Đến nội dung chính

Toán lớp 12: chọn bài học miễn phí theo chủ đề

Chọn trong 56 bài chính hiện có để học và ôn một số chủ đề Toán lớp 12: vectơ và tọa độ Oxyz, mặt phẳng, đường thẳng, khảo sát hàm số, nguyên hàm–tích phân, xác suất có điều kiện và phần số phức đọc thêm từ học liệu cũ.

Chọn đúng mức học. Danh sách gồm nội dung chính và vận dụng, bài mở rộng và phần đọc thêm được ghi rõ. Kho bài chưa bao quát toàn bộ chương trình lớp 12; các kỹ thuật mở rộng là nhánh tự chọn.

Nhóm số phức là học liệu cũ để đọc thêm, ngoài nội dung và các chuyên đề lựa chọn của chương trình hiện hành. Các bài tích có hướng, tích hỗn tạp, kỹ thuật tích phân nâng cao và khảo sát có tham số cũng cần đọc chú thích và tiền đề của từng bài.

Vectơ trong không gian

  1. Vectơ không gian lớp 12: điểm đầu, điểm cuối và hướngNội dung chính và vận dụng — Nền vectơ không gian; xét riêng vectơ không trước khi nói về giá, hướng hoặc góc.
  2. Độ dài và hai vectơ bằng nhau trong không gian – lớp 12Nội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; cùng độ dài chưa đủ để hai vectơ bằng nhau.
  3. Cộng, trừ và vectơ đối trong không gian lớp 12Nội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; quy tắc nối đuôi cần đúng thứ tự hai đầu mút.
  4. Biểu diễn vectơ lớp 12: ba điểm, hình bình hành, hình hộpNội dung chính và mở rộng — Quy tắc biểu diễn là mạch chính; giải thích bằng cơ sở và tính duy nhất là phần mở rộng.
  5. Mở rộng lớp 12: vectơ đồng phẳng và điều kiện biểu diễnMở rộng — Đọc thêm về hai phương độc lập và biểu diễn; bài còn nêu tiêu chuẩn tích hỗn tạp trong Oxyz.
  6. Tích vô hướng không gian lớp 12: độ dài, góc và vuông gócNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; góc cần hai vectơ khác 0, tích vô hướng vẫn xác định khi có vectơ không.

Tọa độ Oxyz và các phép tính vectơ

  1. Hệ tọa độ Oxyz lớp 12: tọa độ điểm và vectơNội dung chính và mở rộng — Tọa độ và hình chiếu lên trục/mặt phẳng tọa độ là mạch chính; hệ trục thuận cho tích có hướng là quy ước bổ sung.
  2. Tọa độ và độ dài vectơ lớp 12 từ hai đầu mútNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; giữ thứ tự điểm đầu/điểm cuối và thứ tự đỉnh hình bình hành.
  3. Trung điểm trong Oxyz lớp 12: tọa độ và đầu mút còn thiếuNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; cách đều hai đầu mút chưa đủ để là trung điểm.
  4. Trọng tâm tam giác trong Oxyz – Toán lớp 12Nội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; ba đỉnh phải không thẳng hàng khi nói tới tam giác không suy biến.
  5. Tích vô hướng Oxyz lớp 12: công thức, góc và diện tíchNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; góc giữa hai vectơ giữ dấu của tích vô hướng.
  6. Mở rộng lớp 12: tích có hướng, tích hỗn tạp và ứng dụngMở rộng — Công cụ mở rộng ngoài danh mục phép toán vectơ cơ bản; cần hệ trục thuận và kiến thức định thức.
  7. Mở rộng Oxyz lớp 12: thẳng hàng và đồng phẳngMở rộng — Đọc thêm tiêu chuẩn bằng tích có hướng/hỗn tạp; phân biệt đồng phẳng với xác định duy nhất mặt phẳng.

Mặt phẳng trong Oxyz

  1. Vectơ pháp tuyến mặt phẳng lớp 12: định nghĩa và cách tìmNội dung chính và mở rộng — Pháp tuyến là mạch chính; cách tính bằng tích có hướng là phương pháp bổ sung trong bài.
  2. Phương trình mặt phẳng lớp 12: tổng quát và đoạn chắnNội dung chính và mở rộng — Dạng điểm–pháp tuyến và tổng quát là mạch chính; đoạn chắn và cách dùng tích có hướng là vận dụng thêm.
  3. Vị trí hai mặt phẳng Oxyz lớp 12: song song, cắt, trùngNội dung chính và mở rộng — Vị trí và vuông góc là mạch chính; tích có hướng và giải thích bằng hạng hệ là phần bổ sung.
  4. Góc giữa hai mặt phẳng Oxyz lớp 12: công thức pháp tuyếnNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; lấy góc 0–90 độ và trị tuyệt đối của cos giữa hai pháp tuyến khác 0.
  5. Khoảng cách điểm đến mặt phẳng trong Oxyz – lớp 12Nội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; phân biệt mẫu khoảng cách với mẫu hệ số tìm hình chiếu.

Đường thẳng, hình chiếu và khoảng cách

  1. Vectơ chỉ phương đường thẳng trong không gian – lớp 12Nội dung chính và mở rộng — Chỉ phương và cách lấy từ hai điểm là mạch chính; tích có hướng của hai pháp tuyến là cách bổ sung.
  2. Đường thẳng Oxyz lớp 12: tham số và chính tắcNội dung chính và mở rộng — Hai dạng phương trình là mạch chính; giao tuyến hai mặt phẳng và cách dùng tích có hướng là vận dụng thêm.
  3. Hai đường cắt nhau Oxyz lớp 12: điều kiện và giao điểmNội dung chính và mở rộng — Tìm giao điểm bằng hệ là mạch chính; tiêu chuẩn tích hỗn tạp là phương pháp mở rộng.
  4. Hai đường song song Oxyz lớp 12: phân biệt với trùng nhauNội dung chính và mở rộng — Song song phân biệt là mạch chính; bài còn dùng tích có hướng để kiểm phương và vị trí.
  5. Hai đường chéo nhau trong Oxyz lớp 12: hai cách kiểm traNội dung chính và mở rộng — Nhận biết chéo nhau bằng hệ là mạch chính; tích hỗn tạp và mặt phẳng phụ là phần bổ sung.
  6. Góc giữa hai đường thẳng Oxyz lớp 12: chọn chỉ phươngNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính và vận dụng; góc hai đường thuộc 0–90 độ kể cả khi chúng chéo nhau.
  7. Vận dụng lớp 12: hình chiếu điểm lên mặt phẳng OxyzMở rộng — Vận dụng tự chọn sau phương trình mặt phẳng và đường thẳng; giữ riêng trường hợp điểm thuộc mặt phẳng.
  8. Vận dụng lớp 12: đối xứng điểm qua mặt phẳng OxyzMở rộng — Vận dụng tự chọn; tìm hình chiếu rồi dùng trung điểm để xác định ảnh.
  9. Vận dụng lớp 12: hình chiếu điểm lên đường thẳng OxyzMở rộng — Vận dụng tự chọn; đặt chân trên đường và dùng tích vô hướng bằng 0.
  10. Mở rộng lớp 12: hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng OxyzMở rộng — Đọc thêm phép chiếu của cả đường; kết quả có thể là một điểm hoặc một đường thẳng.
  11. Mở rộng lớp 12: phương trình đường vuông góc chungMở rộng — Đọc thêm đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau; phải tìm đủ hai chân.
  12. Mở rộng lớp 12: khoảng cách hai đường chéo nhau trong OxyzMở rộng — Đọc thêm công thức tích hỗn tạp và mặt phẳng phụ; mẫu khác 0 và phải kiểm vị trí hai đường.

Đạo hàm, khảo sát hàm số và đồ thị

  1. Tính đơn điệu lớp 12: dấu đạo hàm và miền xác địnhNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về đơn điệu; phân biệt đồng biến nghiêm với không giảm và xét từng khoảng xác định.
  2. Mở rộng lớp 12: tham số để hàm đơn điệu trên khoảngMở rộng — Nhánh mở rộng về tham số, giảm bậc và vị trí điểm loại; khoảng mở có thể nhận nghiệm đạo hàm ở đầu mút.
  3. Cực trị hàm số lớp 12: định nghĩa, đổi dấu và miền xétNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về cực trị địa phương; bài dùng cực trị nghiêm tại điểm trong miền, còn đầu mút cần xét riêng khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
  4. Mở rộng lớp 12: tham số và số cực trị của đa thứcMở rộng — Nhánh mở rộng cho đa thức bậc ba và bậc bốn; cộng bội khi nghiệm trùng và kiểm đạo hàm đổi dấu.
  5. Khảo sát hàm bậc ba lớp 12: cực trị và đồ thịNội dung chính và mở rộng — Khảo sát bậc ba và nhận biết tâm đối xứng là nội dung chính; điểm uốn và các chứng minh phân loại là phần mở rộng trong bài.
  6. Mở rộng lớp 12: tham số và tọa độ hai điểm cực trịMở rộng — Nhánh mở rộng về tọa độ hai cực trị; một ví dụ dùng đạo hàm cấp hai để đếm nghiệm tham số và giữ rõ quy ước gán nhãn.
  7. Mở rộng lớp 12: đường thẳng qua hai điểm cực trị bậc baMở rộng — Nhánh mở rộng cho hàm bậc ba thật sự có hai cực trị phân biệt; chỉ khi đó phần dư mới được gọi là đường thẳng nối hai điểm cực trị.
  8. Mở rộng lớp 12: khảo sát hàm trùng phương và số cực trịMở rộng — Khảo sát trùng phương là phần mở rộng; giữ a khác 0, nghiệm dừng bội ba và sự khác nhau giữa điểm cực trị với giá trị cực trị.
  9. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất lớp 12: điều kiện và tiệm cậnNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về phân thức bậc nhất trên bậc nhất; mẫu hằng, điểm khuyết và định thức bằng 0 được xét riêng.
  10. Mở rộng lớp 12: đồ thị trị tuyệt đối, điểm gấp và cực trịMở rộng — Nhánh mở rộng về phản xạ đồ thị và cực trị của trị tuyệt đối; không mặc định mọi nghiệm đều là điểm gấp.
  11. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 12: miền xét và điểm đạtNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; xét miền, điểm không khả vi và điều kiện đạt, không thay cận bằng giá trị.
  12. Mở rộng lớp 12: đếm nghiệm bằng đồ thị và các mức biênMở rộng — Nhánh mở rộng về số nghiệm phân biệt theo đường mức; đếm trên các nhánh, kiểm mức biên và giữ miền của phương trình.

Nguyên hàm, tích phân và mở rộng

  1. Nguyên hàm lớp 12: công thức cơ bản và hằng số CNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về bảng nguyên hàm trên từng khoảng; phần giải thích họ nguyên hàm dùng định lý giá trị trung bình là đọc thêm.
  2. Tích phân xác định lớp 12: cận, nguyên hàm và diện tíchNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính về tích phân và diện tích; bài dùng hàm liên tục trên đoạn để áp dụng Newton–Leibniz và phân biệt tích phân có dấu với diện tích.
  3. Tích phân trị tuyệt đối lớp 12: xét dấu và chia khoảngNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính vận dụng dấu và tính cộng đoạn; phép chia hữu hạn dùng khi có một phân hoạch hữu hạn mà hàm giữ dấu.
  4. Mở rộng lớp 12: đổi biến trong tích phân và đổi cậnMở rộng — Phương pháp đổi biến ở nhánh mở rộng; phân biệt thế trực tiếp với dùng hàm ngược và đổi đồng thời vi phân, hai cận.
  5. Mở rộng lớp 12: tích phân từng phần, chọn u và dvMở rộng — Phương pháp từng phần là nhánh mở rộng; bài dùng đạo hàm liên tục và kiểm cả số hạng biên lẫn tích phân còn lại.
  6. Mở rộng lớp 12: tích phân hữu tỷ và kiểm tra cựcMở rộng — Nhánh mở rộng có phân tích hữu tỷ, arctan và tích phân suy rộng tại cực; các phần này vượt nội dung tích phân cơ bản hiện hành.
  7. Mở rộng lớp 12: tích phân chứa căn và nhân liên hợpMở rộng — Nhánh mở rộng về tích phân chứa căn; kiểm miền và vi phân, phân biệt căn liên tục ở cận với đạo hàm biến phụ không hữu hạn.
  8. Mở rộng lớp 12: tích phân lượng giác và chọn phép đổi biếnMở rộng — Nhánh mở rộng về tích phân lượng giác; giữ radian, điều kiện mẫu và cận mới qua từng lần đổi biến.

Xác suất có điều kiện

  1. Xác suất có điều kiện lớp 12: định nghĩa và tính độc lậpNội dung chính và vận dụng — Nội dung chính tập trung vào xác suất có điều kiện, phép kiểm độc lập và mô hình chuyển bi; biến cố điều kiện cần có xác suất dương.

Đọc thêm: số phức từ học liệu cũ

  1. Đọc thêm cho lớp 12: số phức và bốn phép toánĐọc thêm · số phức từ học liệu cũ — Học liệu chương trình cũ và mở rộng, không thuộc nội dung bắt buộc hay chuyên đề lựa chọn của chương trình Toán lớp 12 hiện hành. Khi chia hoặc lấy nghịch đảo, cần số chia khác 0.
  2. Đọc thêm cho lớp 12: mặt phẳng phức, môđun và argumentĐọc thêm · số phức từ học liệu cũ — Học liệu chương trình cũ và mở rộng, không thuộc nội dung bắt buộc hay chuyên đề lựa chọn của chương trình Toán lớp 12 hiện hành. Số 0 không có argument; góc được hiểu modulo 2π.
  3. Đọc thêm cho lớp 12: số phức, công thức Moivre và EulerĐọc thêm · số phức từ học liệu cũ — Học liệu chương trình cũ và mở rộng, không thuộc nội dung bắt buộc hay chuyên đề lựa chọn của chương trình Toán lớp 12 hiện hành. Công thức Euler được viện dẫn như kết quả chuẩn, không được chứng minh trong bài.
  4. Đọc thêm cho lớp 12: căn bậc n của số phứcĐọc thêm · số phức từ học liệu cũ — Học liệu chương trình cũ và mở rộng, không thuộc nội dung bắt buộc hay chuyên đề lựa chọn của chương trình Toán lớp 12 hiện hành. Số nguyên n phải dương; số 0 chỉ có một giá trị căn bậc n.
  5. Đọc thêm cho lớp 12: phương trình bậc hai trong số phứcĐọc thêm · số phức từ học liệu cũ — Học liệu chương trình cũ và mở rộng, không thuộc nội dung bắt buộc hay chuyên đề lựa chọn của chương trình Toán lớp 12 hiện hành. Hệ số có thể là số phức; xét riêng trường hợp hệ số bậc hai bằng 0.

Cách học và tự kiểm

Đọc kiến thức cần biết trước và ví dụ, tự làm bài luyện rồi mở lời giải. Gợi ý ôn lại và học tiếp ở cuối bài chỉ ra kỹ năng liên quan, không thay thế toàn bộ tiền đề. Có thể học riêng một nhánh và quay lại kiến thức cần củng cố.

Ôn đạo hàm và tiếp tuyến lớp 11 · Đọc các bài xác suất liên quan trong kho lớp 11 · Chọn chủ đề ôn lớp 11

Kho bài THPT theo chủ đề · Các lộ trình học