Nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9

Bất phương trình bậc nhất một ẩn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-12-B1

Nhận dạng đúng đòi hỏi thu gọn hai vế, xác định hệ số của ẩn và kiểm hệ số ấy khác không. Dấu so sánh không quyết định bậc của bất phương trình.

Sau bài này, em có thể:

• Nhận dạng sau thu gọn.
• Xét hệ số và các trường hợp mất bậc.

Cần biết trước: Mô-đun 11; phương trình bậc nhất lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có thể viết $ax+b>0$, $ax+b<0$, $ax+b\ge0$ hoặc $ax+b\le0$, với $a\ne0$. Cần thu gọn trước khi nhận dạng. Nếu $a=0$, ta xét một mệnh đề số đúng hoặc sai; không chia cho hệ số bằng không.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hệ số âm vẫn bậc nhất

Cơ bản

Đề bài

$-3x+7\le0$ có bậc nhất không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Có: $a=-3\ne0,b=7$. Dấu $\le$ cho phép bằng, không làm đổi bậc.

Cách tự kiểm

Bậc phụ thuộc biểu thức sau thu gọn.

Ví dụ 2. Đưa về một vế

Cơ bản

Đề bài

Nhận dạng $5x-2>2x+4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tương đương $3x-6>0$, có $a=3,b=-6$, nên bậc nhất.

Cách tự kiểm

Phải chuyển cả $2x$ và $4$ đúng dấu.

Ví dụ 3. Ẩn bị triệt tiêu

Cơ bản

Đề bài

$2(x+1)>2x+1$ có thật sự bậc nhất không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Thu gọn thành $2>1$, đúng với mọi $x$; hệ số ẩn bằng $0$, nên không bậc nhất.

Cách tự kiểm

Có chữ $x$ trong đề chưa đủ.

Ví dụ 4. Phân số không làm tăng bậc

Cơ bản

Đề bài

Nhận dạng $x/3+2\ge0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$a=1/3\ne0,b=2$, nên bậc nhất; nhân với $3>0$ được $x+6\ge0$.

Cách tự kiểm

Mẫu là hằng số khác không.

Ví dụ 5. Bậc hai có thể triệt tiêu

Nâng cao

Đề bài

Nhận dạng $(x+1)^2>x^2+4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Khai triển rồi trừ $x^2$: $2x-3>0$, nên sau thu gọn là bậc nhất.

Cách tự kiểm

Không nhận dạng chỉ bằng số mũ xuất hiện.

Ví dụ 6. Hệ số có tham số

Nâng cao

Đề bài

Khi nào $(m-1)x+m\le0$ là bậc nhất? Xét giá trị ngoại lệ.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cần $m\ne1$. Tại $m=1$, bất phương trình là $1\le0$, sai với mọi $x$, nên vô nghiệm.

Cách tự kiểm

Giá trị ngoại lệ phải được thay vào đề.

Ví dụ 7. Mẫu chứa ẩn

Nâng cao

Đề bài

Có gọi $1/x<2$ là bậc nhất một ẩn trên toàn $\mathbb R$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. Biểu thức không xác định tại $x=0$ và hệ số của $x$ chưa có dạng $ax+b$. Không nhân với $x$ khi chưa biết dấu rồi nhận dạng tùy ý.

Cách tự kiểm

Xác định miền trước biến đổi.

Ví dụ 8. Họ luôn bậc nhất

Thử thách

Đề bài

Chứng minh $(m^2+1)x-2>0$ là bậc nhất với mọi $m$ thực.

Lời giải và cách suy nghĩ

$m^2\ge0$ nên hệ số $a=m^2+1\ge1>0$ với mọi $m$. Vì thế không có giá trị làm mất bậc; tập nghiệm là $x>2/(m^2+1)$.

Cách tự kiểm

Mẫu luôn dương nên chiều giữ nguyên.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhận bậc qua hình thức chưa thu gọn.
• Quên điều kiện hệ số khác không.
• Nhân với mẫu chứa ẩn khi chưa biết miền và dấu.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Nhận dạng trong: $2x-5>0$; $x^2+1\ge0$; $0x+3<0$; $-x\le4$.

   Gợi ý bài 1

   Thu gọn từng biểu thức và kiểm hệ số $x$ khác không.

2. Đưa $4x+1<2x+7$ về dạng $ax+b<0$ và nêu $a,b$.

   Gợi ý bài 2

   Trừ cùng $2x+7$ ở hai vế.

3. Với tham số $m$, khi nào $(m+2)x-1\ge0$ là bất phương trình bậc nhất?

   Gợi ý bài 3

   Giải điều kiện hệ số $m+2\ne0$.

4. Câu “chi $20$ nghìn phí cố định và $5$ nghìn mỗi cuốn, tổng không quá $100$ nghìn” cho bất phương trình nào với $x$ là số cuốn? Nêu thêm điều kiện $x$.

   Gợi ý bài 4

   Phân biệt phí cố định với phí theo số cuốn; “không quá” có dấu bằng.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $2x-5>0$ và $-x\le4$ là bậc nhất một ẩn (đưa về $-x-4\le0$). $x^2+1\ge0$ là bậc hai; $0x+3<0$ có hệ số ẩn bằng $0$.

2. $2x-6<0$, nên $a=2,b=-6$.

3. Khi $m+2\ne0$, tức $m\ne-2$.

4. $20+5x\le100$ với đơn vị nghìn đồng; $x$ là số nguyên không âm. Hệ số $5\ne0$ nên đây là bất phương trình bậc nhất.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Nhận dạng $7-2x<0$ và nêu $a,b$.

   Gợi ý bài 5

   Viết hạng chứa ẩn trước.

6. Đưa $3x+2\le x-4$ về dạng $ax+b\le0$.

   Gợi ý bài 6

   Trừ $x-4$ ở cả hai vế.

7. $0x-5>0$ có bậc nhất không? Có nghiệm không?

   Gợi ý bài 7

   Kiểm hệ số và mệnh đề số.

8. Nhận dạng $2(x-3)\ge x+1$.

   Gợi ý bài 8

   Khai triển rồi thu gọn.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $a=-2,b=7$; đây là bậc nhất.

6. $2x+6\le0$, nên $a=2,b=6$.

7. Không bậc nhất; $-5>0$ sai nên vô nghiệm.

8. $x-7\ge0$, bậc nhất với $a=1,b=-7$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Nhận dạng $x^2+3x<x^2+5$.

   Gợi ý bài 9

   Trừ cùng $x^2$.

10. Khi nào $(2m+1)x-4\ge0$ bậc nhất? Tại ngoại lệ có nghiệm không?

    Gợi ý bài 10

    Cho hệ số ẩn bằng không.

11. Khi nào $(m-2)x+m\le0$ mất bậc? Xét tập nghiệm lúc đó.

    Gợi ý bài 11

    Thay đúng $m=2$.

12. $4x+1\le4x+3$ có bậc nhất không và nhận những $x$ nào?

    Gợi ý bài 12

    Trừ cùng $4x$.

13. Chứng minh $(m^2+2)x+1<0$ không bao giờ mất bậc.

    Gợi ý bài 13

    $m^2$ không âm.

14. Cho ví dụ hai vế đều có $x^2$ nhưng sau thu gọn là bậc nhất, và một ví dụ chỉ còn mệnh đề số.

    Gợi ý bài 14

    Chọn cùng hệ số $x^2$ ở hai vế.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Tương đương $3x-5<0$, bậc nhất sau thu gọn.

10. Cần $m\ne-1/2$. Tại $m=-1/2$, $-4\ge0$ sai nên vô nghiệm.

11. Mất bậc tại $m=2$, khi đó $2\le0$ sai nên không có nghiệm.

12. Không: thu gọn $1\le3$, đúng với mọi $x\in\mathbb R$.

13. $a=m^2+2\ge2>0$, nên luôn khác không. Vì vậy mọi $m$ đều cho bất phương trình bậc nhất.

14. Ví dụ $x^2+2x>x^2+1$ thành $2x>1$; $x^2+2>x^2+1$ thành $2>1$. Thứ hai đúng mọi số nhưng không bậc nhất.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Phân loại theo $m$ bất phương trình $(m^2-1)x+m>0$: khi nào bậc nhất, tại hai ngoại lệ kết quả thế nào?

    Gợi ý bài 15

    $m^2-1=(m-1)(m+1)$.

16. Tìm $m$ để $m(x-2)>mx+1$ đúng với mọi $x$; giải thích vì sao không được chia cho hệ số của $x$.

    Gợi ý bài 16

    Thu gọn trước: các hạng $mx$ triệt tiêu.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Bậc nhất nếu $m\ne\pm1$. Tại $m=1$, $1>0$ đúng nên mọi $x$; tại $m=-1$, $-1>0$ sai nên vô nghiệm.

16. Điều kiện là $-2m>1$, tức $m<-1/2$. Khi đó bất phương trình đúng mọi $x$; ngoài miền đó không có nghiệm. Hệ số $x$ sau thu gọn bằng không, nên không có phép chia bậc nhất nào.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.