Điểm trên trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng – lớp 7

Đường trung trực và điểm cách đều · Toán lớp 7

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 28/10/2026 · Mục tiêu L7-36-B2

Sau bài này, em có thể:

• Chứng minh chiều thuận bằng CGC.
• Áp dụng tính chất cho từng điểm và xử lý điểm trùng trung điểm.

1. Kiến thức và phương pháp

Trong mô-đun này, hai đầu đoạn thẳng luôn phân biệt. Với $A\ne B$, gọi $M$ là trung điểm $AB$. Đường trung trực $m$ của $AB$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc $AB$. Cần đồng thời cả qua trung điểm và vuông góc.

Nếu $P\ne M$ thuộc trung trực, hai tam giác $PMA,PMB$ có $PM$ chung, $MA=MB$ và góc giữa vuông; CGC suy $PA=PB$. Nếu $P=M$, đẳng thức đúng trực tiếp từ $MA=MB$, không dùng hai tam giác suy biến.

Cùng thuộc trung trực cho mỗi điểm cách đều hai đầu; chưa buộc khoảng cách chung ở hai điểm khác nhau cũng bằng nhau.

2. Ví dụ có hướng dẫn từng bước

Ví dụ 1. CGC chứng minh điểm cách đều

Cơ bản

Đề bài

$P\ne M$ thuộc trung trực $AB$. Chứng minh $PA=PB$ qua hai tam giác $PMA,PMB$.

Nghĩ từ đâu?

So hai tam giác vuông theo $PM$ chung và hai nửa đoạn bằng nhau.

Lời giải từng bước

1. $PM$ chung, $MA=MB$ do trung điểm và $\angle PMA=\angle PMB=90^\circ$.

2. $\triangle PMA=\triangle PMB$ theo CGC, nên $PA=PB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Điều kiện $P\ne M$ tránh dùng tam giác suy biến; trường hợp $P=M$ xét trực tiếp.

Ví dụ 2. Trường hợp điểm là trung điểm

Cơ bản

Đề bài

$P=M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh $PA=PB$ mà không dùng tam giác $PMA,PMB$.

Nghĩ từ đâu?

Khi hai điểm trùng nhau, các tam giác ấy suy biến.

Lời giải từng bước

1. $PA=MA$ và $PB=MB$ vì $P=M$.

2. $MA=MB$ theo trung điểm nên $PA=PB$ trực tiếp.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không dùng CGC cho hình có cạnh $PM=0$.

Ví dụ 3. Chuyển một khoảng cách

Cơ bản

Đề bài

$P$ thuộc trung trực $AB$, $PA=6$ cm. Tính $PB$.

Nghĩ từ đâu?

Dùng tính chất cách đều đã chứng minh.

Lời giải từng bước

1. Mọi điểm trên trung trực cách đều hai đầu, nên $PA=PB$.

2. $PB=6$ cm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nếu $P=M$, tính chất vẫn đúng bằng định nghĩa trung điểm.

Ví dụ 4. Hai cặp cách đều không bằng nhau chéo

Cơ bản

Đề bài

$P,Q$ cùng thuộc trung trực $AB$. Có chắc $PA=QA$ không?

Nghĩ từ đâu?

Mỗi điểm cách đều hai đầu không có nghĩa hai điểm khác nhau cùng khoảng cách tới một đầu.

Lời giải từng bước

1. Chọn $P=M$, còn $Q\ne M$ trên trung trực. Khi ấy $QA>MA$ vì $AM\perp$ trung trực và $AQ$ là đường xiên từ $A$.

2. $PA=MA$, nên $QA>PA$; không buộc $PA=QA$. Tuy nhiên luôn có $PA=PB$ và $QA=QB$.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Phản ví dụ giữ cả hai điểm trên trung trực.

Ví dụ 5. Vuông góc sai vị trí không đủ

Cơ bản

Đề bài

$P$ thuộc một đường vuông góc $AB$ tại điểm $N$ không là trung điểm. Có tự suy $PA=PB$ không?

Nghĩ từ đâu?

Đường đó chưa là trung trực.

Lời giải từng bước

1. Không tự suy. Chẳng hạn lấy $P=N=A$ trên đường vuông góc tại đầu $A$: $PA=0$ còn $PB=AB>0$.

2. Thiếu điều kiện đường đi qua đúng trung điểm thì tính chất cách đều không được bảo đảm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Một phản ví dụ đủ bác khẳng định cho mọi điểm trên đường vuông góc bất kỳ.

Ví dụ 6. Góc tại điểm trên trung trực

Cơ bản

Đề bài

$P$ trên trung trực $AB$ và $P\ne M$. Chứng minh $\angle APM=\angle BPM$.

Nghĩ từ đâu?

Dùng CGC cho $PMA,PMB$, rồi đọc đúng cặp góc tại đỉnh $P$.

Lời giải từng bước

1. $PM$ chung, $MA=MB$, hai góc tại $M$ vuông nên $\triangle PMA=\triangle PMB$ theo CGC.

2. Hai góc tương ứng tại $P$ bằng nhau.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Nếu muốn gọi $PM$ là phân giác trong còn kiểm tia $PM$ nằm trong góc $APB$, điều này đúng do $M$ trong $AB$.

Ví dụ 7. Tham số của hai khoảng cách

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$P$ thuộc trung trực $AB$, $PA=2t+1$ cm, $PB=t+4$ cm. Tìm $t$ và độ dài chung.

Nghĩ từ đâu?

Tính chất cách đều tạo phương trình cần.

Lời giải từng bước

1. $2t+1=t+4$ cho $t=3$.

2. $PA=PB=7$ cm, dương, phù hợp dữ kiện cách đều.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Chưa biết $AB$ cụ thể nên không tự tính $PM$.

Ví dụ 8. Hai điểm có hai giá trị chung khác nhau

Chuyên sâu · tự chọn

Đề bài

$P,Q$ là hai điểm phân biệt trên trung trực $AB$. Nếu $PA=5$ cm và $QA=7$ cm, tìm $PB,QB$ rồi giải thích không có mâu thuẫn.

Nghĩ từ đâu?

Dùng tính chất cho từng điểm riêng.

Lời giải từng bước

1. $PB=PA=5$ cm, $QB=QA=7$ cm.

2. Hai giá trị chung có thể khác nhau vì điểm $P,Q$ khác vị trí; cách đều là quan hệ với hai đầu cho mỗi điểm.

Kiểm lại và rút kinh nghiệm

Không suy mọi đoạn từ một trong hai đầu tới trung trực đều dài bằng nhau.

3. Những lỗi cần tránh

4. Mười hai bài tự luyện có gợi ý và lời giải riêng

Bài 1–4 giữ bốn nhiệm vụ nền tảng của bài học. Bài 5–8 luyện củng cố và vận dụng; bài 9–12 là phần chuyên sâu tự chọn. Viết lời giải vào vở, thử mở gợi ý trước khi xem lời giải. Với nhiệm vụ đo, vẽ hoặc khảo sát, ghi lại dữ kiện và kết quả thực của em.

Bài 1

Cơ bản

Với $P$ trong hình nguồn, chứng minh $PA=PB$ bằng hai tam giác $PMA,PMB$.

Gợi ý bài 1

Hình cho $P\ne M$ và hai góc tại chân vuông.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 1

1. $PM$ chung, $MA=MB$, $\angle PMA=\angle PMB=90^\circ$.

2. $\triangle PMA=\triangle PMB$ theo CGC, suy $PA=PB$.

Tự kiểm

Không lấy khoảng cách từ ảnh để thay các giả thiết.

Bài 2

Cơ bản

$M$ là trung điểm $AB$, $P=M$. Điểm ấy có cách đều $A,B$ không? Nêu lý do không dùng $PM$ tạo tam giác.

Gợi ý bài 2

Dùng trực tiếp trung điểm trong trường hợp trùng điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 2

1. $PA=MA=MB=PB$, nên có cách đều.

2. $PM=0$, hai hình $PMA,PMB$ suy biến nên không dùng dấu hiệu bằng nhau của tam giác.

Tự kiểm

Tách trường hợp giúp tính chất đúng cho mọi điểm trên trung trực.

Bài 3

Cơ bản

$P$ thuộc trung trực $AB$, $PA=4{,}8$ cm. Tính $PB$.

Gợi ý bài 3

Cùng điểm trên trung trực cho hai khoảng cách bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 3

1. $PB=PA$ theo tính chất.

2. $PB=4{,}8$ cm.

Tự kiểm

Giữ nguyên số thập phân và đơn vị nguồn.

Bài 4

Cơ bản

Bạn chỉ biết $P$ thuộc đường vuông góc $AB$ tại một điểm không là trung điểm. Có đủ $PA=PB$ không?

Gợi ý bài 4

Tính chất áp dụng cho đúng trung trực.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 4

1. Chưa đủ. Vuông góc tại điểm khác trung điểm không bảo đảm điểm trên đường ấy cách đều hai đầu.

2. Cần biết $P$ thuộc trung trực hoặc chứng minh trực tiếp $PA=PB$ bằng dữ kiện khác.

Tự kiểm

Không coi mọi đường vuông góc là cùng một đường.

Bài 5

Cơ bản

$X$ thuộc trung trực $CD$, $XC=9$ cm. Tính $XD$.

Gợi ý bài 5

Đổi nhãn vẫn là tính chất cách đều.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 5

1. $XC=XD$ vì $X$ trên trung trực $CD$.

2. $XD=9$ cm.

Tự kiểm

Không cần đo cạnh còn lại.

Bài 6

Cơ bản

$M$ là trung điểm $AB=14$ cm. Với $P=M$, nêu $PA,PB$.

Gợi ý bài 6

Tính hai nửa và dùng trùng điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 6

1. $MA=MB=7$ cm.

2. Vì $P=M$, $PA=PB=7$ cm.

Tự kiểm

Không tạo tam giác có cạnh $PM=0$.

Bài 7

Cơ bản

$P$ thuộc trung trực $AB$. Biết $PA+PB=18$ cm. Tìm hai khoảng cách.

Gợi ý bài 7

Tổng gồm hai số bằng nhau.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 7

1. $PA=PB$ nên $2PA=18$ cm.

2. $PA=PB=9$ cm.

Tự kiểm

Không suy $PM=9$ cm vì $PM$ là đoạn khác.

Bài 8

Cơ bản

$P$ trên trung trực $AB$ nhưng hai báo cáo chính xác ghi $PA=5$ cm, $PB=6$ cm. Kiểm dữ kiện.

Gợi ý bài 8

Tính chất tạo một điều kiện cần.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 8

1. Trên trung trực phải có $PA=PB$.

2. $5\ne6$ nên các báo cáo chính xác không thể cùng thỏa vị trí ấy; cần kiểm dữ kiện.

Tự kiểm

Nếu chỉ là số đo gần đúng, phải xét sai số trước kết luận về hình thật.

Mở rộng tự chọn: giải thích và suy luận thêm

Đọc kỹ điều kiện của từng bài. Có thể học phần này ở lượt sau; lời giải đi qua từng bước để em theo dõi và tự kiểm.

Bài 9

Chuyên sâu · tự chọn

$P$ thuộc trung trực $AB$, $PA=3t-1$ cm, $PB=t+5$ cm và $PA+PB=16$ cm. Kiểm mọi điều kiện.

Gợi ý bài 9

Giải đẳng thức trước rồi đối chiếu tổng.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 9

1. $3t-1=t+5$ cho $t=3$, nên hai khoảng cách cùng $8$ cm.

2. Tổng $8+8=16$ cm đúng dữ kiện; các độ dài dương, nhất quán.

Tự kiểm

Một tham số phải dùng cho cả đẳng thức và tổng.

Bài 10

Chuyên sâu · tự chọn

$M$ là trung điểm $AB$, $P$ trên trung trực, $P\ne M$. Chứng minh $PA>MA$ bằng quan hệ ngắn nhất.

Gợi ý bài 10

Xem trung trực là đường đích từ điểm $A$.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 10

1. $AM$ vuông góc trung trực tại $M$, còn $P$ trên đường ấy khác chân.

2. $AP$ là đường xiên từ $A$ tới trung trực, nên $AP>AM$.

Tự kiểm

Đã biết $A$ không thuộc trung trực vì $AM=AB/2>0$.

Bài 11

Chuyên sâu · tự chọn

$P,Q$ trên trung trực $AB$, $P,Q\ne M$ và $PM=QM$. Chứng minh $PA=QA$ bằng hai tam giác vuông.

Gợi ý bài 11

Dùng thêm bằng khoảng cách tới trung điểm, không chỉ cùng đường.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 11

1. $PMA,QMA$ vuông tại $M$, có $PM=QM$, $MA$ chung nên bằng nhau theo hai cạnh góc vuông.

2. Hai cạnh huyền tương ứng $PA=QA$. Cùng tính chất trung trực còn cho $PB=QB$.

Tự kiểm

Đẳng thức thêm $PM=QM$ làm bài khác trường hợp chỉ cùng thuộc trung trực.

Bài 12

Chuyên sâu · tự chọn

Có $PA=PB$ được suy từ trung trực. Một bạn dùng thêm $PA=PB$ để kết luận $PM=0$. Có đủ không?

Gợi ý bài 12

Cách đều không buộc điểm trùng trung điểm.

Lời giải chi tiết và tự kiểm bài 12

1. Chọn bất kỳ điểm $P\ne M$ trên trung trực, vẫn có $PA=PB$ nhưng $PM>0$.

2. Vì vậy không suy $PM=0$; hai khoảng cách tới hai đầu bằng nhau chưa xác định điểm duy nhất.

Tự kiểm

Phản ví dụ đúng cả vị trí trên trung trực và đẳng thức cần kiểm.

5. Tự kiểm sau khi học

Chứng minh chiều đảo: điểm cách đều thuộc trung trực.

Đối chiếu kết quả với đúng giả thiết, đơn vị và yêu cầu của đề. Nếu sai, giữ bài làm đầu và tìm bước cần sửa trước khi giải lại. Có thể dùng cách khác khi giải thích được vì sao các bước hợp lệ.

6. Tải học liệu miễn phí

Phiếu in dưới đây thuộc mô-đun Đường trung trực và điểm cách đều. Bài học trên web có thêm ví dụ, bài luyện và lời giải để em tự học.