Tự luyện Toán 12 · Bài 9 – Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG III · BÀI 9

Đọc mức độ phân tán từ bảng số liệu ghép nhóm

Chọn nhóm có dữ liệu, dùng tần số tích lũy để tìm các tứ phân vị, rồi giải thích khi nào nên dùng khoảng biến thiên hoặc khoảng tứ phân vị.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Dùng tần số tích lũy để nội suy hai tứ phân vị

Thời gian đợi của 20 lượt giao dịch
Thời gian (phút)	$[0; 4)$	$[4; 8)$	$[8; 12)$
Số lượt	$4$	$8$	$8$

Có

n = 20

lượt. Tần số tích lũy lần lượt là

4

12

và

20

. Vì

4 < n / 4 = 5 \leq 12

, dùng nhóm

[4; 8)

để tính

Q_{1} = 4 + \frac{5 - 4}{8} \cdot 4 = 4,5

. Tương tự,

12 < 3 n / 4 = 15 \leq 20

, nên

Q_{3} = 8 + \frac{15 - 12}{8} \cdot 4 = 9,5

. Khoảng tứ phân vị bằng

5

phút.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

3 câu. Đọc nhóm, tần số và hai đầu mút của mẫu ghép nhóm.

Vận dụng

3 câu. Tìm nhóm chứa tứ phân vị, nội suy và so sánh hai mẫu.

Nâng cao

3 câu. Phân biệt mẫu gốc với mẫu ghép nhóm và giải thích khi hai thước đo cho thứ tự khác nhau.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Học tiếp phương sai và độ lệch chuẩn

Kiểm hai đầu của khoảng nửa kín

Nhóm

[a; b)

nhận các giá trị

x

thỏa

a \leq x < b

. Giá trị đúng bằng

b

thuộc nhóm tiếp theo nếu nhóm ấy bắt đầu ở

b

. Cỡ mẫu

n

bằng tổng các tần số.

Bỏ các nhóm trống ở hai đầu

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm bằng đầu mút phải của nhóm cuối có tần số dương trừ đầu mút trái của nhóm đầu có tần số dương. Nếu có mẫu gốc, tính khoảng biến thiên gốc bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.

Đọc cột tần số tích lũy

Với

r \in {1, 2, 3}

, tính mốc

r n / 4

. Dùng nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt hoặc vượt mốc. Khi mốc đúng bằng tần số tích lũy của một nhóm, nội suy đến đầu mút phải của nhóm ấy.

Thay đủ cận, độ rộng và tần số

Gọi

L

là cận trái của nhóm dùng để nội suy,

h

là độ rộng nhóm,

m

là tần số nhóm và

F

là tần số tích lũy trước nhóm. Khi đó

Q_{r} = L + \frac{r n / 4 - F}{m} h .

Khoảng tứ phân vị là

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Chọn số đặc trưng theo câu hỏi

Khoảng biến thiên mô tả toàn bộ bề rộng từ nhóm đầu đến nhóm cuối có số liệu. Khoảng tứ phân vị mô tả bề rộng của nửa giữa nên thường ít nhạy hơn với giá trị ở hai đầu. Khi so sánh, nêu rõ số đặc trưng được dùng và kết luận trong phạm vi các mẫu đang xét.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Từ mẫu gốc đến bảng ghép nhóm

Thời gian (phút) của tám lượt đọc là

21, 23, 26, 32, 33, 35, 37, 42

. Hoàn thành bảng theo ba nhóm đã cho. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu gốc rồi của mẫu ghép nhóm. Chỉ rõ phép tính nào dựa trên các cận và phép tính nào dựa trên các giá trị quan sát.

Các nhóm thời gian cần điền tần số
Thời gian (phút)	$[20; 30)$	$[30; 40)$	$[40; 50)$
Tần số	?	?	?

Mở gợi ý

Với mẫu gốc, chia dãy đã sắp thành hai nửa bằng nhau. Với bảng, tìm nhóm chứa hai vị trí

2

và

6

Xem lời giải và tự kiểm

Tần số lần lượt là

3, 4, 1

. Mẫu gốc có

R = 42 - 21 = 21

Q_{1} = (23 + 26) / 2 = 24,5

Q_{3} = (35 + 37) / 2 = 36

, nên

Δ_{Q} = 11,5

. Với bảng,

R = 50 - 20 = 30

Q_{1} = 20 + \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{80}{3}

và

Q_{3} = 30 + \frac{6 - 3}{4} \cdot 10 = \frac{75}{2}

. Suy ra

Δ_{Q} = \frac{65}{6} \approx 10,83

phút. Chỉ số của mẫu gốc được tính trực tiếp. Chỉ số từ bảng dùng cận nhóm và nội suy để xấp xỉ chỉ số gốc.

Ghi đủ tần số theo thứ tự và kiểm tổng $8$ .
Dùng trung vị của hai nửa cho mẫu gốc.
Phân biệt đơn vị và hai loại kết quả.

Bài 2 · Cùng mức trung bình, khác độ phân tán

Bảng cho thu nhập ở hai tổ. Tính số trung bình và khoảng tứ phân vị của từng mẫu ghép nhóm. Tổ nào có thu nhập tập trung hơn ở phần giữa?

Bảng tần số theo nhóm thu nhập
Thu nhập (triệu đồng)	$[5; 9)$	$[9; 13)$	$[13; 17)$	$[17; 21)$	$[21; 25)$
Tổ A	$2$	$6$	$8$	$6$	$2$
Tổ B	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$

Mở gợi ý

Dùng trung điểm làm giá trị đại diện. Vì hai hàng đối xứng, có thể xác định số trung bình trước khi nội suy.

Xem lời giải và tự kiểm

Hai mẫu đều có

n = 24

và đối xứng quanh giá trị đại diện

15

, nên cùng có trung bình

15

triệu đồng. Với A,

Q_{1} = 9 + \frac{6 - 2}{6} \cdot 4 = \frac{35}{3}

và

Q_{3} = 17 + \frac{18 - 16}{6} \cdot 4 = \frac{55}{3}

, nên

Δ_{Q, A} = \frac{20}{3} \approx 6,67

. Với B,

Q_{1} = 9 + \frac{6 - 4}{5} \cdot 4 = 10,6

và

Q_{3} = 17 + \frac{18 - 15}{5} \cdot 4 = 19,4

, nên

Δ_{Q, B} = 8,8

. Phần giữa mẫu A tập trung hơn theo khoảng tứ phân vị.

Dùng đúng cỡ mẫu và giá trị đại diện.
Nêu tần số tích lũy trước từng nhóm chứa tứ phân vị.
Kết luận theo khoảng tứ phân vị và ghi đơn vị triệu đồng.

Bài 3 · Chọn số đặc trưng khi có một kết quả cách xa

Bảng cho chiều cao của hai nhóm. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu ghép nhóm. Giải thích vì sao thứ tự độ phân tán có thể khác nhau khi đổi số đặc trưng. Chọn số đặc trưng phù hợp nếu chỉ quan tâm phần giữa.

Bảng tần số theo nhóm chiều cao
Chiều cao (cm)	$[135; 140)$	$[140; 145)$	$[145; 150)$	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$
Nhóm A	$1$	$0$	$6$	$9$	$3$	$1$
Nhóm B	$0$	$0$	$6$	$4$	$4$	$6$

Mở gợi ý

Vị trí nội suy là

5

và

15

. Với mỗi chỉ số, xác định nó phụ thuộc vào các nhóm biên hay vào các vị trí ở giữa.

Xem lời giải và tự kiểm

Ta có

R_{A} = 165 - 135 = 30

và

R_{B} = 165 - 145 = 20

cm. Với A,

Q_{1} = 145 + \frac{5 - 1}{6} \cdot 5 = \frac{445}{3}

và

Q_{3} = 150 + \frac{15 - 7}{9} \cdot 5 = \frac{1390}{9}

, nên

Δ_{Q, A} = \frac{55}{9} \approx 6,11

. Với B,

Q_{1} = 145 + \frac{5}{6} \cdot 5 = \frac{895}{6}

và

Q_{3} = 160 + \frac{15 - 14}{6} \cdot 5 = \frac{965}{6}

, nên

Δ_{Q, B} = \frac{35}{3} \approx 11,67

. Khoảng biến thiên của A tăng vì một quan sát thuộc nhóm thấp tách biệt. Nếu chỉ xét độ phân tán của phần giữa, chọn khoảng tứ phân vị và kết luận mẫu B phân tán hơn.

Bỏ các nhóm biên có tần số bằng $0$ .
Giữ đủ độ chính xác đến khi tính xong $Q_{3} - Q_{1}$ .
Giải thích kết quả bằng phạm vi mỗi chỉ số đo.

Tự luyện Toán 12 · Bài 9 – Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Đọc mức độ phân tán từ bảng số liệu ghép nhóm

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng

Vận dụng

Nâng cao

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Kiểm hai đầu của khoảng nửa kín

Bỏ các nhóm trống ở hai đầu

Đọc cột tần số tích lũy

Thay đủ cận, độ rộng và tần số

Chọn số đặc trưng theo câu hỏi

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Từ mẫu gốc đến bảng ghép nhóm

Bài 2 · Cùng mức trung bình, khác độ phân tán

Bài 3 · Chọn số đặc trưng khi có một kết quả cách xa