Tự luyện Toán 12 · Bài 10 – Phương sai và độ lệch chuẩn

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG III · BÀI 10

Tính độ phân tán quanh số trung bình

Dùng giá trị đại diện và tần số để tính phương sai, độ lệch chuẩn, rồi giải thích kết quả trong bối cảnh đo lường và so sánh mẫu.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Tính độ lệch chuẩn từ các độ lệch có trọng số

Thời gian xử lý của 8 lượt
Thời gian (phút)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$
Số lượt	$2$	$4$	$2$

Ba giá trị đại diện lần lượt là

3

5

7

. Từ bảng,

n = 8

và

\overset{ˉ}{x} = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 7) / 8 = 5

phút. Do đó

s^{2} = \frac{2 (3 - 5)^{2} + 4 (5 - 5)^{2} + 2 (7 - 5)^{2}}{8} = 2.

Phương sai bằng

2

phút vuông, còn độ lệch chuẩn bằng

\sqrt{2}

phút.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

5 câu. Chọn điểm giữa, tính số trung bình và nhận biết đơn vị.

Vận dụng

5 câu. Tính phương sai và độ lệch chuẩn từ bảng có tần số.

Nâng cao

5 câu. Đối chiếu mẫu gốc với mẫu ghép nhóm, so sánh độ ổn định và kiểm bối cảnh.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Lấy điểm giữa của mỗi nhóm

Với nhóm

[a; b)

, lấy

x_{i} = (a + b) / 2

làm giá trị đại diện và dùng đúng tần số

m_{i}

của nhóm đó. Đại diện giúp tính các số đặc trưng của mẫu ghép nhóm. Muốn tính chính xác số đặc trưng của mẫu gốc, cần biết các quan sát ban đầu.

Lấy trung bình có trọng số

Nếu các nhóm có giá trị đại diện

x_{i}

và tần số

m_{i}

, thì

n = \sum_{i} m_{i}

và

\overset{ˉ}{x} = \frac{\sum_{i} m_{i} x_{i}}{n}

. Khi so hai mẫu khác cỡ, tính

n

riêng cho từng mẫu.

Tính phương sai trước khi lấy căn

Theo công thức chính của SGK,

s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i} m_{i} (x_{i} - \overset{ˉ}{x})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i} m_{i} x_{i}^{2} - {\overset{ˉ}{x}}^{2}, s = \sqrt{s^{2}} .

Giữ đủ chữ số ở các bước trung gian rồi làm tròn ở kết quả cuối.

Đọc độ lớn cùng với đơn vị

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu. Phương sai có đơn vị bình phương. Trong cùng bối cảnh đo lường, độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho thấy số liệu tập trung hơn quanh trung bình của mẫu ấy. Tốc độ trung bình và độ ổn định là hai thông tin riêng.

Kiểm đơn vị và mức trung bình trước khi so sánh

Dùng chung đơn vị trước khi so độ phân tán tuyệt đối. Khi mức trung bình chênh lệch lớn, việc xếp hạng mức biến động tương đối chỉ từ độ lệch chuẩn dễ dẫn tới kết luận sai. Nếu đề dùng hệ số biến thiên trên thang đo có mốc

0

mang ý nghĩa và các trung bình đều dương, có thể so

s / \overset{ˉ}{x}

để diễn giải độ biến động tương đối.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · So sánh mẫu gốc và mẫu ghép nhóm

Thời gian thao tác của tám lượt (giây) là

3, 5, 6, 8, 8, 10, 11, 13

. Hoàn thiện bảng tần số rồi tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn cho cả mẫu gốc và mẫu ghép nhóm. Diễn giải chênh lệch.

Các nhóm thời gian thao tác
Thời gian (giây)	$[2; 6)$	$[6; 10)$	$[10; 14)$
Tần số	$?$	$?$	$?$

Mở gợi ý

Giá trị bằng cận phải thuộc nhóm kế tiếp. Dùng từng quan sát cho mẫu gốc. Dùng ba trung điểm

4, 8, 12

cho mẫu ghép nhóm.

Xem lời giải và tự kiểm

Tần số ba nhóm là

2, 3, 3

. Mẫu gốc có trung bình

8

giây. Tổng bình phương các độ lệch bằng

76

, nên phương sai là

76 / 8 = 9,5

giây vuông và độ lệch chuẩn là

\sqrt{9,5}

giây. Với mẫu ghép nhóm, số trung bình là

(2 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + 3 \cdot 12) / 8 = 8,5

giây. Phương sai là

(2 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 12^{2}) / 8 - (8,5)^{2} = 9,75

giây vuông và độ lệch chuẩn là

\sqrt{9,75}

giây. Hai phương sai đều tính chính xác cho mẫu tương ứng. Phương sai ghép nhóm ước lượng phương sai mẫu gốc và cao hơn

0,25

giây vuông trong ví dụ này.

Tần số cộng lại bằng tám.
Mẫu gốc dùng từng số đo, còn mẫu ghép nhóm dùng trung điểm và tần số.
Ghi đơn vị giây vuông cho phương sai và giây cho độ lệch chuẩn.

Bài 2 · Đánh giá độ ổn định của hai thiết bị

Hai thiết bị

A

và

B

đo cùng một vật trong cùng điều kiện. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn ghép nhóm của mỗi mẫu. Thiết bị nào có mẫu ổn định hơn theo độ lệch chuẩn? Chỉ từ bảng, có thể kết luận thiết bị nào đo gần giá trị thật hơn không?

Kết quả đo chiều dài
Chiều dài (mm)	$[35; 45)$	$[45; 55)$	$[55; 65)$
Thiết bị A	$1$	$8$	$1$
Thiết bị B	$4$	$12$	$4$

Mở gợi ý

Hai mẫu có cỡ khác nhau nhưng đều đối xứng quanh

50

. Tính tổng bình phương độ lệch với mẫu số riêng của từng thiết bị.

Xem lời giải và tự kiểm

Trung điểm ba nhóm là

40, 50, 60

mm. Mỗi số trung bình bằng

50

mm. Từ các tần số,

s_{A}^{2} = 200 / 10 = 20

và

s_{B}^{2} = 800 / 20 = 40

mm vuông. Do đó

s_{A} = 2 \sqrt{5}

mm và

s_{B} = 2 \sqrt{10}

mm. Mẫu của

A

ổn định hơn theo độ lệch chuẩn. Để kết luận thiết bị nào đo gần giá trị thật hơn, cần biết giá trị chuẩn và xem sai số của các lần đo. Bảng ghép nhóm chỉ cho các thống kê từ giá trị đại diện.

Dùng mẫu số riêng của từng thiết bị.
So sánh độ lệch chuẩn để nhận xét độ ổn định của hai mẫu.
Nêu thông tin cần có để đánh giá độ chính xác.

Bài 3 · So sánh mức biến động tuyệt đối và tương đối

Số liệu ghép nhóm cho thấy lợi nhuận tháng của cơ sở

A

có trung bình

24

triệu đồng và độ lệch chuẩn

6

triệu đồng. Cơ sở

B

có trung bình

180

triệu đồng và độ lệch chuẩn

27

triệu đồng. So sánh độ phân tán tuyệt đối. Phần đọc thêm. Dùng

C V = s / \overline{x}

để so độ phân tán tương đối với trung bình dương.

Mở gợi ý

So trực tiếp

6

và

27

cho câu đầu. Với câu sau, so

6 / 24

và

27 / 180

Xem lời giải và tự kiểm

Theo độ lệch chuẩn, mẫu của

B

có độ phân tán tuyệt đối lớn hơn vì

27 > 6

. Với số trung bình dương,

C V_{A} = 6 / 24 = 25 %

và

C V_{B} = 27 / 180 = 15 %

. Theo hệ số biến thiên, mẫu của

A

phân tán tương đối nhiều hơn. Hai kết luận trả lời hai câu hỏi khác nhau và chỉ mô tả các mẫu đã quan sát.

Dùng cùng đơn vị triệu đồng khi so độ lệch chuẩn.
Viết hệ số biến thiên dưới dạng không có đơn vị hoặc phần trăm.
Nêu rõ mỗi kết luận dùng tiêu chí nào.

Tự luyện Toán 12 · Bài 10 – Phương sai và độ lệch chuẩn

Tính độ phân tán quanh số trung bình

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng

Vận dụng

Nâng cao

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Lấy điểm giữa của mỗi nhóm

Lấy trung bình có trọng số

Tính phương sai trước khi lấy căn

Đọc độ lớn cùng với đơn vị

Kiểm đơn vị và mức trung bình trước khi so sánh

Tự luận trên giấy

Bài 1 · So sánh mẫu gốc và mẫu ghép nhóm

Bài 2 · Đánh giá độ ổn định của hai thiết bị

Bài 3 · So sánh mức biến động tuyệt đối và tương đối