Ước và bội trong tập hợp số nguyên lớp 6

Tính hợp lí và chia hết trong số nguyên · Toán lớp 6

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L6-13-B4

Sau bài này, em có thể:

• Tìm đủ cả ước âm và ước dương; liệt kê bội trong đoạn.
• Dùng đúng chiều “a chia hết cho d”, “d là ước của a”.
• Kiểm riêng vai trò của $0$ và các điều kiện đồng thời.

1. Bắt đầu từ tình huống và kiến thức đã biết

Từ $12=3\times4$, em nhận ra $3$ là ước và $12$ là bội. Vì $12=(-3)(-4)$, liệu $-3$ có phải một ước nữa không?

Trong bài này, $d$ là ước nguyên của $a$ khi $d\ne0$ và có số nguyên $q$ để $a=dq$. Khi ấy $a$ là bội của $d$. Với số nguyên $b$, các bội của $b$ có dạng $bk$ với $k$ nguyên; hệ số được bằng $0$. Không dùng $0$ làm số chia.

2. Tám ví dụ cốt lõi: dự đoán, tìm lý do, tự kiểm

Ví dụ 1. Từ một phép nhân đến hai ước trái dấu

Cốt lõi

Em thử trước:

Biết $12=3\times4$, hãy giải thích vì sao $3$ và $-3$ đều là ước nguyên của $12$.

Bắt đầu từ đâu?

Mỗi ước cần một thương nguyên và phải khác $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$12=(-3)\times(-4)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $3\ne0$ và $12=3\times4$ với thương $4$ nguyên, nên $3$ là ước nguyên của $12$.

2. $-3\ne0$ và $12=(-3)\times(-4)$ với thương $-4$ nguyên, nên $-3$ cũng là ước nguyên của $12$.

Tự kiểm

$12:3=4$ và $12:(-3)=-4$; không chỉ lấy ước dương như trong tập số tự nhiên.

Ví dụ 2. Liệt kê đủ ước của số âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê tất cả ước nguyên của $-10$. Em bắt đầu từ độ lớn nào?

Bắt đầu từ đâu?

Tìm ước dương của $10$, rồi thêm số đối của từng ước.

Gợi ý để em tự tìm

Các cặp nhân dương $1\times10$, $2\times5$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Ước dương của độ lớn $10$ là $1;2;5;10$. Một ước của $-10$ có độ lớn không quá $10$, nên không có độ lớn khác ngoài những ước ấy.

2. Thêm các số đối, được tất cả ước nguyên: $-10;-5;-2;-1;1;2;5;10$.

Tự kiểm

$(-10):(-5)=2$, $(-10):5=-2$ minh họa cả hai dấu; không lấy $0$ làm ước.

Ví dụ 3. Bội trong một đoạn

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê các bội nguyên của $4$ từ $-9$ đến $9$, kể cả hai đầu.

Bắt đầu từ đâu?

Bội có dạng $4k$ với $k$ nguyên; tìm các giá trị $k$ vừa đủ.

Gợi ý để em tự tìm

$4(-3)=-12$ ở dưới đoạn, $4(3)=12$ ở trên đoạn.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Vì $4(-3)=-12<-9$ và $4(3)=12>9$, chỉ cần $k=-2;-1;0;1;2$.

2. Nhân lần lượt cho các bội $-8;-4;0;4;8$. Đây là toàn bộ các bội trong đoạn.

Tự kiểm

Bội liền trước $-8$ là $-12$ và liền sau $8$ là $12$, đều ngoài đoạn; $0=4\times0$ được nhận.

Ví dụ 4. Thương nguyên khi cả hai số âm

Cốt lõi

Em thử trước:

$-21$ có chia hết cho $-7$ trong số nguyên không? Ghi thương và quan hệ ước, bội.

Bắt đầu từ đâu?

Dùng phép nhân ngược với số chia khác $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$(-7)\times3=-21$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $-7\ne0$ và $-21=(-7)\times3$, nên $(-21):(-7)=3$ là thương nguyên.

2. Vậy $-21$ chia hết cho $-7$; $-7$ là ước của $-21$ và $-21$ là bội của $-7$.

Tự kiểm

Chiều câu phải đúng: số bị chia $-21$ chia hết cho ước $-7$, không nói ngược “ước chia hết số bị chia”.

Điều cần nhớ sau bốn ví dụ

Với $a\ne0$, tìm các ước dương của độ lớn $a$, rồi thêm các số đối để có đủ ước nguyên. Mỗi độ lớn ước không vượt độ lớn của $a$, vì thương khác $0$ có độ lớn ít nhất $1$.

Bội nguyên của $b$ có dạng $bk$; để liệt kê trong một đoạn, kiểm các hệ số cần thiết và hai bội sát ngoài đoạn. Với $b\ne0$, $0$ là bội của $b$, mọi số nguyên khác $0$ là ước của $0$, nhưng $0$ không được làm ước theo quy ước số chia trong bài.

Ví dụ 5. Bội không và hai ước đặc biệt

Cốt lõi

Em thử trước:

Giải thích vì sao $0$ là bội của $-6$ và vì sao $1;-1$ là ước nguyên của mọi số nguyên $a$.

Bắt đầu từ đâu?

Viết đẳng thức dạng “số bị chia = ước nhân thương”.

Gợi ý để em tự tìm

$0=(-6)\times0$; $a=1\times a=(-1)(-a)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $0=(-6)\times0$, nên $0$ là bội của $-6$; số chia $-6\ne0$.

2. Với mọi số nguyên $a$, $a=1\times a$ và $a=(-1)\times(-a)$. Hai số $1;-1$ khác $0$, nên đều là ước nguyên của $a$, kể cả khi $a=0$.

Tự kiểm

Ví dụ $a=-5$: $(-5):1=-5$, $(-5):(-1)=5$. Vai trò ước và bội khác nhau.

Ví dụ 6. Không là ước dù không là số không

Cốt lõi

Em thử trước:

Trong $-4;0;5;6$, những số nào là ước nguyên của $12$? Vì sao phải kiểm hai điều kiện?

Bắt đầu từ đâu?

Kiểm khác $0$, rồi xem có thương nguyên không.

Gợi ý để em tự tìm

$12:(-4)=-3$; $12:6=2$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. $-4$ và $6$ là ước vì $12=(-4)(-3)=6\times2$.

2. $0$ không được làm số chia; $5\ne0$ nhưng không là ước vì $5\times2=10<12<15=5\times3$.

3. Vậy chỉ nhận $-4$ và $6$.

Tự kiểm

Một số khác $0$ chưa chắc là ước; số $5$ minh họa việc thiếu thương nguyên.

Ví dụ 7. Số không có những ước nào?

Cốt lõi

Em thử trước:

Mọi số nguyên khác $0$ có là ước của $0$ không? Có được thêm $0$ vào danh sách ước ấy không?

Bắt đầu từ đâu?

Với số chia $d\ne0$, thử thương $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$d\times0=0$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với mọi số nguyên $d\ne0$, $0=d\times0$ và thương $0$ là số nguyên. Vì vậy mọi số nguyên khác $0$ đều là ước của $0$.

2. Không thêm $d=0$, vì định nghĩa ước trong bài yêu cầu số chia khác $0$; $0:0$ không xác định.

Tự kiểm

Có vô số ước khác $0$ của $0$, chẳng hạn $-100;1;27$; điều đó không mâu thuẫn với việc $0$ chỉ là một giá trị số bị chia.

Ví dụ 8. Bội của một số âm

Cốt lõi

Em thử trước:

Liệt kê các bội của $-3$ trong đoạn $-8\le x\le8$. Bội có bắt buộc âm không?

Bắt đầu từ đâu?

Cho hệ số nguyên cả dương, âm và $0$.

Gợi ý để em tự tìm

$(-3)(-2)=6$ và $(-3)2=-6$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Với hệ số $k=-2;-1;0;1;2$, tích $(-3)k$ lần lượt $6;3;0;-3;-6$. Các hệ số có độ lớn từ $3$ trở lên cho tích có độ lớn ít nhất $9$, ngoài đoạn.

2. Sắp theo thứ tự tăng: $-6;-3;0;3;6$. Bội của số âm có thể dương, âm hoặc bằng $0$.

Tự kiểm

Mỗi số đều viết được thành $-3$ nhân một số nguyên; dấu của hệ số quyết định dấu của bội.

3. Hai ví dụ mở rộng — tự chọn

Học phần này khi em đã hiểu cách nghĩ trong các ví dụ cốt lõi; có thể để dành cho lượt sau.

Ví dụ 9. Đồng thời là ước và bội

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Tìm các số nguyên $x$ vừa là ước của $18$, vừa là bội của $-3$, lại nằm trong đoạn $-10\le x\le10$.

Bắt đầu từ đâu?

Liệt kê bội trong đoạn trước rồi kiểm ước.

Gợi ý để em tự tìm

Các bội ứng viên là $-9;-6;-3;0;3;6;9$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Bội của $-3$ trong đoạn là $-9;-6;-3;0;3;6;9$. Số $0$ bị loại khỏi vai trò ước.

2. Cả sáu số còn lại là ước của $18$: các thương theo thứ tự là $-2;-3;-6;6;3;2$.

3. Vậy $x\in\{-9;-6;-3;3;6;9\}$.

Tự kiểm

Các phép $18:(-9)=-2$, $18:(-6)=-3$, $18:(-3)=-6$ và ba thương dương tương ứng kiểm đủ; $0$ chỉ thỏa điều kiện bội.

Ví dụ 10. Số đối có cùng tập bội

Mở rộng · tự chọn

Em thử trước:

Với số nguyên $a\ne0$, chứng minh các bội nguyên của $a$ và $-a$ là cùng một tập hợp. Có phải chỉ cần kiểm vài ví dụ không?

Bắt đầu từ đâu?

Một bội $ak$ cần viết lại thành $(-a)$ nhân số nguyên khác.

Gợi ý để em tự tìm

$ak=(-a)(-k)$.

Lời giải và cách tự kiểm

1. Nếu $x$ là bội của $a$, có $k$ nguyên sao cho $x=ak$. Khi đó $x=(-a)(-k)$ với $-k$ nguyên, nên cũng là bội của $-a$.

2. Ngược lại, nếu $x=(-a)h$ với $h$ nguyên thì $x=a(-h)$, nên là bội của $a$.

3. Hai chiều đều đúng cho mọi bội, vì vậy hai tập bội bằng nhau; vài ví dụ riêng không đủ thay cho hai chiều này.

Tự kiểm

$k=0$ vẫn hợp lệ và cho bội $0$; hệ số đổi dấu không làm mất trường hợp này.

4. Những lỗi cần tránh

5. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ dữ kiện và yêu cầu của bốn nhiệm vụ trên phiếu. Bài 5–10 củng cố và vận dụng; bài 11–12 là phần mở rộng tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cốt lõi

Liệt kê tất cả các ước nguyên của $8$.

Gợi ý bài 1

Tìm ước dương của độ lớn $8$ rồi thêm các số đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $8=1\times8=2\times4$, nên các ước dương $1;2;4;8$.

2. Tất cả ước nguyên là $-8;-4;-2;-1;1;2;4;8$; không có $0$ vì không chia cho $0$.

Tự kiểm

Mỗi cặp đối cho hai thương trái dấu; không còn độ lớn nào khác là ước của $8$.

Bài 2

Cốt lõi

Liệt kê các bội nguyên của $5$ nằm từ $-12$ đến $12$.

Gợi ý bài 2

Tìm các tích $5k$ trong đoạn và kiểm hai bội liền ngoài.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $5(-3)=-15<-12$ và $5(3)=15>12$, nên chỉ cần $k=-2;-1;0;1;2$.

2. Các bội là $-10;-5;0;5;10$.

Tự kiểm

$-15$ và $15$ là hai bội kế tiếp đều ngoài đoạn; $0=5\times0$ được nhận.

Bài 3

Cốt lõi

$-18$ có chia hết cho $-3$ trong $\mathbb Z$ không? Ghi thương.

Gợi ý bài 3

Kiểm số chia khác $0$ và tìm thương qua nhân.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $-3\ne0$ và $(-3)\times6=-18$.

2. Vì thương $6$ là số nguyên, $-18$ chia hết cho $-3$ trong $\mathbb Z$ và $(-18):(-3)=6$.

Tự kiểm

Thương dương vì hai số cùng âm; phép nhân ngược trả đúng $-18$.

Bài 4

Cốt lõi

Bạn nói $0$ không là bội của $-4$ vì bội phải dương. Dùng định nghĩa bội trong $\mathbb Z$ để sửa.

Gợi ý bài 4

Hệ số nguyên trong định nghĩa được phép bằng $0$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $0=(-4)\times0$ với hệ số $0$ nguyên, nên $0$ là bội của $-4$.

2. Bội nguyên không bắt buộc dương: $(-4)\times1=-4$, $(-4)\times(-1)=4$, và $(-4)\times0=0$.

Tự kiểm

$-4$ vẫn khác $0$ khi làm số chia; việc nhận bội $0$ không cho phép chia cho $0$.

Bài 5

Cốt lõi

Liệt kê tất cả ước nguyên của $-9$.

Gợi ý bài 5

Tìm độ lớn $1;3;9$ và các số đối.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. Các ước dương của độ lớn $9$ là $1;3;9$, từ $1\times9$ và $3\times3$.

2. Ước nguyên của $-9$ là $-9;-3;-1;1;3;9$.

Tự kiểm

$(-9):(-3)=3$, $(-9):3=-3$; mỗi độ lớn tạo đủ hai dấu.

Bài 6

Cốt lõi

Liệt kê các bội của $-4$ từ $-10$ đến $10$.

Gợi ý bài 6

Độ lớn bội tiếp theo sau $8$ là $12$, ngoài đoạn.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. Với hệ số $-2;-1;0;1;2$, tích của $-4$ lần lượt $8;4;0;-4;-8$.

2. Sắp tăng được $-8;-4;0;4;8$. Hệ số có độ lớn từ $3$ cho độ lớn tích ít nhất $12$, nên không còn bội nào trong đoạn.

Tự kiểm

Đây cũng là các bội của $4$ trong đoạn; dấu âm ở số gốc không bắt các bội đều âm.

Bài 7

Cốt lõi

Trong $-5;0;4;10$, chọn các ước nguyên của $20$ và ghi thương.

Gợi ý bài 7

Không chấp nhận $0$ làm ước; kiểm từng phép nhân.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $20=(-5)(-4)=4\times5=10\times2$, nên $-5;4;10$ là các ước, thương lần lượt $-4;5;2$.

2. $0$ không là ước vì phép chia $20:0$ không xác định.

Tự kiểm

Ba thương đều nguyên và ba số chia đều khác $0$.

Bài 8

Cốt lõi

$-7$ có là bội của $14$ trong số nguyên không?

Gợi ý bài 8

Bội có dạng $14k$; hệ số phải nguyên.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Nếu $k=0$ thì bội $0$. Nếu $k\ne0$ thì độ lớn $14k$ ít nhất $14$.

2. Số $-7$ khác $0$ và có độ lớn $7<14$, nên không bằng $14k$ với số nguyên $k$. Vậy không là bội của $14$.

Tự kiểm

$-14$ là bội nhưng $-7$ không phải; không phải mọi số âm đều là bội của một số dương.

Bài 9

Cốt lõi

Tìm các ước nguyên dương của $-16$ rồi tính các thương tương ứng.

Gợi ý bài 9

Độ lớn $16$ có các ước dương nào?

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. Các ước nguyên dương của $-16$ là $1;2;4;8;16$, từ các ước dương của $16$.

2. Thương $(-16):d$ theo thứ tự là $-16;-8;-4;-2;-1$.

Tự kiểm

Mỗi tích $1(-16),2(-8),4(-4),8(-2),16(-1)$ bằng $-16$.

Bài 10

Cốt lõi

Bạn ghi $0$ là ước của $6$ vì $0$ là bội của $6$. Chỉ ra hai vai trò bị nhầm.

Gợi ý bài 10

Quan hệ bội không đối xứng thành quan hệ ước theo cùng chiều.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $0=6\times0$ cho biết $0$ là bội của $6$, đồng thời $6$ là ước của $0$.

2. Không suy ra $0$ là ước của $6$; $6:0$ không xác định. Bạn đã đảo sai vai trò số chia và số bị chia.

Tự kiểm

Trong đẳng thức $0=6\times0$, số chia dùng để kiểm ước là $6$, không phải $0$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện; lời giải hướng dẫn từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 11

Mở rộng · tự chọn

Tìm các số nguyên $d$ thỏa $-7<d<7$ để $(-24):d$ là số nguyên âm.

Gợi ý bài 11

Thương âm với số bị chia âm buộc $d$ dương.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $d$ phải dương và khác $0$, nên chỉ xét $1;2;3;4;5;6$.

2. Trong đó $1;2;3;4;6$ là các ước của độ lớn $24$, cho thương $-24;-12;-8;-6;-4$. Số $5$ không là ước.

3. Vậy $d\in\{1;2;3;4;6\}$.

Tự kiểm

$5\times4=20<24<25=5\times5$ loại $5$; các ứng viên âm cho thương dương nên không đạt.

Bài 12

Mở rộng · tự chọn

Tìm mọi số nguyên khác $0$ là ước chung của $12$ và $13$. Giải thích vì sao không cần thử vô hạn số.

Gợi ý bài 12

Lấy hiệu hai biểu thức chia hết để tạo số $1$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Nếu $d\ne0$ là ước chung, viết $12=du$, $13=dv$ với $u,v$ nguyên. Trừ hai đẳng thức cho $1=d(v-u)$.

2. Vì tích bằng $1$, độ lớn của $d$ không thể từ $2$ trở lên; do đó $d=1$ hoặc $d=-1$.

3. Cả $12$ và $13$ đều chia hết cho $1$ và $-1$, nên cả hai ứng viên đều là ước chung. Vậy chỉ có $d=1$ hoặc $d=-1$.

Tự kiểm

$12:1=12$, $13:1=13$, $12:(-1)=-12$, $13:(-1)=-13$ kiểm chiều đủ.

6. Tự kiểm sau khi học

Dùng các phép tính số nguyên để kiểm sổ thu chi mô phỏng: phân biệt tiền thu, chi, kết quả ròng và số dư.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

7. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Tính hợp lí và chia hết trong số nguyên. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.