Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 3 – Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG I · BÀI 3

Từ giới hạn đến đường tiệm cận

Đọc hai đầu đồ thị, kiểm giới hạn một phía và giải thích đường tiệm cận trong bài toán thực tế.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Kiểm một điểm khuyết
Với g(x)=x2−4x−2 trên R∖{2}, rút gọn được g(x)=x+2 trên miền đó. Hai giới hạn một phía tại 2 đều bằng 4. Do đó x=2 không phải tiệm cận đứng. Khi thay biểu thức ban đầu bằng biểu thức rút gọn, vẫn giữ điều kiện x≠2.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

7 câu. Đọc đồ thị và tính các giới hạn cơ bản.

Vận dụng

5 câu. Đối chiếu hai phía và giải thích trong mô hình.

Nâng cao

3 câu. Xét tham số, miền và trường hợp điểm khuyết.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Đọc về tiệm cận của phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Đọc từng phía và từng đầu đồ thị

Đọc riêng khi x→a− và x→a+. Với hai đầu đồ thị, đọc riêng khi x→+∞ và x→−∞, theo đúng miền của hàm. Ghi rõ dấu vô cực nếu độ lớn tung độ tăng không giới hạn.

Kiểm giới hạn một phía

Đường x=a là tiệm cận đứng nếu ít nhất một giới hạn một phía của f tại a là +∞ hoặc −∞. Khi tử và mẫu đều bằng 0, hãy rút gọn trên miền xác định rồi tính lại giới hạn. Giới hạn hữu hạn tại một điểm bị loại có thể tạo điểm khuyết.

Xét riêng hai đầu vô cực

Nếu f(x)→L khi x→+∞ hoặc x→−∞ thì y=L là tiệm cận ngang ở đầu tương ứng. Một đồ thị có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau. Tiệm cận ngang mô tả hành vi ở xa, nên đồ thị có thể cắt đường ấy tại một điểm hữu hạn.

Kiểm hiệu với đường thẳng

Với a≠0, đường y=ax+b là tiệm cận xiên nếu f(x)−(ax+b) tiến về 0 ở ít nhất một đầu vô cực. Với phân thức bậc hai trên bậc nhất, chia đa thức rồi kiểm phần dư chia cho mẫu. Ghi đầy đủ cả hệ số góc và tung độ gốc.

Giải thích trên miền thực tế

Ghi miền có nghĩa của biến trước khi lấy giới hạn. Chẳng hạn, với x>0 và chi phí trung bình A(x)=c+Fx, F>0, ta có A(x)>c và A(x)→c khi x→+∞. Nêu kết quả bằng đơn vị chi phí trên mỗi sản phẩm.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Hai điểm bị loại, hai cách ứng xử

Cho h(x)=(x−3)(2x2+x+3)(x−3)(x+1). Tìm tập xác định và các đường tiệm cận. Mô tả điểm khuyết và giải thích vai trò của nhân tử x−3.
Mở gợi ý
Rút gọn trên miền xác định, giữ nguyên hai điểm bị loại. Viết 2x2+x+3=(x+1)(2x−1)+4.
Xem lời giải và tự kiểm
Tập xác định là R∖{−1,3}. Với x trong miền này, h(x)=2x−1+4/(x+1). Tại 3, hai giới hạn một phía cùng bằng 6, nên đồ thị có điểm khuyết (3;6). Tại −1, giới hạn trái là −∞ và giới hạn phải là +∞, nên x=−1 là tiệm cận đứng. Tại hai phía vô cực, h(x)−(2x−1)=4/(x+1)→0. Do đó y=2x−1 là tiệm cận xiên. Hàm không có tiệm cận ngang vì phần tuyến tính phân kỳ ở hai phía vô cực.
  • Nêu cả hai giá trị bị loại khỏi miền.
  • Tính đúng giới hạn hữu hạn tại 3 và hai giới hạn vô cực tại −1.
  • Xét hiệu với đường xiên tại vô cực.
  • Ghi phương trình của từng đường, rồi mô tả điểm khuyết.

Bài 2 · Hình chữ nhật · Đọc giới hạn trong miền mô hình

Một khu triển lãm hình chữ nhật có diện tích 96 m2. Gọi x là chiều rộng tính bằng mét, trước hết cho phép mọi x>0. Lập hàm chu vi và tìm các tiệm cận. Sau đó, nếu thiết kế chỉ cho phép 3≤x≤16, hãy xác định những tiệm cận còn có ý nghĩa trên miền thiết kế và giải thích.
Mở gợi ý
Viết chiều dài là 96/x. Trên đoạn [3,16], xét giới hạn một phía ở các đầu mút.
Xem lời giải và tự kiểm
Chu vi là P(x)=2x+192/x mét. Trên x>0, lim⁡x→0+P(x)=+∞ nên x=0 là tiệm cận đứng. Ngoài ra, lim⁡x→+∞[P(x)−2x]=0, nên y=2x là tiệm cận xiên. Khi cạnh x rất nhỏ, cạnh còn lại rất dài nên chu vi tăng không giới hạn. Khi x rất lớn, chu vi gần 2x. Trên [3,16], không có hướng tiến ra vô cực và hàm liên tục trên toàn đoạn, với giới hạn hữu hạn tại các đầu mút. Đồ thị giới hạn trên đoạn ấy không có đường tiệm cận.
  • Đổi diện tích thành quan hệ x⋅y=96 giữa hai độ dài.
  • Xét đúng giới hạn phải tại 0 và hiệu khi x→+∞.
  • Giải thích ý nghĩa của mỗi giới hạn theo độ dài cạnh.
  • Xét lại miền [3,16] trước khi kết luận.