Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 19 – Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG VI · BÀI 19

Từ xác suất theo nhóm đến xác suất sau khi có tín hiệu

Tách các trường hợp, tính xác suất quan sát được, rồi xác định khả năng của từng nhóm sau khi biết kết quả.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Từ xác suất theo nhóm đến xác suất có tín hiệu

Một cơ sở chọn ngẫu nhiên một linh kiện. Gọi A là biến cố linh kiện cần hiệu chỉnh và H là biến cố máy báo cần kiểm tra. Mô hình có P(A)=1/5, P(H∣A)=3/4 và P(H∣A‾)=1/8. Hai nhánh A và A‾ rời nhau và bao quát mọi linh kiện. Vì có hai đường đi đến H, ta tính
P(H)=15⋅34+45⋅18=14.

Mỗi tích là xác suất của một biến cố giao. Cộng hai tích để được xác suất trước khi biết máy báo hay không.
Nhóm ban đầuKết quả quan sát1/54/53/41/41/87/8Bắt đầuCần chỉnhKhông cần chỉnhCó tín hiệuKhông có tín hiệuCó tín hiệuKhông có tín hiệu
Hai đường đi đến “Có tín hiệu” có xác suất giao (1/5)(3/4) và (4/5)(1/8).

Suy ngược nhóm khi đã có tín hiệu

Khi đã có tín hiệu, chỉ xét các linh kiện thuộc H. Công thức Bayes cho
P(A∣H)=P(A∩H)P(H)=3/201/4=35.

Bảng dùng số đếm kỳ vọng để minh họa điều này. Có 12 trên 20 linh kiện được báo thuộc nhóm cần hiệu chỉnh. Nếu máy không báo, ta chuyển sang cột còn lại, nên P(A∣H‾)=4/60=1/15.
Số linh kiện kỳ vọng theo mô hình trên 80 linh kiện
Tình trạngCó tín hiệuKhông có tín hiệuTổng
Cần hiệu chỉnh12416
Không cần hiệu chỉnh85664
Tổng206080

Tìm tỉ lệ ban đầu để đạt ngưỡng sau tín hiệu

Giữ nguyên P(H∣A)=3/4 và P(H∣A‾)=1/8, nhưng cho p=P(A) thay đổi trong (0;1). Khi đó P(A∣H)=6p/(1+5p). Vì 1+5p>0, điều kiện P(A∣H)≥4/5 tương đương 30p≥4+20p, hay p≥2/5. Thế p=2/5 vào biểu thức xác suất để kiểm trường hợp đạt đúng ngưỡng.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Tính theo quy mô từng nhóm
Trong 100 sản phẩm có 40 sản phẩm thuộc nhóm I. Tỉ lệ được chọn trong nhóm I và nhóm II lần lượt là 1/2 và 1/3. Có 20 sản phẩm mỗi nhóm được chọn theo các số liệu đó. Khi lấy đều một sản phẩm trong số được chọn, xác suất nó thuộc nhóm I bằng 20/40=1/2, còn tỉ lệ nhóm I trước khi lọc bằng 40/100.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

5 câu. Đọc nhánh, tìm xác suất của biến cố đối và tính xác suất quan sát.

Ví dụ bù trong cùng nhánh
Nếu P(H∣A)=4/5 thì P(H‾∣A)=1/5. Cả hai phép tính đều xét trong nhánh A.

Vận dụng

5 câu. Gắn trọng số cho từng trường hợp rồi suy ngược nhóm khi có kết quả.

Ví dụ cộng sau khi nhân trọng số
Nếu P(A)=1/3, P(H∣A)=2/5 và P(H∣A‾)=1/10 thì P(H)=(1/3)(2/5)+(2/3)(1/10)=1/5.

Nâng cao

5 câu. Kiểm từng nhận định, tìm tham số và so sánh xác suất trước và sau tín hiệu.

Ví dụ so sánh theo cùng mẫu số
Nếu hai nhóm đóng góp 1/10 và 3/20 vào biến cố H, thì trong nhóm có H, tỉ lệ hai khả năng đúng bằng (1/10):(3/20)=2:3. Nhóm thứ hai chiếm 3/5.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn xác suất có điều kiện và cách chọn mẫu số

Xác định các trường hợp rời nhau và bao quát

Hai nhánh A và A‾ bao quát mọi kết quả và có xác suất cộng lại bằng 1. Mỗi đường đi đến lá biểu diễn một biến cố giao. Nhân các xác suất dọc đường đi để tính xác suất của giao đó.

Cộng xác suất của các nhánh dẫn tới kết quả

Biến cố H là hợp rời của A∩H và A‾∩H. Nếu 0<P(A)<1, suy ra P(H)=P(A)P(H∣A)+P(A‾)P(H∣A‾). Nếu một nhánh có xác suất 0, có thể bỏ nhánh đó và tính từ nhánh còn lại.

Chia xác suất giao cho xác suất của tín hiệu

Khi P(H)>0, P(A∣H)=P(A∩H)/P(H). Tử số chỉ là phần của nhóm A đi vào H, còn mẫu số gom mọi nhóm đi vào H.

Giữ cố định biến cố sau dấu điều kiện

Trong cùng nhóm A có xác suất dương, P(H‾∣A)=1−P(H∣A). Để suy ngược sau khi thấy H‾, hãy cộng các nhánh đi tới H‾ và dùng P(H‾) làm mẫu số.

Viết xác suất theo tham số rồi kiểm miền

Đặt p là xác suất ban đầu của nhóm A với 0<p<1. Biểu diễn xác suất giao và xác suất của tín hiệu theo p. Chỉ nhân hai vế của bất đẳng thức với mẫu số sau khi đã kiểm mẫu số dương.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Tính xác suất qua hai cấu hình và tìm chiều ngược

Một ứng dụng chọn cấu hình A với xác suất 2/5 và cấu hình B trong trường hợp còn lại. Với A, hai lần xử lí độc lập, mỗi lần hoàn thành với xác suất 3/4. Với B, ứng dụng chỉ chạy một lần, hoàn thành với xác suất 2/3. Gọi H là biến cố có ít nhất một lần hoàn thành. (a) Tính P(H∣A), P(H∣B) và P(H). (b) Khi quan sát thấy không có lần nào hoàn thành, hãy tính xác suất đã chọn cấu hình A.
Mở gợi ý
Ở cấu hình A, lấy phần bù của trường hợp cả hai lần thất bại. Để trả lời (b), giữ cả hai nhánh dẫn đến thất bại trong mẫu số.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Ở cấu hình A, hai lần thất bại với xác suất (1/4)2=1/16, nên P(H∣A)=15/16. Ở cấu hình B, P(H∣B)=2/3. Công thức xác suất toàn phần cho P(H)=(2/5)(15/16)+(3/5)(2/3)=3/8+2/5=31/40. (b) Xác suất chọn A và không hoàn thành là (2/5)(1/16)=1/40. Vì P(H‾)=9/40>0, công thức Bayes cho P(A∣H‾)=(1/40)/(9/40)=1/9.
  • Nêu điều kiện độc lập khi viết (1/4)2.
  • Hai nhánh không hoàn thành có tổng 1/40+1/5=9/40.
  • Mẫu số ở (b) là P(H‾).

Bài 2 · Tìm ngưỡng để một cảnh báo có ý nghĩa

Trong một lô, mỗi mặt hàng có xác suất p∈(0,1) cần kiểm lại. Hệ thống phát cảnh báo cho mặt hàng cần kiểm lại với xác suất 9/10 và cho mặt hàng không cần kiểm lại với xác suất 1/20. Gọi A là biến cố mặt hàng cần kiểm lại và C là biến cố có cảnh báo. (a) Tính P(C) và P(A∣C) theo p. (b) Tìm tất cả p để P(A∣C)≥3/4. (c) So sánh kết quả ở p=1/10 với ngưỡng 3/4.
Mở gợi ý
Viết xác suất hai nhánh có cảnh báo. Sau khi rút gọn biểu thức Bayes, xác nhận mẫu số dương trước khi giải bất đẳng thức.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Ta có P(C)=(9/10)p+(1/20)(1−p)=(1+17p)/20>0. Theo công thức Bayes, P(A∣C)=18p/(1+17p). (b) Do 1+17p>0, bất đẳng thức tương đương 72p≥3+51p, tức p≥1/7. Kết hợp miền ban đầu được 1/7≤p<1. (c) Tại p=1/10, hậu nghiệm bằng (18/10)/(27/10)=2/3<3/4.
  • Cả hai nhóm đều có nhánh cảnh báo, dù xác suất ở nhóm thứ hai nhỏ.
  • Tại p=1/7, hậu nghiệm bằng đúng 3/4.
  • Tại p=1/10, kiểm 2/3 bằng tỉ số trực tiếp của hai xác suất.

Bài 3 · Dựng lại xác suất từ dữ liệu hai nhóm

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Gọi A là biến cố sản phẩm đến từ tổ A, còn H là biến cố sản phẩm vượt qua kiểm tra. Biết P(A)=3/10, P(H)=7/10 và P(A∣H)=3/7. (a) Tính xác suất sản phẩm đến từ tổ A và vượt qua kiểm tra. (b) Tính P(H∣A) và P(H∣A‾). (c) Hai biến cố A,H có độc lập không? Tính thêm P(A‾∣H‾).
Mở gợi ý
Từ P(A∣H) và P(H), dùng công thức nhân theo chiều đã biết. Lập bốn ô xác suất giao từ các tổng theo hàng và cột.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Ta có P(A∩H)=(7/10)(3/7)=3/10. (b) Do P(A)=3/10, P(H∣A)=1. Xác suất giao còn lại trong cột đạt là P(A‾∩H)=7/10−3/10=4/10, nên P(H∣A‾)=(4/10)/(7/10)=4/7. (c) Vì 1=P(H∣A)≠P(H), hai biến cố phụ thuộc. Từ P(A∩H‾)=0 và P(H‾)=3/10>0, suy ra P(A‾∣H‾)=1.
  • Tích P(H)P(A∣H) cho xác suất giao.
  • Kiểm lại công thức toàn phần: (3/10)⋅1+(7/10)(4/7)=7/10.
  • Biến cố điều kiện H‾ có xác suất dương dù ô A∩H‾ bằng 0.