Đồng nhất thức và hằng đẳng thức lớp 8
Cập nhật nội dung: 27/10/2026
Một đẳng thức đúng ở một giá trị không nhất thiết đúng ở mọi giá trị. Khái niệm đồng nhất thức giúp em phân biệt công thức biến đổi với phương trình cần tìm nghiệm.
Sau bài này, em có thể:
- Phân biệt đồng nhất thức và đẳng thức chỉ đúng tại một số giá trị.
- Chứng minh công thức bằng biến đổi tổng quát, bác bỏ bằng phản ví dụ.
Cần biết trước: Mô-đun 04; nhân hai đa thức.
1. Kiến thức và phương pháp
Đồng nhất thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến trong miền đang xét. Hằng đẳng thức là những đồng nhất thức thường dùng để tính toán và biến đổi. Một phép khai triển đúng chứng minh đẳng thức đa thức với mọi giá trị; một phản ví dụ đủ bác bỏ nhưng một phép thử đúng không đủ chứng minh.
2. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tính phân phối chứng minh mọi giá trị
Đề bài
Vì sao $2(x+y)=2x+2y$ là đồng nhất thức theo $x,y$ thực?
Lời giải
Tính phân phối đúng với mọi số thực $x,y$, nên vế trái luôn biến đổi thành vế phải. Không có điều kiện riêng cần giải cho biến.
Cách tự kiểm
Lý do là quy tắc tổng quát, không phải vài cặp giá trị đã thử.
Ví dụ 2. Một phương trình
Đề bài
$x+1=3$ có là đồng nhất thức theo $x$ thực không?
Lời giải
Không. Đẳng thức chỉ đúng khi $x=2$; chẳng hạn tại $x=0$, hai vế bằng $1$ và $3$. Nó là phương trình có một nghiệm, không phải công thức đúng mọi $x$.
Cách tự kiểm
Phải nêu rõ miền đang xét khi dùng từ “mọi”.
Ví dụ 3. Khai triển để chứng minh
Đề bài
Kiểm $(x+1)^2=x^2+2x+1$.
Lời giải
$(x+1)^2=(x+1)(x+1)=x^2+x+x+1=x^2+2x+1$. Các bước phân phối và cộng hạng tử đồng dạng đúng với mọi $x$ thực.
Cách tự kiểm
Một phép biến đổi tổng quát chứng minh được toàn bộ đẳng thức.
Ví dụ 4. Bác bỏ công thức thiếu hạng tử
Đề bài
Có đúng $(x+1)^2=x^2+1$ với mọi $x$ không?
Lời giải
Lấy $x=1$: vế trái bằng $4$, vế phải bằng $2$. Vì có một giá trị không đúng nên đây không là đồng nhất thức. Khai triển cho biết hạng tử thiếu là $2x$.
Cách tự kiểm
Giá trị $x=0$ không phát hiện được lỗi này.
3. Những lỗi thường gặp
- Gọi mọi đẳng thức chứa chữ là đồng nhất thức.
- Chứng minh công thức bằng một lần thay số.
- Bác bỏ xong nhưng vẫn dùng công thức sai ở bài khác.
4. Bài tập tự luyện
Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.
-
Trong $3(x-y)=3x-3y$ và $x+2=5$, đẳng thức nào là đồng nhất thức theo $x,y$ thực?
-
Khai triển để kiểm $(x+1)^2=x^2+2x+1$ với mọi $x$ thực.
-
Dùng một giá trị bác bỏ $(x+1)^2=x^2+1$ với mọi $x$.
-
Tự viết đồng nhất thức theo hai biến và nêu quy tắc chứng minh.
-
$x^2=x$ có là đồng nhất thức trên số thực không?
-
Chứng minh $(a+b)-(a-b)=2b$ với mọi $a,b$ thực.
-
Một đẳng thức đúng tại $x=0,1$ có chắc là đồng nhất thức trên số thực không? Dùng $x^2=x$ để giải thích.
-
Chứng minh đồng nhất thức $3(a-b)+3b=3a$ và chỉ rõ hai quy tắc đã dùng.
Mở đáp án và lời giải bài 1–4
-
Đẳng thức đầu do phân phối; đẳng thức thứ hai chỉ đúng khi $x=3$.
-
$(x+1)(x+1)=x^2+x+x+1=x^2+2x+1$.
-
$x=1$ cho hai vế $4$ và $2$.
-
Ví dụ $2(a+b)=2a+2b$, chứng minh bằng tính phân phối. Có nhiều đáp án.
Mở đáp án và lời giải bài 5–8
-
Không, tại $x=2$ được $4\ne2$ dù nó đúng tại $x=0,1$.
-
Bỏ ngoặc được $a+b-a+b=2b$.
-
Không. $x^2=x$ đúng tại $0,1$ nhưng sai tại $x=2$ vì $4\ne2$. Số phép thử hữu hạn riêng lẻ không thay được lập luận tổng quát.
-
Phân phối cho $3a-3b+3b=3a$. Dùng tính phân phối rồi cộng hai hạng tử đối nhau, đúng với mọi $a,b$ thực.
5. Tải học liệu và học tiếp
Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.