Đến nội dung chính

Lập hệ phương trình từ chuyển động đều lớp 9

THCSLớp 9Số và đại sốMở mô-đun

Mô hình thực tiễn bằng hệ phương trình · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-10-B2

Sơ đồ vị trí và hướng đi quyết định cộng hay trừ quãng đường. Các bài toán giữ vận tốc không đổi, cùng đơn vị thời gian và phân biệt gặp ngược chiều với đuổi cùng chiều.

Sau bài này, em có thể:

  • Lập hệ chuyển động từ hướng đi và thời gian riêng.
  • Giải và kiểm đơn vị, điều kiện vận tốc.
  • Xét dữ kiện thiếu, mâu thuẫn và điều kiện tham số của mô hình.

Cần biết trước: Mô-đun 09; đổi đơn vị, phần trăm, chuyển động đều.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Trong chuyển động đều, $s=vt$. Hai vật đi về phía nhau, quãng đường đã đi cộng lại bằng khoảng cách ban đầu. Hai vật cùng chiều, vật nhanh ở sau cần bù khoảng cách bằng hiệu quãng đường. Với ca nô, vận tốc xuôi dòng $u+v$, ngược dòng $u-v$; cần $u>v\ge0$. Nếu thời gian xuất phát khác nhau, viết thời gian đi của từng vật riêng.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Gặp nhau ngược chiều

Cơ bản

Đề bài

Hai xe cách $120$ km, cùng đi về phía nhau và gặp sau $2$ giờ; xe đầu nhanh hơn $8$ km/h. Tìm vận tốc.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi $u>v>0$. $2(u+v)=120,\ u-v=8$, nên $u=34,v=26$ km/h. Kiểm $68+52=120$ km.

Cách tự kiểm

Hai quãng đường được cộng.

Ví dụ 2. Đuổi cùng chiều

Cơ bản

Đề bài

Vật chậm ở trước $15$ km; hai vật cùng xuất phát, gặp sau $3$ giờ. Tổng vận tốc $25$ km/h. Tìm vận tốc.

Lời giải và cách suy nghĩ

$3(u-v)=15,\ u+v=25$ với $u>v>0$. Do đó $u-v=5$, nên $u=15,v=10$ km/h.

Cách tự kiểm

Sau $3$ giờ, hiệu quãng đường $45-30=15$ km.

Ví dụ 3. Ca nô

Cơ bản

Đề bài

Ca nô đi $30$ km xuôi dòng trong $2$ giờ, ngược dòng trong $3$ giờ; các vận tốc không đổi. Tìm vận tốc riêng và dòng.

Lời giải và cách suy nghĩ

$u+v=15,\ u-v=10$ cho $u=12{,}5,v=2{,}5$ km/h. Có $u>v\ge0$; thử $30/15=2$, $30/10=3$ giờ.

Cách tự kiểm

Không lấy trung bình hai thời gian để tìm vận tốc.

Ví dụ 4. Đổi phút thành giờ

Cơ bản

Đề bài

Hai xe cách $90$ km, cùng xuất phát đi về phía nhau và gặp sau $45$ phút; vận tốc chênh $20$ km/h. Tính vận tốc.

Lời giải và cách suy nghĩ

$45$ phút $=3/4$ giờ. $(3/4)(u+v)=90$ nên $u+v=120$. Cùng $u-v=20$ cho $u=70,v=50$ km/h.

Cách tự kiểm

Thời gian trong $s=vt$ phải phù hợp km/h.

Ví dụ 5. Xuất phát trễ

Nâng cao

Đề bài

Hai xe cách $150$ km đi về nhau. Tính từ lúc xe đầu đi đến gặp là $3$ giờ; xe sau khởi hành trễ $1$ giờ. Vận tốc xe đầu hơn xe sau $10$ km/h. Tìm vận tốc.

Lời giải và cách suy nghĩ

Xe đầu đi $3$ giờ, xe sau $2$ giờ. $3u+2v=150,\ u-v=10$. Thế $u=v+10$ cho $5v+30=150$, $v=24,u=34$ km/h. Kiểm $102+48=150$.

Cách tự kiểm

Không dùng cùng thời gian cho hai xe.

Ví dụ 6. Dữ kiện không đủ

Nâng cao

Đề bài

Hai xe đi về nhau và gặp sau $2$ giờ trên đoạn $100$ km. Có biết riêng mỗi vận tốc không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Chỉ có $u+v=50$ với $u,v>0$. Chẳng hạn $(20;30)$ và $(15;35)$ đều phù hợp. Cần thêm quan hệ độc lập để tách hai vận tốc.

Cách tự kiểm

Một phương trình hai ẩn không mặc nhiên cho một cặp.

Ví dụ 7. Kiểm mô hình dòng chảy

Nâng cao

Đề bài

Tốc độ xuôi dòng được báo $8$ km/h, ngược dòng $12$ km/h trong cùng điều kiện dòng không đổi. Có phù hợp cách gán không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Hệ $u+v=8,\ u-v=12$ cho $u=10,v=-2$, trái $v\ge0$ nếu $v$ là độ lớn vận tốc dòng. Phải kiểm nhãn xuôi/ngược hoặc mô hình; không tự đổi dấu rồi nhận như cũ.

Cách tự kiểm

Điều kiện vật lí là một phần của mô hình.

Ví dụ 8. Điều kiện của khoảng cách

Thử thách

Đề bài

Hai xe đi về nhau, gặp sau $t>0$ giờ, chênh vận tốc $d>0$ km/h, cách nhau $S$ km. Khi nào có hai vận tốc dương?

Lời giải và cách suy nghĩ

$u+v=S/t,\ u-v=d$ cho $u=(S/t+d)/2$, $v=(S/t-d)/2$. Với $S>0$, cả hai dương khi và chỉ khi $S>dt$. Biên $S=dt$ làm xe chậm đứng yên, không thỏa vận tốc dương.

Cách tự kiểm

Giữ bất đẳng thức nghiêm ngặt.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Dùng hiệu thay tổng trong chuyển động ngược chiều.
  • Giữ phút trong công thức với vận tốc km/h.
  • Dùng cùng thời gian dù hai vật xuất phát trễ nhau, hoặc nhận vận tốc âm.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Hai xe đi ngược chiều trên quãng đường $180$ km, cùng xuất phát, gặp sau $2$ giờ. Vận tốc xe đầu hơn xe sau $10$ km/h. Lập hệ và tìm vận tốc.

    Gợi ý bài 1

    Cộng hai quãng đường và dùng hiệu vận tốc.

  2. Hai bạn xuất phát đồng thời cùng chiều, bạn chậm ở trước $12$ km. Sau $3$ giờ bạn nhanh đuổi kịp; tổng hai vận tốc $20$ km/h. Tìm vận tốc.

    Gợi ý bài 2

    Hiệu quãng đường phải bù đúng khoảng cách ban đầu.

  3. Ca nô xuôi dòng $24$ km trong $2$ giờ, ngược dòng $24$ km trong $3$ giờ. Giả sử vận tốc riêng và dòng không đổi; lập hệ và tìm chúng.

    Gợi ý bài 3

    Tính tốc độ theo bờ bằng quãng đường chia thời gian.

  4. Bạn lập $2(u-v)=180$ cho bài hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Chỉ ra sai lầm và sửa phương trình quãng đường.

    Gợi ý bài 4

    Vẽ hai mũi tên hướng vào nhau.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. Gọi $u>v>0$ theo km/h. $2u+2v=180,\ u-v=10$ nên $u+v=90$, $u=50,v=40$. Kiểm $100+80=180$ km.

  2. $3(u-v)=12,\ u+v=20$ với $u>v>0$. Suy ra $u-v=4$, $u=12,v=8$ km/h. Kiểm $3(12-8)=12$ km.

  3. Gọi $u>v\ge0$ theo km/h. $u+v=12,\ u-v=8$ nên $u=10,v=2$. Kiểm $24/12=2$ giờ, $24/8=3$ giờ.

  4. Hai quãng đường cộng lại bằng $180$ km, nên $2u+2v=180$, tức $2(u+v)=180$. Hiệu vận tốc phù hợp bài đuổi cùng chiều, không phải tình huống này.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Hai xe cách $200$ km, cùng đi về nhau, gặp sau $2$ giờ; vận tốc chênh $12$ km/h. Tìm vận tốc.

    Gợi ý bài 5

    Tìm tổng vận tốc trước.

  2. Hai vật cùng chiều, vật chậm ở trước $18$ km, gặp sau $3$ giờ; tổng vận tốc $30$ km/h. Tìm vận tốc.

    Gợi ý bài 6

    Hiệu vận tốc bằng $18/3$.

  3. Ca nô đi xuôi $36$ km trong $2$ giờ, ngược $36$ km trong $3$ giờ. Tìm vận tốc riêng và dòng.

    Gợi ý bài 7

    Xuôi $18$, ngược $12$ km/h.

  4. Hai xe gặp ngược chiều sau $30$ phút trên đoạn $60$ km, vận tốc chênh $10$ km/h. Tìm vận tốc.

    Gợi ý bài 8

    $30$ phút $=1/2$ giờ.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $u+v=100,\ u-v=12$, nên $u=56,v=44$ km/h. Kiểm $112+88=200$ km.

  2. $u-v=6,\ u+v=30$, nên $u=18,v=12$ km/h. Kiểm $3(18-12)=18$ km.

  3. $u+v=18,\ u-v=12$, nên $u=15,v=3$ km/h. Có $15>3\ge0$; thời gian khớp.

  4. $u+v=120,\ u-v=10$, nên $u=65,v=55$ km/h. Kiểm $(1/2)(65+55)=60$ km.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Hai xe đi về nhau cách $120$ km. Xe đầu đi $3$ giờ đến gặp; xe sau đi $2$ giờ, vận tốc bằng xe đầu. Tìm vận tốc và thời điểm xuất phát trễ.

    Gợi ý bài 9

    Hai thời gian khác nhau, nhưng hai vận tốc bằng nhau.

  2. Một đề nói hai xe cùng chiều, cùng xuất phát một điểm, vận tốc khác nhau và gặp lại sau $2$ giờ trên một đường thẳng, không đổi hướng. Có phù hợp không?

    Gợi ý bài 10

    Hiệu vị trí sau $2$ giờ bằng $2(u-v)$.

  3. Ca nô có tốc độ xuôi $15$ và ngược $9$ km/h. Dòng nhanh thêm $1$ km/h, vận tốc riêng giữ nguyên. Tìm hai tốc độ mới và kiểm đi ngược được.

    Gợi ý bài 11

    Tìm $u,v$ ban đầu từ tổng–hiệu.

  4. Hai xe gặp sau $2$ giờ trên đoạn $80$ km, xe đầu nhanh hơn $50$ km/h. Kết luận từ hệ.

    Gợi ý bài 12

    Giải tổng $40$ và hiệu $50$.

  5. Hai xe đi về nhau, vận tốc lần lượt $a$ và $a+10$ km/h. Gặp sau $1{,}5$ giờ trên đoạn $150$ km. Tìm $a$ và kiểm.

    Gợi ý bài 13

    Tổng quãng đường là $1{,}5(2a+10)$.

  6. Ca nô đi cùng một đoạn sông xuôi trong $2$ giờ, ngược trong $3$ giờ; chỉ biết vận tốc dòng $2$ km/h. Tìm vận tốc riêng và độ dài đoạn.

    Gợi ý bài 14

    Gọi độ dài $S$; viết $2(u+2)=3(u-2)$.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. $3u+2v=120,\ u=v$ cho $u=v=24$ km/h. Xe sau xuất phát trễ $1$ giờ; hai quãng đường $72+48=120$ km.

  2. Gặp lại đòi $2(u-v)=0$, nên $u=v$, trái vận tốc khác nhau. Nếu đi vòng hoặc đổi hướng thì mô hình đã khác; không tự thêm giả thiết để cứu dữ kiện.

  3. $u=12,v=3$ km/h. Dòng mới $4$, nên xuôi $16$, ngược $8$ km/h; $12>4$ nên vẫn đi ngược được.

  4. $u=(40+50)/2=45$, $v=(40-50)/2=-5$ km/h. Trái điều kiện hai vận tốc dương nên không có tình huống như mô tả; không lấy trị tuyệt đối $v$ vì phá phương trình.

  5. $1{,}5(2a+10)=150$ cho $a=45$; hai vận tốc $45,55$ km/h. Quãng đường $67{,}5+82{,}5=150$ km; cả hai dương.

  6. Đẳng thức quãng đường cho $2u+4=3u-6$, nên $u=10$ km/h. $S=2(10+2)=24$ km; thử $3(10-2)=24$. Hệ có thể dùng hai ẩn $u,S$.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Hai vật cùng chiều, vật chậm ở trước $D>0$ km; gặp sau $t>0$ giờ, tổng vận tốc $S>0$ km/h. Tìm điều kiện có hai vận tốc dương và viết công thức.

    Gợi ý bài 15

    Hiệu vận tốc là $D/t$.

  2. Trong bài hai xe đi về nhau cách $L>0$, xe đầu đi $3$ giờ, xe sau đi $2$ giờ, vận tốc đầu hơn sau $d>0$. Tìm điều kiện tồn tại hai vận tốc dương và chứng minh duy nhất.

    Gợi ý bài 16

    Giải $3u+2v=L,\ u-v=d$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. $u=(S+D/t)/2$, $v=(S-D/t)/2$. Hai vận tốc dương khi và chỉ khi $S>D/t$. Khi bằng, vật chậm đứng yên nên không thỏa “dương”. Thế lại cho $t(u-v)=D$ và $u+v=S$.

  2. Thế $u=v+d$ cho $5v=L-3d$, nên $v=(L-3d)/5$, $u=(L+2d)/5$. Với $L,d>0$, điều kiện là $L>3d$. Hệ số $5\ne0$ buộc đúng một cặp; khi điều kiện thỏa, cả hai dương và thay lại đúng hai dữ kiện.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án