Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 11 – Nguyên hàm

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG IV · BÀI 11

Tìm nguyên hàm và xác định hằng số

Tìm một hàm có đạo hàm đã cho, kiểm lại bằng phép lấy đạo hàm rồi dùng dữ kiện ban đầu để xác định hằng số.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Kiểm nguyên hàm trên khoảng đã cho

Muốn kiểm F là một nguyên hàm của f trên khoảng K, hãy tính F′ và so sánh với f tại mọi điểm của K. Với f(x)=3/x trên (−∞;0), ta có (3ln⁡(−x))′=3/x. Do đó mọi nguyên hàm trên khoảng này có dạng 3ln⁡(−x)+C. Khi x>0, dùng 3ln⁡x+C. Mỗi khoảng có hằng số riêng nếu xét cả hai khoảng cùng lúc.

Thu gọn biểu thức trước khi dùng bảng

Trên (0;+∞), viết (x−2)2/x=x−4+4/x. Khi đó
∫(x−2)2x dx=x22−4x+4ln⁡x+C.
Lấy đạo hàm kết quả để kiểm cả ba số hạng. Với lượng giác, các đẳng thức 2sin⁡2(x/2)=1−cos⁡x và 1+tan⁡2x=1/cos⁡2x thường giúp đưa biểu thức về các dòng trong bảng.

Dùng đúng dữ kiện để xác định hằng số

Hệ số góc của tiếp tuyến tại hoành độ a cho F′(a), còn điểm (a;b) thuộc đồ thị cho F(a)=b. Ví dụ, nếu F′(x)=2x+1 và đồ thị đi qua (2;3) thì F(x)=x2+x+C. Điều kiện F(2)=3 suy ra C=−3. Với vị trí trên trục hoặc độ cao, vận tốc là đạo hàm của vị trí hoặc độ cao. Dùng vị trí hoặc độ cao đã biết để tìm hằng số.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Dùng dữ kiện để chọn một nguyên hàm
Nếu F′(x)=6x−1 thì F(x)=3x2−x+C. Điều kiện F(2)=13 cho 10+C=13, nên F(x)=3x2−x+3.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

4 câu. Kiểm nguyên hàm, khai triển và dùng bảng công thức.

Ví dụ kiểm một nguyên hàm
Với G(x)=x3−2x, tính G′(x)=3x2−2. Do đó G là một nguyên hàm của 3x2−2 trên R.

Nền tảng 2

3 câu. Tìm hằng số từ giá trị, hệ số góc hoặc vị trí.

Ví dụ tìm hằng số
Nếu F′(x)=4x thì F(x)=2x2+C. Từ F(1)=6 suy ra C=4.

Vận dụng 1

4 câu. Viết lại biểu thức rồi dùng các công thức phù hợp.

Ví dụ khai triển trước khi lấy nguyên hàm
Viết (x+2)2=x2+4x+4. Lấy nguyên hàm từng hạng, được x3/3+2x2+4x+C.

Vận dụng 2

3 câu. Xác định hàm từ một dữ kiện và tính giá trị ở điểm khác.

Ví dụ dùng hệ số góc
Nếu hệ số góc tiếp tuyến tại hoành độ x là 3x2 và đồ thị qua (1;4), thì F(x)=x3+C. Thế x=1 được C=3.

Nâng cao 1

4 câu. Kiểm miền xác định và các phép biến đổi dễ nhầm.

Ví dụ chọn logarit đúng miền
Trên (−∞;0), xét G(x)=ln⁡(−x). Ta có G′(x)=(−1)/(−x)=1/x, nên G(x)+C là họ nguyên hàm trên khoảng đó.

Nâng cao 2

3 câu. Phối hợp dữ kiện với phép kiểm bằng đạo hàm.

Ví dụ dùng vận tốc để tìm thời điểm cao nhất
Nếu s(0)=3 m và v(t)=8−2t m/s trên [0;6], thì s(t)=3+8t−t2. Vận tốc đổi dấu từ dương sang âm khi qua 4, nên độ cao lớn nhất là s(4)=19 m.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Chuyển sang Bài 12 · Tích phân

Đối chiếu đạo hàm trên khoảng đã cho

Hàm F là một nguyên hàm của f trên khoảng K khi F′(x)=f(x) với mọi x trong K. Mọi nguyên hàm trên cùng khoảng có dạng F(x)+C.

Đưa biểu thức về tổng các hạng quen thuộc

Khai triển bình phương hoặc chia từng hạng cho mẫu trên miền xác định. Dùng tính tuyến tính của phép lấy nguyên hàm, rồi gộp các hằng số thành một hằng số trên khoảng đang xét.

Chọn công thức theo dạng và miền

Với x>0 và α≠−1, nguyên hàm của xα là xα+1/(α+1)+C. Với 1/x trên một khoảng tránh 0, dùng ln⁡∣x∣+C. Kiểm dấu khi lấy nguyên hàm của sin⁡x hoặc 1/sin⁡2x.

Thế đúng điểm để tìm hằng số

Nếu F(x)=G(x)+C và F(a)=b thì C=b−G(a). Nếu đề cho hệ số góc tiếp tuyến tại hoành độ x, đọc dữ kiện ấy là F′(x).

Dùng vận tốc là đạo hàm của vị trí

Chọn chiều dương và gọi s(t) là tọa độ của vật. Từ s′(t)=v(t), lấy nguyên hàm của v và dùng vị trí ban đầu để tìm hằng số. Để tìm độ cao lớn nhất, xét dấu của v trên khoảng thời gian mô hình còn hiệu lực.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Đưa về bảng nguyên hàm

Tìm họ nguyên hàm của f(x)=(x−3)2x2+3x trên (−∞;0) và của g(x)=8sin⁡2(x/2)+2tan⁡2x trên (−π/2;π/2). Kiểm bằng đạo hàm.
Mở gợi ý
Khai triển tử phân thức, rồi dùng 2sin⁡2(x/2)=1−cos⁡x và tan⁡2x=1/cos⁡2x−1.
Xem lời giải và tự kiểm
Trên (−∞;0), viết f(x)=1−6/x+9/x2+3x. Do đó họ nguyên hàm là
x−6ln⁡(−x)−9x+3xln⁡3+C.
Trên (−π/2;π/2), ta có g(x)=2−4cos⁡x+2/cos⁡2x, nên họ nguyên hàm là
2x−4sin⁡x+2tan⁡x+D.
Đạo hàm theo từng số hạng khôi phục các biểu thức đã thu gọn của f và g.
  • Giữ đúng miền âm của đối số x và viết ln⁡(−x).
  • Phép chia cho ln⁡3 và dấu trước 9/x đều được kiểm bằng đạo hàm.
  • Công thức lượng giác hợp lệ tại mọi điểm trên khoảng được nêu.

Bài 2 · Khôi phục đồ thị từ hệ số góc

Đồ thị y=F(x) đi qua A(0;1) và B(2;9). Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x là 3x2+mx+n. Biết tiếp tuyến tại A có hệ số góc 2. Tìm F(x) và viết phương trình tiếp tuyến tại B.
Mở gợi ý
Điều kiện hệ số góc tại A cho F′(0)=2. Dùng tiếp các giá trị F(0)=1 và F(2)=9.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có F′(0)=n=2. Vì vậy F(x)=x3+mx2/2+2x+C. Điều kiện F(0)=1 cho C=1. Thế x=2 vào F(2)=9, ta được 13+2m=9, nên m=−2. Do đó
F(x)=x3−x2+2x+1.
Vì F′(2)=12−4+2=10, tiếp tuyến tại B có phương trình y−9=10(x−2), hay y=10x−11.
  • Phân biệt F′(0), là hệ số góc, với F(0), là tung độ.
  • Kiểm F(2)=9 và thế x=2 vào phương trình tiếp tuyến.

Bài 3 · Độ cao của vật chuyển động

Một vật được phóng thẳng đứng từ độ cao 5 m. Trong 6 giây đầu, vận tốc theo phương thẳng đứng là v(t)=24−8t m/s. Tìm hàm độ cao h(t), độ cao lớn nhất trong 6 giây đầu và những thời điểm trong khoảng thời gian này mà độ cao ít nhất là 37 m.
Mở gợi ý
Tìm nguyên hàm của vận tốc, dùng h(0)=5 rồi viết hàm độ cao dưới dạng 41−4(t−3)2.
Xem lời giải và tự kiểm
Từ h′(t)=24−8t và h(0)=5, ta có h(t)=24t−4t2+5=41−4(t−3)2 với 0≤t≤6. Độ cao lớn nhất bằng 41 m tại t=3 giây. Điều kiện h(t)≥37 tương đương (t−3)2≤1, tức là 2≤t≤4. Vậy từ giây thứ 2 đến giây thứ 4, kể cả hai đầu, vật ở độ cao ít nhất 37 m.
  • Kiểm h′(t)=24−8t và h(0)=5.
  • Thế t=2 và t=4 cho h(t)=37 m.
  • Đáp số thời gian nằm trong khoảng quan sát [0;6].