Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 18 – Xác suất có điều kiện

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG VI · BÀI 18

Đổi điều kiện, đổi mẫu số

Xác định nhóm đang xét, phân biệt hai chiều điều kiện và dùng công thức nhân để tính xác suất của một chuỗi kết quả.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Xác định mẫu số từ bảng hai chiều

Chọn đều một bạn trong nhóm 60 bạn. Gọi A là “có tham gia câu lạc bộ” và B là “chọn hoạt động ngoài trời”. Bảng cho n(A∩B)=18. Với điều kiện B, xét 30 bạn ở cột chọn ngoài trời. Với điều kiện A, xét 24 bạn ở hàng có tham gia câu lạc bộ. Do đó
P(A∣B)=1830=35,P(B∣A)=1824=34.

Trong cùng nhóm B, ta có P(A‾∣B)=12/30=1−P(A∣B).
Số bạn theo hai tiêu chí
Tham gia câu lạc bộChọn ngoài trờiKhông chọn ngoài trờiTổng số
Có18624
Không122436
Tổng số303060

Cập nhật từng lượt khi rút không hoàn lại

Trong túi có 4 thẻ xanh và 3 thẻ cam. Rút lần lượt hai thẻ, mỗi lượt chọn đều trong số thẻ còn lại, rồi ghi kết quả theo thứ tự. Sau khi rút một thẻ xanh, còn 3 thẻ xanh trong 6 thẻ. Sau khi rút một thẻ cam, còn 4 thẻ xanh trong 6 thẻ. Đọc xác suất dọc theo một đường đi và nhân các xác suất trên đó. Chẳng hạn, xác suất rút cam rồi xanh bằng (3/7)(4/6)=2/7.
4/73/73/63/64/62/6Bắt đầuXanhCamXanhCamXanhCamLượt 1Lượt 2
Xác suất ở lượt hai được tính theo màu đã rút ở lượt một. Chẳng hạn, (3/7)(4/6) là tích trên đường đi Cam → Xanh.

Kiểm xem điều kiện có làm thay đổi xác suất

Trở lại bảng 60 bạn, P(A)=24/60=2/5 còn P(A∣B)=3/5, nên A và B không độc lập. Nếu điều chỉnh bảng sao cho trong cùng nhóm 30 bạn chọn ngoài trời có đúng 12 bạn tham gia câu lạc bộ và giữ nguyên các tổng hàng, tổng cột, thì P(A∣B)=12/30=2/5 và hai biến cố độc lập. Khi xác suất của biến cố điều kiện bằng 0, công thức chia cho xác suất đó không áp dụng được.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Chọn nhóm để chia
Trong 20 bạn đi xe buýt có 8 bạn đến trước 7 giờ. Trong toàn bộ 30 bạn đến trước 7 giờ có 8 bạn đi xe buýt. Với A là “đi xe buýt” và B là “đến trước 7 giờ”, ta có P(B∣A)=8/20 và P(A∣B)=8/30 khi chọn đều một bạn. Cùng một số đếm ở tử số, nhưng hai điều kiện xác định hai mẫu số khác nhau.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

6 câu. Đọc ký hiệu, thu hẹp không gian mẫu, xác định xác suất điều kiện ở từng lượt.

Ví dụ lọc theo điều kiện
Chọn đều một số từ 1 đến 18 và biết số được chọn là bội của 4. Nhóm đang xét là {4,8,12,16}. Có một số trong nhóm chia hết cho 3, nên xác suất cần tìm bằng 1/4.

Vận dụng

6 câu. Tính hai chiều điều kiện, đọc bảng hai chiều và nhân xác suất theo nhánh.

Ví dụ nhân theo thứ tự
Có 2 bút đen và 3 bút xanh. Rút lần lượt hai bút, không hoàn lại. Xác suất đen rồi xanh bằng (2/5)(3/4)=3/10. Mẫu số ở lượt sau là 4 vì đã lấy một bút khỏi hộp.

Nâng cao

6 câu. Kiểm từng nhận định, tránh đếm trùng và tìm dữ kiện còn thiếu từ xác suất đã biết.

Ví dụ khôi phục số phần tử
Một hộp có 3 bi đen trong tổng số n bi. Rút lần lượt hai bi, không hoàn lại. Nếu xác suất rút hai bi đen là 1/5 thì 6/[n(n−1)]=1/5, tức n(n−1)=30. Do n≥3, suy ra n=6.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Giới hạn vào biến cố đã biết

Với P(B)>0, P(A∣B)=P(A∩B)/P(B). Khi các kết quả trong không gian mẫu ban đầu đồng khả năng, có thể dùng n(A∩B)/n(B). Với hai xúc xắc, dùng cặp có thứ tự. Điều kiện “ít nhất một con ra mặt k” gồm 6+6−1=11 cặp vì (k;k) xuất hiện trong cả hai danh sách.

Đọc đối tượng sau dấu điều kiện

Nếu P(A)>0 và P(B)>0, hai xác suất P(A∣B) và P(B∣A) cùng dùng P(A∩B) ở tử số, nhưng mẫu số lần lượt là P(B) và P(A). Để tìm chiều còn lại, có thể tính P(A∩B)=P(A)P(B∣A) rồi chia cho P(B).

Xác định ô giao và tổng theo hàng hoặc cột

Tìm ô đếm số trường hợp thỏa cả A và B. Với P(A∣B), chia số trong ô đó cho tổng của nhóm B. Muốn tính P(A‾∣B), giữ nguyên nhóm B và dùng 1−P(A∣B).

Nhân theo nhánh đã đi qua

Nếu P(A)>0 thì P(A∩B)=P(A)P(B∣A). Trong phép rút không hoàn lại, sau mỗi lượt phải cập nhật tổng số đồ vật và số đồ vật từng loại. Với biến cố gồm nhiều nhánh rời nhau, tính từng nhánh rồi cộng.

Đối chiếu xác suất giao với tích hai xác suất

Hai biến cố độc lập khi P(A∩B)=P(A)P(B). Nếu P(B)>0, điều kiện này tương đương P(A∣B)=P(A). Nếu P(B)=0 thì xác suất có điều kiện theo công thức của bài không xác định.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Đọc bảng theo hai chiều và tìm số liệu cho tính độc lập

Chọn ngẫu nhiên một chi tiết trong bảng kiểm tra. Gọi A là biến cố chi tiết đạt kiểm tra và B là biến cố chi tiết thuộc lô I. (a) Tính P(A∣B) và P(B∣A). (b) Hai biến cố độc lập hay phụ thuộc? (c) Thay số 18 ở ô “Lô II, Đạt” bằng một số nguyên không âm x, giữ ba ô còn lại. Tìm x để A và B độc lập.
Số chi tiết theo lô và kết quả kiểm tra
LôĐạtChưa đạt
I1624
II1842
Mở gợi ý
Ở (a), đổi mẫu số khi đổi chiều điều kiện. Ở (c), đặt xác suất đạt trong lô I bằng xác suất đạt trong lô II, rồi dùng tỉ lệ đạt của cả bảng để kiểm tra chiều đủ.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Trong 40 chi tiết lô I có 16 chi tiết đạt, nên P(A∣B)=16/40=2/5. Trong 34 chi tiết đạt có 16 chi tiết lô I, nên P(B∣A)=16/34=8/17.
(b) Ta có P(A)=34/100=17/50, khác P(A∣B)=2/5. Vì P(B)>0 nên hai biến cố phụ thuộc.
(c) Cả hai lô vẫn có tổng dương. Nếu A và B độc lập thì P(A∣B)=P(A∣B‾). Từ 2/5=x/(x+42) suy ra 5x=2x+84, do đó x=28. Khi đó P(A)=(16+28)/(40+28+42)=44/110=2/5=P(A∣B). Vậy 28 thỏa yêu cầu và là giá trị duy nhất.
  • Dùng tổng hàng lô I là 40 khi điều kiện là B và tổng cột đạt là 34 khi điều kiện là A.
  • Khi kiểm tính độc lập, so sánh P(A∣B) với P(A).
  • Sau khi tìm được x, thế lại vào cả bảng để xác nhận tính độc lập.

Bài 2 · Khôi phục số thẻ và tính xác suất khi biết hai lượt cùng màu

Hộp có 7 thẻ tím và một số thẻ vàng, các thẻ giống nhau về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ lần lượt, không hoàn lại. Biết xác suất cả hai thẻ đều tím là 7/26. (a) Hỏi lúc đầu có bao nhiêu thẻ? (b) Tính xác suất lấy được đúng một thẻ tím. (c) Biết hai thẻ lấy ra cùng màu. Tính xác suất chúng đều tím.
Mở gợi ý
Gọi n là tổng số thẻ ban đầu. Lập phương trình từ tích (7/n)(6/(n−1)). Ở (b), chia thành hai thứ tự. Ở (c), biến cố điều kiện gồm hai trường hợp “cả hai tím” và “cả hai vàng”.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Vì xác suất rút hai thẻ tím là (7/n)(6/(n−1)), ta có n(n−1)=156. Phương trình (n−13)(n+12)=0 cho n=13 do n≥8. Hộp có 6 thẻ vàng.
(b) Hai thứ tự tím–vàng và vàng–tím có cùng xác suất 7⋅6/(13⋅12)=7/26. Tổng xác suất là 7/13.
(c) Gọi T là biến cố cả hai thẻ đều tím và C là biến cố hai thẻ cùng màu. Xác suất lấy hai thẻ vàng là (6/13)(5/12)=5/26, do đó P(C)=7/26+5/26=12/26. Vì T⊂C và P(C)>0, ta có P(T∣C)=P(T)/P(C)=(7/26)/(12/26)=7/12.
  • Chỉ nhận nghiệm nguyên cho số thẻ ban đầu và kiểm còn đủ số thẻ vàng.
  • Tính đủ hai thứ tự khi đề hỏi đúng một thẻ tím.
  • Giá trị 7/12 dùng mẫu số là xác suất hai thẻ cùng màu.

Bài 3 · Cách mở ngăn rỗng ảnh hưởng thế nào đến xác suất?

Có ba ngăn số 1,2,3. Phần thưởng được đặt với xác suất như nhau vào một trong ba ngăn, hai ngăn kia rỗng. Người chơi chọn ngăn 1. Người phụ trách biết vị trí phần thưởng và luôn mở một ngăn rỗng trong hai ngăn còn lại. Nếu cả ngăn 2 và ngăn 3 đều rỗng, người phụ trách mở ngăn 3 với xác suất 1/4. Gọi H là biến cố người phụ trách mở ngăn 3. (a) Tính xác suất của H theo từng vị trí phần thưởng. (b) Biết ngăn 3 đã mở, nên giữ ngăn 1 hay chuyển sang ngăn 2? (c) Nếu quy tắc đổi thành luôn mở ngăn 3 khi có thể, kết luận ở (b) thay đổi thế nào?
Mở gợi ý
Xét ba vị trí phần thưởng. Tính từng xác suất giao bằng công thức nhân. Ba trường hợp giao với việc mở ngăn số 3 đôi một xung khắc, nên cộng để có mẫu số của xác suất có điều kiện.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Gọi Ei là biến cố phần thưởng nằm ở ngăn i. Ta có P(Ei)=1/3 với i=1,2,3. Khi E1 xảy ra có hai ngăn rỗng để mở, nên P(H∣E1)=1/4. Khi E2 xảy ra người phụ trách buộc mở ngăn 3, nên P(H∣E2)=1. Khi E3 xảy ra người phụ trách buộc mở ngăn 2, nên P(H∣E3)=0.
(b) Theo công thức nhân, P(E1∩H)=1/12, P(E2∩H)=1/3 và P(E3∩H)=0. Ba giao này đôi một xung khắc và hợp của chúng là H, do đó P(H)=5/12. Suy ra P(E1∣H)=1/5 và P(E2∣H)=4/5. Chuyển sang ngăn 2 có xác suất thắng cao hơn.
(c) Theo quy tắc mới, xác suất của H khi biết E1 tăng từ 1/4 lên 1. Hai giao E1∩H và E2∩H đều có xác suất 1/3. Vì thế, khi đã thấy ngăn 3 được mở, mỗi lựa chọn còn lại có xác suất thắng 1/2.
  • Khi phần thưởng ở ngăn 3, người phụ trách không thể mở ngăn 3.
  • Sau khi quan sát H, hai xác suất thắng ứng với ngăn 1 và ngăn 2 có tổng bằng 1.
  • Tính lại xác suất của việc mở ngăn số 3 khi đổi quy tắc.