Kiểm nghiệm của bất phương trình bằng thay số – lớp 9

Bất phương trình bậc nhất một ẩn · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-12-B2

Một số là nghiệm khi phép thay vào làm bất phương trình trở thành mệnh đề đúng. Kiểm một vài số chỉ trả lời cho các số ấy, chưa xác định toàn bộ tập nghiệm.

Sau bài này, em có thể:

• Kiểm nghiệm bằng thay số.
• Phân biệt ví dụ, phản ví dụ và chứng minh cả tập.

Cần biết trước: Mô-đun 11; phương trình bậc nhất lớp 8.

1. Kiến thức và phương pháp

Với một giá trị thuộc miền xác định, tính riêng hai vế rồi so sánh bằng đúng dấu của đề. Phân biệt kiểm nghiệm và giải bất phương trình: ví dụ đúng không chứng minh mọi giá trị đều đúng; một phản ví dụ đủ bác bỏ nhận định “mọi”.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Thay một số dương

Cơ bản

Đề bài

Kiểm $x=3$ với $2x-1>4$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế trái $2\cdot3-1=5>4$, nên $3$ là nghiệm.

Cách tự kiểm

Nêu so sánh chứ không chỉ ghi hai vế khác nhau.

Ví dụ 2. Thay số âm có ngoặc

Cơ bản

Đề bài

Kiểm $x=-2$ với $-4x\le7$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$-4(-2)=8$, mà $8\le7$ sai; $-2$ không là nghiệm.

Cách tự kiểm

Phép nhân hai số âm cho dương.

Ví dụ 3. Điểm biên nghiêm

Cơ bản

Đề bài

Kiểm $x=2$ trong $3x<6$ và $3x\le6$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Thay vào được $6<6$ sai và $6\le6$ đúng. Giá trị biên chỉ được nhận ở dấu không nghiêm.

Cách tự kiểm

Dấu bằng quyết định.

Ví dụ 4. Phân số là nghiệm

Cơ bản

Đề bài

Kiểm $x=1/2$ với $4x+1\ge3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$4(1/2)+1=3$, nên $3\ge3$ đúng.

Cách tự kiểm

Giữ phân số chính xác tránh làm tròn.

Ví dụ 5. Một nghiệm chưa là mọi nghiệm

Nâng cao

Đề bài

Từ $x=1$ thỏa $x<2$, có thể nói mọi $x>0$ đều thỏa không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $x=3>0$ nhưng $3<2$ sai. Kiểm $1$ không bao phủ tất cả số dương.

Cách tự kiểm

Phản ví dụ phải nằm trong miền được khẳng định.

Ví dụ 6. Sửa tiêu chí sai

Nâng cao

Đề bài

Bạn dùng “hai vế khác nhau” để kiểm $x+2>5$. Hãy bác bỏ bằng $x=0$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tại $0$, hai vế là $2$ và $5$, khác nhau nhưng $2>5$ sai. Phải kiểm chiều so sánh, không chỉ sự khác nhau.

Cách tự kiểm

Khác nhau phù hợp dấu $\ne$, không thay dấu $>$.

Ví dụ 7. Kiểm cả điều kiện đếm

Nâng cao

Đề bài

Giá trị $n=2{,}5$ thỏa $2n\le6$; có là số cuốn sách hợp lệ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Về đại số, $5\le6$ đúng. Nhưng số cuốn phải nguyên không âm, nên $2{,}5$ không là phương án của mô hình.

Cách tự kiểm

Tập nghiệm đại số và phương án thực tế khác miền.

Ví dụ 8. Kiểm một họ giá trị

Thử thách

Đề bài

Chứng minh mọi $x\le-1$ đều thỏa $2x+3\le1$, và không có $x>-1$ thỏa.

Lời giải và cách suy nghĩ

Nếu $x\le-1$, nhân $2$ rồi cộng $3$ được $2x+3\le1$. Ngược lại, từ bất phương trình trừ $3$, chia $2$ suy $x\le-1$. Do đó điều kiện tương đương.

Cách tự kiểm

Hai chiều xác định toàn bộ nghiệm, vượt việc thử vài số.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm khác nhau thay vì đúng chiều.
• Thay số âm không có ngoặc.
• Quên miền đếm hoặc kết luận toàn bộ chỉ từ vài lần thử.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Trong $-1,0,2,3$, số nào là nghiệm của $x+1\ge3$?

   Gợi ý bài 1

   Thế lần lượt bốn số hoặc so với chặn $x\ge2$.

2. Kiểm $x=-2$ và $x=2$ đối với $-3x<5$.

   Gợi ý bài 2

   Dùng ngoặc khi thế $-2$ vào $-3x$.

3. Số $x=4$ có là nghiệm của $x<4$ và $x\le4$ không?

   Gợi ý bài 3

   Kiểm hai mệnh đề $4<4$ và $4\le4$.

4. Bạn An kiểm $2x+3>7$ tại $x=3$ rồi ghi “vì $9\ne7$ nên thỏa”. Sửa lí do, và cho một giá trị mà khác $7$ vẫn không thỏa.

   Gợi ý bài 4

   Số khác $7$ có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn $7$.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. Cần $x\ge2$, nên $2$ và $3$ thỏa. $-1,0$ không thỏa vì sau cộng $1$ vẫn nhỏ hơn $3$.

2. $x=-2$ cho $6<5$ sai; $x=2$ cho $-6<5$ đúng.

3. $4$ không thỏa $x<4$ nhưng thỏa $x\le4$. Dấu bằng quyết định có nhận điểm biên.

4. Tại $x=3$, $2x+3=9>7$ nên thỏa. Nhưng $x=0$ cho $3\ne7$ mà $3>7$ sai, cho thấy chỉ kiểm khác nhau là chưa đủ.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Kiểm $x=0$ và $x=2$ với $3x+1>5$.

   Gợi ý bài 5

   Tính lần lượt $1$ và $7$.

6. Kiểm $x=-1$ với $-2x\ge2$.

   Gợi ý bài 6

   Tính $-2(-1)$.

7. Kiểm $x=3$ với $x<3$ và $x\le3$.

   Gợi ý bài 7

   Xét dấu bằng.

8. Kiểm $x=2/3$ với $3x-2\le0$.

   Gợi ý bài 8

   Không cần đổi sang thập phân.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $0$ không thỏa vì $1>5$ sai; $2$ thỏa vì $7>5$ đúng.

6. Vế trái bằng $2$; $2\ge2$ đúng.

7. $3$ không thỏa bất phương trình nghiêm, thỏa bất phương trình có bằng.

8. $3(2/3)-2=0\le0$, nên thỏa.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Trong $-3,-1,0,2$, số nào thỏa $-2x+1>3$?

   Gợi ý bài 9

   Thay từng số hoặc giải $x<-1$.

10. Bạn kiểm $x=-2$ trong $x+1\ge0$ rồi ghi “$-1\ne0$ nên đúng”. Sửa.

    Gợi ý bài 10

    Đúng dấu là $\ge$.

11. Có phải mọi số âm đều thỏa $x<-2$? Nêu một số thỏa và một phản ví dụ.

    Gợi ý bài 11

    Chọn hai phía của $-2$.

12. Có phải mọi $x\ge4$ thỏa $3x-2\ge10$?

    Gợi ý bài 12

    Từ $x\ge4$ nhân $3$ rồi trừ $2$.

13. Để kiểm nhận định “mọi $x<5$ đều thỏa $2x<8$”, cần bao nhiêu phản ví dụ? Cho một.

    Gợi ý bài 13

    Chọn số giữa $4$ và $5$.

14. Với $n$ nguyên không âm, trong $-1,0,1{,}5,2$ giá trị nào là phương án của $3n\le6$?

    Gợi ý bài 14

    Kiểm cả nguyên không âm và bất phương trình.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. Chỉ $-3$ thỏa. $-1$ cho bằng $3$ nên bị loại, còn $0,2$ có vế trái nhỏ hơn $3$.

10. $-1\ge0$ sai, nên $-2$ không là nghiệm; khác $0$ chưa đủ.

11. Không. $-3$ thỏa, nhưng $-1$ âm và không nhỏ hơn $-2$.

12. Có: $3x-2\ge12-2=10$; điểm $4$ cho bằng.

13. Một phản ví dụ đủ: $x=4{,}5<5$ nhưng $2x=9>8$. Nhiều số thỏa khác không cứu nhận định mọi.

14. $0,2$ hợp lệ. $-1$ thỏa bất phương trình nhưng âm; $1{,}5$ thỏa nhưng không nguyên.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Tìm mọi $a$ để $x=2$ là nghiệm của $ax+1>7$.

    Gợi ý bài 15

    Thay $x=2$ trước, ẩn cần tìm là $a$.

16. Chứng minh không thể vừa có $x$ thỏa $2x+1<5$ vừa thỏa $x\ge2$.

    Gợi ý bài 16

    Rút chặn từ bất phương trình thứ nhất.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $2a+1>7$ tương đương $a>3$. Tại $a=3$ chỉ có bằng, bị loại.

16. $2x+1<5$ tương đương $x<2$, mâu thuẫn $x\ge2$. Vì vậy không có số cần tìm; thử một vài số riêng không thay chứng minh này.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.