Đến nội dung chính

Tính góc nội tiếp từ cung bị chắn – Toán lớp 9

THCSLớp 9Hình học phẳngMở mô-đun

Góc nội tiếp và cung bị chắn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-31-B3

Công thức một nửa chỉ hữu ích khi cung bị chắn đã được chọn đúng. Ta dùng nó để tính thuận, suy ngược, so sánh và kiểm dữ kiện.

Sau bài này, em có thể:

  • Giải thích góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
  • Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.

Cần biết trước: Mô-đun 30; góc ngoài tam giác và tam giác cân lớp 7.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $A,B,C$ phân biệt trên đường tròn, gọi $s$ là số đo cung $AB$ không chứa $C$. Khi đó

$$\angle ACB=\frac{s}{2},\qquad 0<s<360^\circ.$$

Hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau. Hai đỉnh ở hai cung khác nhau của cùng dây tạo hai góc có tổng $180^\circ$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cung nhỏ cho góc nhọn

Làm quen

Đề bài

Góc $ACB$ chắn cung không chứa $C$ có số đo $118^\circ$. Tính góc.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\angle ACB=118^\circ/2=59^\circ$.

Cách tự kiểm

Nhân đôi $59^\circ$ để kiểm lại cung.

Ví dụ 2. Cung lớn cho góc tù

Làm quen

Đề bài

$C$ nằm trên cung nhỏ $AB$, cung lớn $AB$ bằng $236^\circ$. Tính $\angle ACB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cung không chứa $C$ là cung lớn, nên $\angle ACB=236^\circ/2=118^\circ$.

Cách tự kiểm

Góc tù phù hợp với cung bị chắn lớn hơn $180^\circ$.

Ví dụ 3. Tìm ngược số đo cung

Vận dụng

Đề bài

$\angle ACB=73^\circ$. Tìm số đo hai cung $AB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cung không chứa $C$ bằng $146^\circ$; cung chứa $C$ bằng $360^\circ-146^\circ=214^\circ$.

Cách tự kiểm

Tổng hai cung phải bằng $360^\circ$.

Ví dụ 4. Góc cùng chắn cung

Vận dụng

Đề bài

$C,D$ cùng thuộc một cung $AB$ và $\angle ACB=46^\circ$. Tính $\angle ADB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai góc chắn cùng cung $AB$ còn lại nên $\angle ADB=46^\circ$.

Cách tự kiểm

Điều kiện cùng phía dây $AB$ quyết định dùng bằng nhau.

Ví dụ 5. Góc ở hai phía dây

Nâng cao

Đề bài

$C,D$ ở hai cung $AB$ khác nhau; $\angle ACB=64^\circ$. Tính $\angle ADB$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai cung bị chắn có tổng $360^\circ$, nên hai góc có tổng $180^\circ$. Suy ra $\angle ADB=116^\circ$.

Cách tự kiểm

Không dùng “cùng dây” để kết luận hai góc bằng nhau.

Ví dụ 6. Phương trình góc và cung

Nâng cao

Đề bài

Cung bị $\angle ACB$ chắn có số đo $(5x+10)^\circ$, góc bằng $(2x+12)^\circ$. Tìm $x$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$5x+10=2(2x+12)$ nên $x=14$. Góc bằng $40^\circ$, cung bằng $80^\circ$, thỏa các khoảng số đo hợp lệ.

Cách tự kiểm

Kiểm hai đại lượng sau khi giải phương trình.

Ví dụ 7. Tổng cung qua hai bước

Thử thách

Đề bài

$A,B,D,C$ theo thứ tự trên đường tròn; cung nhỏ $AB=50^\circ$, cung $BD$ không qua $A,C$ bằng $84^\circ$. Tính $\angle ACD$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cung $AD$ không chứa $C$ gồm hai cung đã cho, có số đo $134^\circ$. Vì vậy $\angle ACD=67^\circ$.

Cách tự kiểm

Thứ tự điểm bảo đảm được cộng hai cung.

Ví dụ 8. Một kết luận sai

Thử thách

Đề bài

Bạn nói hai góc nội tiếp bằng nhau chỉ vì cùng chắn dây $AB$. Nêu cấu hình và số đo bác bỏ.

Lời giải và cách suy nghĩ

Chọn cung nhỏ $AB=100^\circ$. Đỉnh $C$ ở cung lớn cho góc $50^\circ$; đỉnh $D$ ở cung nhỏ cho góc $130^\circ$. Cùng dây nhưng hai cung bị chắn khác nhau.

Cách tự kiểm

Phản ví dụ phải cho hai đỉnh ở hai phía dây.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
  • Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Góc nội tiếp $ACB$ chắn cung $AB$ không chứa $C$ có số đo $86^\circ$. Tính $\angle ACB$.

    Gợi ý bài 1

    Chia số đo cung đã chỉ rõ cho $2$.

  2. $C$ nằm trên cung nhỏ $AB$; cung lớn $AB$ bằng $250^\circ$. Tính $\angle ACB$.

    Gợi ý bài 2

    Đỉnh ở cung nhỏ nên góc chắn cung lớn đã cho.

  3. Góc nội tiếp $ACB=38^\circ$. Tính cung $AB$ không chứa $C$.

    Gợi ý bài 3

    Đảo công thức: số đo cung bằng hai lần góc.

  4. $C,D$ thuộc cùng một cung $AB$; cả hai góc $ACB,ADB$ chắn cung $AB$ còn lại. So sánh hai góc và giải thích.

    Gợi ý bài 4

    Xác định rằng cả hai góc cùng chắn đúng một cung, không chỉ cùng dây.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $\angle ACB=86^\circ/2=43^\circ$.

  2. Cung không chứa $C$ là cung lớn $250^\circ$, nên $\angle ACB=125^\circ$.

  3. Số đo cung bằng $2\cdot38^\circ=76^\circ$.

  4. Hai góc bằng nhau vì cùng bằng nửa số đo một cung $AB$ không chứa $C,D$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Cung bị chắn không chứa đỉnh bằng $154^\circ$. Tính góc nội tiếp.

    Gợi ý bài 5

    Dùng đúng cung đề nêu.

  2. Một góc nội tiếp bằng $101^\circ$. Tính cung bị chắn và cung còn lại.

    Gợi ý bài 6

    Đỉnh thuộc cung $158^\circ$.

  3. $C,D$ ở hai phía dây $AB$, $\angle ACB=3x$, $\angle ADB=2x$. Tìm hai góc.

    Gợi ý bài 7

    Tổng hai góc thay cho bằng nhau.

  4. $C,D$ cùng thuộc một cung $AB$; $\angle ACB=(3x-7)^\circ$, $\angle ADB=(x+29)^\circ$. Tìm $x$.

    Gợi ý bài 8

    Hai góc cùng chắn một cung nên đặt bằng nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Góc bằng $77^\circ$ vì $154^\circ/2=77^\circ$.

  2. Cung bị chắn bằng $202^\circ$; cung còn lại bằng $158^\circ$.

  3. $3x+2x=180^\circ$ nên $x=36^\circ$. Hai góc bằng $108^\circ$ và $72^\circ$.

  4. $3x-7=x+29$ nên $x=18$; cả hai góc bằng $47^\circ$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Cung bị chắn có số đo $4x$ độ. Tìm khoảng giá trị của $x$ khi ba điểm xác định góc nội tiếp phân biệt.

    Gợi ý bài 9

    Loại hai đầu mút gây cung rỗng hoặc cả vòng.

  2. Đề cho $\angle ACB=82^\circ$ và cung $AB$ không chứa $C$ bằng $160^\circ$. Có thể đồng thời đúng không?

    Gợi ý bài 10

    Nhân đôi số đo góc để đối chiếu.

  3. $D$ ở trong cung $AB$ không chứa $C$ và hai cung $AD,DB$ có số đo tỉ lệ $2:3$. Biết $\angle ACB=75^\circ$. Tìm hai cung.

    Gợi ý bài 11

    Cộng hai phần phải khôi phục cung bị chắn.

  4. $A,B,C$ theo thứ tự trên đường tròn; ba cung liên tiếp $AB,BC,CA$ lần lượt bằng $100^\circ,140^\circ,120^\circ$. Tính ba góc tam giác.

    Gợi ý bài 12

    Ghép mỗi đỉnh với cung đối diện của nó.

  5. Hai góc nội tiếp $\angle ACB$ và $\angle DFE$ bằng nhau. Có suy ra các cung bị chắn bằng nhau không?

    Gợi ý bài 13

    Chỉ kết luận số đo bằng nhau, không suy độ dài cung khi bán kính khác nhau.

  6. Hai cung ở hai đường tròn có góc nội tiếp chắn chúng đều $40^\circ$. Có bắt buộc hai cung dài bằng nhau không?

    Gợi ý bài 14

    Phân biệt độ với đơn vị chiều dài.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Cần $0<4x<360$, nên $0<x<90$. Khi đó góc nội tiếp bằng $2x$ độ, nằm giữa $0^\circ$ và $180^\circ$.

  2. Không. Góc $82^\circ$ đòi hỏi cung $164^\circ$; cung $160^\circ$ đòi hỏi góc $80^\circ$. Đây là dữ kiện chính xác, không được tự coi chênh lệch là sai số.

  3. Cung $AB$ đang xét bằng $150^\circ$. Chia thành năm phần bằng nhau cho cung $AD=60^\circ$, cung $DB=90^\circ$.

  4. $\angle A=70^\circ$, $\angle B=60^\circ$, $\angle C=50^\circ$ vì mỗi góc chắn cung đối diện không chứa đỉnh. Tổng bằng $180^\circ$.

  5. Có, nếu xét đúng các cung không chứa các đỉnh tương ứng: mỗi số đo cung bằng hai lần góc nên bằng nhau. Không cần hai góc nằm trên cùng đường tròn để so sánh số đo cung.

  6. Không. Hai cung đều có số đo $80^\circ$, nhưng nếu bán kính một đường tròn gấp đôi thì độ dài cung tương ứng cũng gấp đôi. Số đo góc không xác định độ dài nếu thiếu bán kính.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Góc nội tiếp chắn cung nhỏ $AB$ có số đo $x$. Nếu cung nhỏ thay đổi trong $(0^\circ,180^\circ]$, tìm tập giá trị của $x$.

    Gợi ý bài 15

    Giữ đầu mút $180^\circ$ vì nửa đường tròn hợp lệ.

  2. Tam giác $ABC$ nội tiếp và ba cung liên tiếp $AB,BC,CA$ có cùng số đo. Chứng minh tam giác đều.

    Gợi ý bài 16

    Ba cung cần là ba phần liên tiếp phủ cả đường tròn.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. $x$ bằng nửa số đo cung nhỏ nên $0^\circ<x\le90^\circ$. Dấu bằng xảy ra khi $AB$ là đường kính.

  2. Tổng ba cung bằng $360^\circ$ nên mỗi cung bằng $120^\circ$. Mỗi góc tam giác bằng $60^\circ$, do đó tam giác có ba góc bằng nhau và là tam giác đều.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án