Đến nội dung chính

Tính khoảng cách, chiều cao chỉ tới một đầu – lớp 9

THCSLớp 9Thực hành và tổng hợpMở mô-đun

Dự án đo đạc hình khối và video toán · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-59-B2

Khoảng cách ngang, độ cao mắt và góc nâng phải được đặt vào cùng một hình. Sau khi tính, ta kiểm kết quả bằng đơn vị, vị trí điểm và khoảng sai số đã giả định.

Sau bài này, em có thể:

  • Tính khoảng cách hoặc chiều cao từ mô hình tam giác vuông có số liệu.
  • Cho khoảng kết quả và nêu tác động của sai số góc, độ dài.

Cần biết trước: Mô-đun 25,39,44. Có bản vẽ hoặc mô hình bàn học thay đo thực; ghi rõ đã làm hay mới đề xuất.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Đo từ mắt ở độ cao $e$ so với mặt phẳng ngang chung, khoảng cách ngang tới chân vật là $d>0$, góc nâng $\alpha$ nhọn: chiều cao vật $H=e+d\tan\alpha$. Phải phân biệt $d$ với đoạn nhìn xiên. Máy tính dùng chế độ độ; giữ đủ chữ số trung gian rồi làm tròn ở cuối. Kết quả dưới đây thuộc mô hình đã cho.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Khoảng cách với góc đặc biệt

Cơ bản

Đề bài

Tam giác vuông tại $A$, $AC=15$ m, góc $C=30^\circ$. Tính $AB$ chính xác.

Lời giải và cách suy nghĩ

$AB=15/\sqrt3=5\sqrt3$ m.

Cách tự kiểm

$5\sqrt3<15$ vì góc đối $AB$ nhỏ hơn $45^\circ$.

Ví dụ 2. Chiều cao cộng độ cao mắt

Vận dụng

Đề bài

Khoảng ngang $d=12$ m, mắt cao $1{,}6$ m, góc nâng $45^\circ$. Tính chiều cao.

Lời giải và cách suy nghĩ

Phần cao trên mắt $12\tan45^\circ=12$ m. Tổng $H=13{,}6$ m.

Cách tự kiểm

$12$ m chưa phải chiều cao từ đất.

Ví dụ 3. Đoạn xiên không là đoạn ngang

Vận dụng

Đề bài

Tia nhìn dài $10$ m, góc nâng $30^\circ$, mắt cao $1{,}5$ m. Tính chiều cao và khoảng ngang.

Lời giải và cách suy nghĩ

Phần cao trên mắt $10\sin30^\circ=5$ m nên $H=6{,}5$ m. Khoảng ngang $10\cos30^\circ=5\sqrt3$ m.

Cách tự kiểm

Không thay đoạn xiên $10$ vào vị trí $d$ của công thức tang.

Ví dụ 4. Tìm nơi đứng từ chiều cao

Vận dụng

Đề bài

Vật cao $14$ m, mắt cao $2$ m, muốn góc nâng $60^\circ$. Tìm khoảng ngang.

Lời giải và cách suy nghĩ

Độ cao tương đối $12$ m. Khoảng ngang $d=12/\sqrt3=4\sqrt3$ m.

Cách tự kiểm

Dùng $14-2$, không dùng toàn chiều cao $14$.

Ví dụ 5. Giới hạn sai số chỉ từ độ dài

Nâng cao

Đề bài

Góc nâng chính xác $45^\circ$, mắt cao $1{,}5$ m; khoảng ngang nằm trong $[9{,}8;10{,}2]$ m. Cho khoảng chiều cao.

Lời giải và cách suy nghĩ

$H=1{,}5+d$, nên $H\in[11{,}3;11{,}7]$ m. Khoảng này không gồm sai số mắt hay góc nếu chúng chưa được cho.

Cách tự kiểm

Cộng cùng một số giữ chiều hai cận.

Ví dụ 6. Hai phép tính phải cho cùng chiều cao

Vận dụng

Đề bài

Tại điểm gần: $d=8$ m, góc nâng $45^\circ$; tại điểm xa: $d=8\sqrt3$ m, góc nâng $30^\circ$. Mắt cùng cao $1{,}5$ m. Kiểm hai kết quả.

Lời giải và cách suy nghĩ

Cả hai cho phần cao $8$ m, nên chiều cao $9{,}5$ m. Đây là kiểm nhất quán của dữ kiện, chưa chứng minh số đo ngoài thực tế chính xác.

Cách tự kiểm

$8\sqrt3\cdot1/\sqrt3=8$.

Ví dụ 7. Hai góc khi chưa biết khoảng ngang

Nâng cao

Đề bài

Hai vị trí cùng mức mắt cao $1{,}5$ m, cách nhau $10$ m trên đường ngang về phía vật. Góc gần $60^\circ$, góc xa $30^\circ$. Tìm chiều cao.

Lời giải và cách suy nghĩ

Gọi khoảng gần $x>0$, phần cao trên mắt $h$. Có $h=x\sqrt3=(x+10)/\sqrt3$, nên $3x=x+10$, $x=5$. Do đó $H=1{,}5+5\sqrt3$ m.

Cách tự kiểm

Giữ đúng hiệu hai khoảng ngang $10$ m.

Ví dụ 8. Khoảng chiều cao từ hai sai số

Thử thách

Đề bài

Biết $e=1{,}6$ m chính xác, $d\in[9;11]$ m, góc nâng $\alpha\in[30^\circ;45^\circ]$, mọi cặp được phép. Cho cận chính xác của $H$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tang dương và tăng trên khoảng đã cho; tích tăng theo cả hai đại lượng. Vì vậy $1{,}6+9/\sqrt3\le H\le1{,}6+11$, tức $1{,}6+3\sqrt3\le H\le12{,}6$ m. Các đầu mút đạt được.

Cách tự kiểm

Nêu rõ các khoảng và tính đơn điệu; không chỉ dùng các giá trị giữa.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Viết phương trình khi chưa xác định rõ ý nghĩa và điều kiện của ẩn.
  • Dùng một công thức sau khi đã thay đổi giả thiết của mô hình.
  • Chỉ kiểm số cuối mà không kiểm đơn vị, điều kiện và cách suy luận.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Theo mô hình vuông tại $A$, $AC=20$ m, $\angle ACB=30^\circ$. Tính $AB$ đến $0{,}1$ m.

    Gợi ý bài 1

    Tang dùng khoảng ngang, giữ làm tròn ở cuối.

  2. Để đo chiều cao $BH$, $H$ là chân vuông góc trên mặt phẳng ngang. Mắt ở $M$ cao $1{,}5$ m so với mặt đất; khoảng cách ngang đến $BH$ là $10$ m, góc nâng từ mắt đến $B$ là $40^\circ$. Tính $BH$ đến $0{,}1$ m.

    Gợi ý bài 2

    Cộng độ cao mắt sau khi tính phần cao trên mắt.

  3. Một mô hình cho $AC=10$ m, $\angle ACB=45^\circ$ với sai số góc trong $[44^\circ;46^\circ]$, $AC$ coi chính xác, tam giác vuông tại $A$. Dùng tính tăng của tang trên góc nhọn để cho khoảng $AB$ gần đúng.

    Gợi ý bài 3

    Tang tăng trên khoảng góc nhọn đã cho.

  4. Viết bản ghi phương án đo chỉ tới được $A,C$: nêu dữ kiện sẽ đo, công thức, cách kiểm và điều chưa thực hiện. Có thể dùng số giả định.

    Gợi ý bài 4

    Nêu dữ kiện sẽ đo và điều chưa thực hiện.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. $AB=20\tan30^\circ=20/\sqrt3\approx11{,}5$ m. Dùng chế độ độ và làm tròn cuối.

  2. Phần cao trên mắt $10\tan40^\circ\approx8{,}391$ m; $BH\approx9{,}9$ m. Không quên cộng $1{,}5$ m; giả thiết mắt và chân $H$ có cùng mặt phẳng ngang tham chiếu.

  3. $10\tan44^\circ\le AB\le10\tan46^\circ$. Làm tròn các cận ra ngoài cho $9{,}65\le AB\le10{,}36$ m. Đây là khoảng do sai số góc đã giả định, chưa gồm sai số chiều dài.

  4. Ví dụ: dựng $AC\perp AB$, đo $AC$ và góc $ACB$; tính $AB=AC\tan\angle ACB$, kiểm đơn vị/chế độ độ và đo lặp. Nếu chưa làm phải ghi kế hoạch, không khẳng định số đo thực.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Khoảng ngang $20$ m, mắt cao $1{,}4$ m, góc nâng $45^\circ$. Tính chiều cao.

    Gợi ý bài 5

    Cộng phần cao trên mắt và độ cao mắt.

  2. Khoảng ngang $6\sqrt3$ m, góc nâng $30^\circ$, mắt cao $1{,}6$ m. Tính chiều cao.

    Gợi ý bài 6

    Tích với $1/\sqrt3$.

  3. Đoạn nhìn xiên $12$ m, góc nâng $30^\circ$, mắt cao $1{,}5$ m. Tính chiều cao.

    Gợi ý bài 7

    Cạnh xiên là cạnh huyền.

  4. Góc nâng $60^\circ$, phần cao trên mắt $9$ m. Tính khoảng ngang.

    Gợi ý bài 8

    $d=h/\tan\alpha$.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. $H=21{,}4$ m.

  2. $H=1{,}6+6=7{,}6$ m.

  3. $H=1{,}5+12\sin30^\circ=7{,}5$ m.

  4. $d=9/\sqrt3=3\sqrt3$ m.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Một bạn dùng $H=10\tan45^\circ=10$ m dù mắt cao $1{,}7$ m. Chỉ ra điều đã bỏ và sửa.

    Gợi ý bài 9

    $10$ m là khoảng ngang.

  2. Giữ mắt cao $1{,}5$ m, góc nâng $30^\circ$. Nếu khoảng ngang tăng $3\sqrt3$ m, chiều cao suy ra tăng bao nhiêu?

    Gợi ý bài 10

    So hiệu hai công thức.

  3. Vật cố định cao $10$ m, mắt cao $2$ m. So khoảng ngang để nhìn góc $30^\circ$ với góc $45^\circ$.

    Gợi ý bài 11

    Phần cao trên mắt là $8$ m.

  4. $d=10$ m chính xác, mắt cao $e\in[1{,}4;1{,}6]$ m, góc chính xác $45^\circ$. Cho khoảng $H$.

    Gợi ý bài 12

    Tang $45^\circ=1$.

  5. Hai vị trí cùng mắt cao $2$ m, cách nhau $6$ m, góc gần $45^\circ$, góc xa $30^\circ$. Tính chiều cao chính xác.

    Gợi ý bài 13

    Đặt $h=x=(x+6)/\sqrt3$.

  6. $d\in[8;10]$ m và góc $\alpha\in[30^\circ;60^\circ]$, mắt cao $1{,}5$ m. Cho khoảng chắc chắn chứa $H$.

    Gợi ý bài 14

    Tích dương tăng theo hai biến.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Đã bỏ độ cao mắt. Chiều cao đúng trong mô hình $11{,}7$ m.

  2. Tăng $3\sqrt3/\sqrt3=3$ m. Đây là thay đổi dữ kiện của mô hình, không phải vật thật thay chiều cao.

  3. Góc $30^\circ$ cần $8\sqrt3$ m, góc $45^\circ$ cần $8$ m. Góc nhỏ hơn ứng với điểm xa hơn.

  4. $H\in[11{,}4;11{,}6]$ m.

  5. $x=3(\sqrt3+1)$, nên $H=2+3(\sqrt3+1)=5+3\sqrt3$ m.

  6. $1{,}5+8/\sqrt3\le H\le1{,}5+10\sqrt3$. Khoảng bảo thủ dùng mọi cặp dữ kiện được phép.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Một mô hình có khoảng ngang $10$ m, mắt cao $1{,}5$ m, chiều cao vật $11{,}5$ m. Người nhập máy ở radian và bấm tan(45) có đúng không? Đề xuất phép kiểm không cần tính tan(45 rad).

    Gợi ý bài 15

    Từ hình đã biết phần cao bằng khoảng ngang.

  2. Hai người có độ cao mắt $e_1,e_2$, đứng cùng vị trí ngang cách vật $d>0$, đo góc $\alpha_1,\alpha_2$ cùng vật cao $H$. Lập hệ và nêu khi nào tìm được $d$.

    Gợi ý bài 16

    Trừ hai công thức $H=e_i+d\tan\alpha_i$.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Góc cần $45^\circ$ vì tỉ số đối/kề $1$. Phải dùng Degree hoặc đổi sang $\pi/4$ rad. Kết quả đúng $11{,}5$ m; một giá trị khác không khớp tam giác vuông cân.

  2. $d(\tan\alpha_1-\tan\alpha_2)=e_2-e_1$. Nếu hai tang khác nhau, $d=(e_2-e_1)/(\tan\alpha_1-\tan\alpha_2)$ và phải kiểm $d>0$. Nếu hai tang bằng nhau, cần $e_1=e_2$; khi ấy chỉ hai công thức trùng nhau nên không xác định riêng $d,H$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án