Vì sao ba trung trực của tam giác đồng quy? – lớp 7

Trung trực tam giác và điểm cách đều ba đỉnh · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-40-B2

Sau bài này, em có thể:

• Nhận và vận dụng đúng tính chất trung trực và điểm cách đều đỉnh.
• Kiểm giả thiết, vị trí và phân biệt các tâm của tam giác.

1. Kiến thức và phương pháp

Nếu $O$ thuộc trung trực $AB,AC$, ta có $OA=OB$ và $OA=OC$. Suy ra $OB=OC$, nên $O$ thuộc trung trực $BC$. Ba trung trực của một tam giác không suy biến do đó đồng quy tại điểm cách đều ba đỉnh.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. Nối hai đẳng thức qua cùng một độ dài

Cơ bản

Đề bài

$O$ thuộc trung trực $AB$ và $AC$. Chứng minh $O$ thuộc trung trực $BC$.

Nghĩ từ đâu?

Từ mỗi trung trực lấy một đẳng thức, rồi dùng tính chất đảo.

Lời giải từng bước

1. Trung trực $AB$ cho $OA=OB$; trung trực $AC$ cho $OA=OC$.

2. Suy ra $OB=OC$. Theo tính chất đảo, $O$ thuộc trung trực $BC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Cả hai đẳng thức cùng nói về điểm $O$ và dùng chung $OA$.

Ví dụ 2. Tính bán kính chung

Cơ bản

Đề bài

$O$ là giao trung trực $AB,AC$, $OB=6$ cm. Tính $OA,OC$.

Nghĩ từ đâu?

Xác định ba độ dài bằng nhau trước khi thay số.

Lời giải từng bước

1. $OA=OB$ và $OA=OC$, nên $OA=OB=OC$.

2. Vì $OB=6$ cm, hai độ dài còn lại đều bằng $6$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không cần đo hình để tìm thêm độ dài.

Ví dụ 3. Một trung trực chưa đủ

Vận dụng

Đề bài

$O$ thuộc trung trực $AB$. Có đủ kết luận $O$ thuộc trung trực $AC$ không?

Nghĩ từ đâu?

Đọc xem dữ kiện có nói gì về $C$.

Lời giải từng bước

1. Từ trung trực $AB$ chỉ có $OA=OB$.

2. Chưa có $OA=OC$, nên chưa đủ kết luận về trung trực $AC$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không nối thêm một đẳng thức chưa được cho hoặc chứng minh.

Ví dụ 4. Đổi cặp cạnh vẫn nối được

Vận dụng

Đề bài

$P$ thuộc trung trực $AB$ và $BC$. Chứng minh $PA=PC$.

Nghĩ từ đâu?

Khoảng cách chung bây giờ là $PB$.

Lời giải từng bước

1. $PA=PB$ từ trung trực $AB$; $PB=PC$ từ trung trực $BC$.

2. Suy ra $PA=PC$ theo tính bắc cầu.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Từ đó còn có thể nhận $P$ thuộc trung trực $AC$.

Ví dụ 5. Đồng quy không đòi tam giác cân

Vận dụng

Đề bài

Ba trung trực của tam giác không cân có đồng quy không?

Nghĩ từ đâu?

Phân biệt định lý tổng quát với hình minh họa đặc biệt.

Lời giải từng bước

1. Hai trung trực gặp tại điểm cách đều ba đỉnh theo các đẳng thức khoảng cách.

2. Điểm ấy thuộc trung trực thứ ba, nên ba đường đồng quy cho mọi tam giác không suy biến, không cần cân.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Hình nguồn chỉ minh họa một dạng tam giác, không giới hạn định lý.

Ví dụ 6. Kiểm ba độ dài

Vận dụng

Đề bài

Bạn đề xuất $O$ là giao ba trung trực nhưng ghi $OA=5$ cm, $OB=5$ cm, $OC=7$ cm. Có phù hợp không?

Nghĩ từ đâu?

Giao ba trung trực phải cách đều cả ba đỉnh.

Lời giải từng bước

1. $OA=OB$ phù hợp một trung trực, nhưng $OC\ne OA$.

2. Vì vậy bộ dữ kiện chính xác không phù hợp $O$ là giao cả ba trung trực; cần kiểm lại cách dựng hoặc số đo.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chỉ kiểm hai trong ba khoảng cách.

Ví dụ 7. Điểm cách đều ba đỉnh là duy nhất

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

Hai điểm $O,P$ đều thỏa $OA=OB=OC$ và $PA=PB=PC$ trong tam giác $ABC$. Chứng minh $O=P$.

Nghĩ từ đâu?

Dùng tính chất đảo để đưa cả hai điểm lên cùng hai đường trung trực.

Lời giải từng bước

1. Cả $O,P$ đều thuộc trung trực $AB$ và trung trực $AC$.

2. Hai trung trực ấy phân biệt và cắt nhau vì $AB,AC$ là hai cạnh không thẳng hàng. Hai đường phân biệt chỉ có một giao điểm, nên $O=P$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Giả thiết tam giác không suy biến loại trường hợp $A,B,C$ thẳng hàng.

Ví dụ 8. Kiểm hai điều kiện chứa chữ

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$O$ là giao ba trung trực; $OA=(2x+1)$ cm, $OB=(x+5)$ cm, $OC=(3x-3)$ cm. Tìm $x$.

Nghĩ từ đâu?

Giải một cặp đẳng thức rồi kiểm cặp còn lại.

Lời giải từng bước

1. $2x+1=x+5$ cho $x=4$.

2. Với $x=4$, ba độ dài lần lượt bằng $9,9,9$ cm, đều dương; vì thế ứng viên thỏa cả hai đẳng thức.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không chỉ giải $OA=OB$ rồi bỏ kiểm $OC$; ở đây $3\cdot4-3=9$.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Dùng các đẳng thức khoảng cách giải thích vì sao giao trung trực $AB,AC$ cũng thuộc trung trực $BC$.

Gợi ý bài 1

Lấy chung độ dài $OA$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $OA=OB$ và $OA=OC$ từ hai trung trực.

2. Suy ra $OB=OC$; theo tính chất đảo trung trực, $O$ thuộc trung trực $BC$.

Tự kiểm

Chỉ dùng tính cách đều hai đầu đoạn và tính bắc cầu.

Bài 2

Cơ bản

Trong hình, ba độ dài $OA,OB,OC$ có quan hệ gì?

Gợi ý bài 2

Điểm $O$ là giao các trung trực.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. Từ trung trực $AB$ có $OA=OB$; từ trung trực $AC$ có $OA=OC$.

2. Vậy $OA=OB=OC$.

Tự kiểm

Không đổi thành ba khoảng cách tới cạnh.

Bài 3

Cơ bản

Nếu $O$ chỉ nằm trên trung trực $AB$, có đủ để $OA=OC$ không?

Gợi ý bài 3

Xác định dữ kiện còn thiếu về $C$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. Chỉ có $OA=OB$ được bảo đảm.

2. Cần thêm điều kiện như $O$ thuộc trung trực $AC$ để có $OA=OC$; vì vậy dữ kiện ban đầu chưa đủ.

Tự kiểm

Không tự thêm đẳng thức về điểm thứ ba.

Bài 4

Cơ bản

Tính chất đồng quy của trung trực có đòi tam giác phải cân không?

Gợi ý bài 4

Đọc phạm vi định lý.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Tính chất đúng cho mọi tam giác không suy biến.

2. Chứng minh chỉ dùng hai trung trực và các đẳng thức khoảng cách, không dùng điều kiện cân.

Tự kiểm

Hình đặc biệt không thu hẹp phạm vi của định lý.

Bài 5

Vận dụng

$O$ thuộc trung trực $BC,CA$. Chứng minh $OB=OA$.

Gợi ý bài 5

Nối hai đẳng thức qua $OC$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $OB=OC$ và $OC=OA$.

2. Suy ra $OB=OA$; $O$ cũng thuộc trung trực $AB$.

Tự kiểm

Giữ cùng một điểm $O$ trong cả hai đẳng thức.

Bài 6

Vận dụng

$O$ là giao hai trung trực của $ABC$, $OC=4{,}5$ cm. Tính $OA,OB$.

Gợi ý bài 6

Giao ấy cách đều ba đỉnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $OA=OB=OC$ theo tính chất trung trực.

2. $OA=OB=4{,}5$ cm.

Tự kiểm

Các độ dài đều là từ $O$ đến đỉnh, không phải tới cạnh.

Bài 7

Vận dụng

Điểm $K$ chỉ được biết $KA=KC$. Có đủ $KB=KC$ không?

Gợi ý bài 7

Một cặp bằng nhau chỉ liên quan hai đỉnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $KA=KC$ cho $K$ thuộc trung trực $AC$.

2. Chưa có điều kiện về $B$, nên chưa đủ $KB=KC$.

Tự kiểm

Không áp sự đồng quy khi mới xác định một đường.

Bài 8

Vận dụng

$O$ có $OA=OB=OC$. Giải thích vì sao cả ba trung trực đều qua $O$.

Gợi ý bài 8

Áp dụng tính chất đảo cho từng cặp đỉnh.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. $OA=OB$ và $OB=OC$ cho $O$ thuộc trung trực $AB,BC$.

2. $OA=OC$ cho $O$ thuộc trung trực $AC$; ba đường cùng qua $O$.

Tự kiểm

Thứ tự tên cạnh phải khớp cặp khoảng cách đã dùng.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ là giao ba trung trực, $OA=(4t-1)$ cm, $OB=(2t+5)$ cm. Tính $t$ và $OC$.

Gợi ý bài 9

Hai khoảng cách bằng nhau rồi dùng bán kính chung.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $4t-1=2t+5$, nên $t=3$.

2. $OA=OB=11$ cm; do cách đều ba đỉnh, $OC=11$ cm.

Tự kiểm

Thay $t=3$ và kiểm độ dài dương.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$O$ có $OA=OB$ và $OB\ne OC$. Có thể đồng thời thuộc trung trực $AC$ không?

Gợi ý bài 10

Giả sử thêm đẳng thức mà trung trực còn lại yêu cầu.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. Nếu $O$ thuộc trung trực $AC$ thì $OA=OC$.

2. Kết hợp $OA=OB$ sẽ cho $OB=OC$, trái giả thiết. Vậy không thể.

Tự kiểm

Đây là phản chứng từ các đẳng thức, không từ vị trí hình.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

$O,P$ cùng thuộc trung trực $AB$ và đều cách đều $A,C$. Chứng minh $O=P$.

Gợi ý bài 11

Đưa điều kiện cách đều sang trung trực thứ hai.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $OA=OC$ và $PA=PC$ cho cả hai điểm thuộc trung trực $AC$.

2. Cả hai là giao của trung trực $AB,AC$; giao ấy duy nhất trong tam giác không suy biến, nên $O=P$.

Tự kiểm

Phải có $A,B,C$ là ba đỉnh tam giác, không cùng một đường thẳng.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Một bạn nói “ba trung trực đồng quy vì hình nhìn đối xứng”. Hãy viết lại lập luận không dùng hình cân.

Gợi ý bài 12

Lấy giao hai trung trực và dùng tính chất đảo.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Gọi giao của trung trực $AB,AC$ là $O$. Khi đó $OA=OB$ và $OA=OC$.

2. Suy ra $OB=OC$, nên $O$ thuộc trung trực $BC$. Do đó ba trung trực đồng quy.

Tự kiểm

Lập luận không dùng $AB=AC$; áp dụng mọi tam giác không suy biến.

5. Tự kiểm sau khi học

Đối chiếu từng điều kiện đã dùng với dữ kiện ban đầu. Nếu sai, quay lại đúng bước chọn đường hoặc chọn tính chất, rồi giải lại bằng kí hiệu của bài.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Trung trực tam giác và điểm cách đều ba đỉnh. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.