Đến nội dung chính

Nhận biết hình thang cân từ hai đường chéo bằng nhau lớp 8

THCSLớp 8Hình khối, tứ giác và tam giác đồng dạngMở mô-đun

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật nội dung: 27/10/2026

Dấu hiệu đường chéo bằng nhau cần một hình thang đã được xác lập. Để hiểu dấu hiệu, ta tạo một tam giác cân nhờ đường song song rồi quay lại so hai tam giác chứa góc đáy.

Sau bài này, em có thể:

  • Giải thích dấu hiệu hai đường chéo bằng nhau
  • Giữ đủ giả thiết hình thang

Cần biết trước: Mô$-$đun $30$. Quy ước hình thang và điều kiện áp dụng được nêu rõ.

1. Kiến thức và phương pháp

Quy ước: hình thang là tứ giác lồi có ít nhất một cặp cạnh đối song song. Gọi $ABCD$ theo thứ tự quanh biên, $AB$ song song $CD$ là hai đáy. Hình thang cân có hai góc kề một đáy bằng nhau; quy ước này bao gồm hình chữ nhật. Giả sử $AC=BD$. Qua $B$ kẻ $BE$ song song $AC$, cắt tia $DC$ tại $E$ phía ngoài $C$. $ABEC$ có hai cặp cạnh đối song song nên $BE=AC ($chứng minh bằng hai tam giác góc$–$cạnh$–$góc$)$. Suy $BE=BD$, tam giác $BDE$ cân. Từ góc đáy tam giác này và hai đường song song suy góc $ABD=BAC$. Hai tam giác $ABD$, $BAC$ bằng nhau theo cạnh$–$góc$–$cạnh, nên góc $DAB=CBA$; hình thang cân.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chọn hình phụ

Đề bài

Vì sao cần qua $B$ kẻ đường song song $AC$?

Lời giải

Ta muốn tạo đoạn $BE$ bằng $AC$ bằng quan hệ hai cặp cạnh song song. Giả thiết $AC=BD$ sẽ cho $BE=BD$, tạo tam giác cân $BDE$.

Cách tự kiểm

Không kết luận $BE=AC$ từ hình thang cân vì tính cân đang là điều cần chứng minh.

Ví dụ 2. Dùng tam giác cân

Đề bài

$D$, $C$, $E$ thẳng hàng theo thứ tự; $BE=BD$. Suy ra quan hệ góc nào?

Lời giải

Tam giác $BDE$ cân tại $B$ nên góc $BDE=BED$. Qua vị trí điểm và $BE$ song song $AC$, suy góc $BDC=ACD$.

Cách tự kiểm

Thứ tự $D$, $C$, $E$ giúp dùng đúng tia ở các góc.

Ví dụ 3. Hoàn tất nhận biết

Đề bài

Đã có $AB$ song song $CD$ và $AC=BD$. Nêu kết luận theo dấu hiệu.

Lời giải

$ABCD$ là hình thang có hai đường chéo bằng nhau, nên là hình thang cân. Lập luận trên đã giải thích dấu hiệu.

Cách tự kiểm

Không cần tính tất cả độ dài cạnh bên trước khi dùng dấu hiệu.

Ví dụ 4. Giải ẩn từ đường chéo

Đề bài

$AB$ song song $CD$, $AC=3x+2$ và $BD=x+10$ cm. Tìm $x$ để áp dụng dấu hiệu.

Lời giải

$3x+2=x+10$ cho $x=4$. Hai đường chéo $14$ cm, dương; do đó hình thang cân.

Cách tự kiểm

Kiểm lại cả sự song song đã cho và đẳng thức độ dài.

3. Những lỗi thường gặp

  • Dùng hai đường chéo bằng nhau cho một tứ giác bất kỳ.
  • Chứng minh $BE=AC$ bằng kết luận cân đang cần tìm.
  • Không kiểm thứ tự điểm trong hình phụ.

4. Bài tập tự luyện

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở đáp án. Nếu kết quả khác, tìm bước biến đổi hoặc điều kiện cần kiểm tra rồi làm lại.

  1. Ở hình phụ, $AB \parallel CD$, $BE \parallel AC$ và $D$, $C$, $E$ theo thứ tự trên một đường thẳng. Giải thích $BE = AC$ mà không viện dẫn tính chất hình thang cân.

  2. Giả sử thêm $AC = BD$. Từ tam giác $BDE$, suy ra góc $BDC = ACD$.

  3. Dùng kết quả góc $BDC = ACD$ và $AB \parallel CD$ để chứng minh hai tam giác $ABD$, $BAC$ bằng nhau.

  4. Hoàn tất kết luận dấu hiệu từ hai tam giác ở nhiệm vụ $3$; nêu đủ giả thiết của dấu hiệu.

  5. Hình thang $ABCD$ có $AC=BD=17$ cm. Kết luận loại hình.

  6. $AC=2t+5$, $BD=4t-1$ cm trong hình thang. Tìm $t$ để nhận cân.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $AB \parallel CE$ và $AC \parallel BE$. Hai tam giác $ABC$, $ECB$ có góc $ABC = ECB$, góc $ACB = EBC$ và $BC$ chung, nên bằng nhau theo góc$-$cạnh$-$góc. Do đó $AC = EB$.

  2. $BE = AC = BD$ nên tam giác $BDE$ cân, có góc $BDE = BED$. Vì $D$, $C$, $E$ thẳng hàng theo thứ tự và $BE \parallel AC$, hai góc đó lần lượt bằng $BDC$ và $ACD$.

  3. $AB \parallel CD$ suy ra góc $ABD = BDC$ và góc $BAC = ACD$, nên góc $ABD = BAC$. Hai tam giác $ABD$, $BAC$ còn có $AB$ chung và $BD = AC$; chúng bằng nhau theo cạnh$-$góc$-$cạnh.

  4. Suy ra góc $DAB = CBA$. Vì $AB \parallel CD$ nên $ABCD$ là hình thang và hai góc kề đáy $AB$ bằng nhau; do đó cân. Dấu hiệu cần một hình thang và hai đường chéo bằng nhau, không chỉ một tứ giác tùy ý có đường chéo bằng nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 5–6

  1. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau nên cân.

  2. $2t+5=4t-1$ cho $t=3$; hai đường chéo $11$ cm.

5. Tải học liệu và học tiếp

Phiếu PDF và hướng dẫn dưới đây thuộc bộ năm bài của mô-đun. Phần ví dụ và tự luyện trên trang này dành riêng cho bài đang học.

Tải bộ phiếu của mô-đunTải hướng dẫn và đáp án