Biểu diễn số thực trên trục số: trường hợp đơn giản lớp 7

Thứ tự, số đối và giá trị tuyệt đối · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-08-B1

Sau bài này, em có thể:

• Đặt số thực thuận lợi trên trục.
• Dùng bình phương để kẹp vị trí căn.
• Phân biệt điểm được cho chính xác và vị trí phác gần đúng.

1. Kiến thức và phương pháp

Mỗi số thực tương ứng một điểm trên trục số. Các cách viết bằng nhau chỉ cùng một điểm. Căn chính phương tính được chính xác, còn căn khác có thể được kẹp bằng các bình phương.

Hình dưới cho $M$ biểu diễn $\sqrt2$. Nhãn là dữ kiện; độ dài trên màn hình không phải thước đo giá trị căn.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Căn chính phương ở vạch nguyên

Cơ bản

Đề bài

Đặt $A(\sqrt9)$ trên một trục số đã có vạch nguyên.

Nghĩ từ đâu?

Tính căn chính xác trước khi chọn vạch.

Lời giải từng bước

1. $\sqrt9=3$.

2. Điểm $A$ đặt tại vạch $3$ ở bên phải gốc.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

$3\ge0$ và $3^2=9$, nên tọa độ đặt đúng.

Ví dụ 2. Dấu trừ ngoài căn

Cơ bản

Đề bài

Đặt $B(-\sqrt4)$ trên trục số.

Nghĩ từ đâu?

Tính căn không âm rồi mới áp dấu trừ ngoài.

Lời giải từng bước

1. $\sqrt4=2$, do đó $-\sqrt4=-2$.

2. Điểm $B$ ở vạch $-2$, cách gốc hai đơn vị về trái.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không viết $\sqrt4=-2$; dấu âm thuộc toàn biểu thức ở ngoài căn.

Ví dụ 3. Phân số và thập phân cùng vị trí

Cơ bản

Đề bài

Đặt $C\left(-\dfrac32\right)$ rồi mô tả vị trí bằng số thập phân.

Nghĩ từ đâu?

Đổi phân số về số thập phân chính xác và giữ đơn vị trục.

Lời giải từng bước

1. $-\dfrac32=-1{,}5$.

2. $C$ nằm giữa $-2$ và $-1$, cách mỗi vạch nửa đơn vị.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hai cách viết cùng một điểm, không phải hai điểm gần nhau.

Ví dụ 4. Đọc điểm căn đã được cho

Cơ bản

Đề bài

Trên hình, $M$ biểu diễn $\sqrt2$. Nó ở đâu so với các vạch $1,2$ và gốc $O$?

Nghĩ từ đâu?

Dùng bình phương để kiểm vị trí, không đo khoảng cách bằng pixel.

Lời giải từng bước

1. $1^2<2<2^2$ nên $1<\sqrt2<2$.

2. Vì vậy $M$ nằm giữa vạch $1,2$ và bên phải $O$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Vị trí hình chỉ minh họa kết luận theo dữ kiện $M(\sqrt2)$; không cho căn bằng một số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 5. Phác vị trí gần đúng có giới hạn

Cơ bản

Đề bài

Phác vị trí $N(\sqrt3)$ trên trục chia theo phần mười.

Nghĩ từ đâu?

Tìm hai vạch phần mười kẹp căn rồi chỉ phác trong khoảng ấy.

Lời giải từng bước

1. $1{,}7^2=2{,}89<3<3{,}24=1{,}8^2$, nên $1{,}7<\sqrt3<1{,}8$.

2. Phác $N$ giữa hai vạch ấy; nếu dùng máy, có thể phác gần $1{,}73$ nhưng phải ghi đó là vị trí gần đúng.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không biến số đo hình phác thành đẳng thức $\sqrt3=1{,}73$.

Ví dụ 6. Điểm số đối của căn

Cơ bản

Đề bài

Biết điểm $M(\sqrt2)$ trên trục. Mô tả điểm biểu diễn $-\sqrt2$.

Nghĩ từ đâu?

Hai số đối cách gốc bằng nhau và nằm ở hai phía.

Lời giải từng bước

1. Lấy điểm ở phía trái $O$ sao cho khoảng cách đến $O$ bằng $OM$.

2. Điểm ấy có tọa độ $-\sqrt2$ và nằm giữa $-2,-1$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Tổng hai tọa độ $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$.

Ví dụ 7. Tìm đủ vạch nguyên trong khoảng có căn

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Liệt kê mọi số nguyên $n$ sao cho $-\sqrt5<n<\sqrt5$.

Nghĩ từ đâu?

Kẹp $\sqrt5$ giữa $2$ và $3$ rồi kiểm các số nguyên gần biên.

Lời giải từng bước

1. $2<\sqrt5<3$, nên các số $-2,-1,0,1,2$ đều nằm trong khoảng.

2. Các số nguyên không nhỏ hơn $3$ hoặc không lớn hơn $-3$ nằm ngoài; vậy danh sách trên là đầy đủ.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không lấy $\pm3$; $\pm2$ được lấy vì $2<\sqrt5$.

Ví dụ 8. Tịnh tiến vị trí đã biết

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Biết $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$. Điểm $P(1+\sqrt2)$ nằm giữa những vạch phần mười nào?

Nghĩ từ đâu?

Cộng cùng số $1$ vào hai đầu và số ở giữa.

Lời giải từng bước

1. Cộng $1$ được $2{,}4<1+\sqrt2<2{,}5$.

2. Vậy $P$ ở giữa các vạch $2{,}4$ và $2{,}5$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Đây vẫn là khoảng vị trí, không xác nhận tọa độ bằng một đầu khoảng.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Trên hình, $M$ biểu diễn $\sqrt2$. $M$ nằm giữa hai vạch nguyên nào và ở bên nào của $0$?

Gợi ý bài 1

Dùng $1^2<2<2^2$ để đọc vị trí có căn cứ.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $1<\sqrt2<2$.

2. $M$ nằm giữa $1$ và $2$, ở bên phải $0$.

Tự kiểm

Không đo hình để cho số thập phân chính xác.

Bài 2

Cơ bản

Vẽ trên giấy riêng trục số với đơn vị tự chọn. Đặt $A\left(-\dfrac32\right),B(\sqrt4)$, rồi ghi thứ tự $A,O,B$ từ trái sang phải.

Gợi ý bài 2

Tính hai tọa độ quen thuộc rồi dùng cùng một đơn vị cho cả hai điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $-\dfrac32=-1{,}5$ ở trái $O$; $\sqrt4=2$ ở phải $O$.

2. Vẽ vạch chia theo cùng đơn vị rồi đặt điểm; thứ tự là $A,O,B$.

Tự kiểm

$-1{,}5<0<2$; không thay đơn vị riêng cho từng phía trục.

Bài 3

Cơ bản

Không dùng hình để đo, đặt $\sqrt9$ và $-\sqrt4$ tại các vạch nguyên thích hợp.

Gợi ý bài 3

Tính căn rồi áp dấu trừ ngoài nếu có.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $\sqrt9=3$ nên đặt tại vạch $3$.

2. $-\sqrt4=-2$ nên đặt tại vạch $-2$.

Tự kiểm

Giá trị căn tự nó không âm; biểu thức có dấu trừ ngoài căn có thể âm.

Bài 4

Cơ bản

Bạn đo điểm $M$ trên ảnh rồi khẳng định $\sqrt2=1{,}4$. Vì sao dữ kiện hình không cho đẳng thức này?

Gợi ý bài 4

Kiểm số được nêu bằng bình phương và phân biệt hình minh họa với giá trị chính xác.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. $1{,}4^2=1{,}96\ne2$, nên $1{,}4$ không là căn chính xác.

2. Ảnh chỉ minh họa vị trí và có thể bị thu phóng. Có thể viết $\sqrt2\approx1{,}4$ khi làm tròn phần mười, không ghi dấu bằng.

Tự kiểm

Dữ kiện nhãn $M(\sqrt2)$ chính xác; đo kích thước ảnh không tạo thêm độ chính xác.

Bài 5

Cơ bản

Đặt $A(-\sqrt9)$ và $B(\sqrt{16})$ trên trục số, rồi tính khoảng cách $AB$.

Gợi ý bài 5

Tính tọa độ chính xác; gốc nằm giữa hai điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $A$ có tọa độ $-3$, $B$ có tọa độ $4$.

2. $AB=3+4=7$ đơn vị.

Tự kiểm

Lấy tọa độ bên phải trừ bên trái: $4-(-3)=7$.

Bài 6

Cơ bản

Phác điểm $P(\sqrt5)$ giữa hai vạch nguyên mà không dùng máy.

Gợi ý bài 6

Dùng $2^2$ và $3^2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $4<5<9$ nên $2<\sqrt5<3$.

2. Phác $P$ bên phải gốc trong khoảng giữa $2,3$, không khẳng định một tọa độ hữu hạn chính xác.

Tự kiểm

Nếu cần vị trí hẹp hơn phải bổ sung ước lượng hoặc dựng hình thích hợp.

Bài 7

Cơ bản

Trên cùng trục, hai điểm $A(1{,}25)$ và $B\left(\dfrac54\right)$ có trùng nhau không?

Gợi ý bài 7

Đổi thập phân sang phân số.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $1{,}25=\dfrac{125}{100}=\dfrac54$.

2. Hai tọa độ bằng nhau nên hai điểm trùng nhau.

Tự kiểm

Cách viết khác không tạo hai vị trí khác nhau.

Bài 8

Cơ bản

Điểm $Q(-\sqrt3)$ nằm giữa những vạch nguyên nào?

Gợi ý bài 8

Từ khoảng của $\sqrt3$ đổi dấu và đảo thứ tự.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $1<\sqrt3<2$.

2. Đổi dấu được $-2<-\sqrt3<-1$, nên $Q$ nằm giữa $-2,-1$.

Tự kiểm

Điểm âm phải nằm bên trái $O$.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

Liệt kê mọi số nguyên $n$ thỏa $-\sqrt{10}<n<\sqrt{10}$.

Gợi ý bài 9

Kẹp căn giữa hai số nguyên liên tiếp.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $3^2<10<4^2$ nên $3<\sqrt{10}<4$.

2. Các số nguyên cần tìm là $-3,-2,-1,0,1,2,3$; $\pm4$ nằm ngoài nên không còn giá trị khác.

Tự kiểm

$\pm3$ được lấy vì căn lớn hơn $3$; hai đầu căn không nguyên.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

Chứng minh điểm $M(\sqrt2)$ nằm giữa hai vạch $1{,}4$ và $1{,}5$.

Gợi ý bài 10

So bình phương các biên dương với $2$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$.

2. Vì vậy $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$.

Tự kiểm

Không cần đo ảnh; khoảng được chứng minh từ các số chính xác.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

Điểm $M(\sqrt2)$ gần vạch $1$ hơn hay gần vạch $2$ hơn? Chứng minh.

Gợi ý bài 11

So với trung điểm $1{,}5$ hoặc so hai khoảng cách.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $1<\sqrt2<1{,}5$ vì $2<1{,}5^2$. Khoảng cách đến $1$ là $\sqrt2-1$, đến $2$ là $2-\sqrt2$.

2. Từ $2\sqrt2<3$, suy ra $\sqrt2-1<2-\sqrt2$. Vậy $M$ gần vạch $1$ hơn.

Tự kiểm

Kết luận về gần hơn chỉ cần so trung điểm; không cần biết đầy đủ chữ số căn.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Có được xác định chính xác điểm $\sqrt7$ chỉ bằng cách lấy vạch $2{,}6$ trên trục phần mười không?

Gợi ý bài 12

Kiểm bình phương số ở vạch ấy.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. $2{,}6^2=6{,}76\ne7$, nên vạch $2{,}6$ không biểu diễn chính xác $\sqrt7$.

2. Có thể dùng nó làm một mốc ước lượng; chẳng hạn $2{,}6<\sqrt7<2{,}7$ vì $6{,}76<7<7{,}29$.

Tự kiểm

Ghi khoảng hoặc gần đúng thay cho đẳng thức không có căn cứ.

5. Tự kiểm sau khi học

Khi phác vị trí một căn, ghi thêm bất đẳng thức đã dùng để xác nhận khoảng.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Thứ tự, số đối và giá trị tuyệt đối. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.