý
Từ 3OG→=OA→+OB→+OC→, tìm C trước. Để xét góc tại A, giữ A làm điểm đầu cho hai vectơ.
Xem lời giải và tự kiểm
Từ công thức trọng tâm suy ra C(−1;4;4). Trung điểm BC là M(1;72;52). Do đó AG→=(0;1;1) và AM→=(0;32;32), thỏa hệ thức đã cho. Hai vectơ AB→=(2;1;0) và AC→=(−2;2;3) có tích vô hướng bằng −2, nên BAC^ là góc tù.
  • Thế lại ba đỉnh vào công thức để thu được G.
  • So sánh hai vectơ cùng xuất phát từ A.
  • Dựa vào dấu tích vô hướng để phân loại góc.

Bài 3 · Khoảng thời gian trong vùng phát hiện

Trạm dưới nước A(−3;1;−2) có bán kính phát hiện 9 km, kể cả biên. Một thiết bị có vị trí B(t)=(−13+2t;4;−8) sau t giờ, t≥0. Tìm thời điểm vào và ra khỏi phạm vi, tính thời lượng trạm theo dõi được thiết bị và xác định khoảng cách nhỏ nhất.
Mở gợi ý
Viết AB2 theo t rồi so với 92. Sau khi giải, đọc hai đầu mút và độ dài khoảng thời gian.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có AB2=(−10+2t)2+32+(−6)2=(2t−10)2+45. Do đó AB≤9 tương đương ∣2t−10∣≤6, hay 2≤t≤8. Thiết bị đến biên khi t=2 giờ và rời vùng sau khi chạm biên lần nữa tại t=8 giờ. Thời gian theo dõi kéo dài 8−2=6 giờ. Tại t=5 giờ, số hạng bình phương bằng 0, nên khoảng cách nhỏ nhất là 45=35 km.
  • Dùng chênh lệch cả ba tọa độ.
  • Lấy cả hai mốc thời gian đạt biên.
  • Phân biệt khoảng cách nhỏ nhất với thời gian theo dõi.