Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 12 – Tích phân

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG IV · BÀI 12

Tính tích phân và giải thích dấu của kết quả

Đọc tích phân từ đồ thị hoặc tính bằng nguyên hàm. Dùng dấu của vận tốc để phân biệt độ dịch chuyển với tổng quãng đường.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Tính tích phân bằng hiệu giá trị nguyên hàm

Nếu f liên tục trên [a;b] và F′=f trên đoạn đó thì ∫abf(x) dx=F(b)−F(a). Hằng số trong nguyên hàm triệt tiêu khi lấy hiệu. Chẳng hạn, với f(x)=2x−4 và F(x)=x2−4x, ta có
∫05(2x−4) dx=F(5)−F(0)=5.
Kiểm dấu của mỗi phần và thứ tự của hai cận trước khi nộp đáp án.

Đọc dấu trên đồ thị vận tốc

Vật chuyển động thẳng với v(t)=2t−4 (m/s) trong 5 giây đầu. Vận tốc âm trên [0;2) và dương trên (2;5]. Tam giác dưới trục có diện tích 4, tam giác trên trục có diện tích 9. Vì vậy độ dịch chuyển là −4+9=5 m, còn quãng đường là 4+9=13 m. Khi đổi chiều, tách tích phân tại thời điểm vận tốc đổi dấu để tính quãng đường.
Hai phần vận tốc trước và sau khi đổi chiều
Khoảng thời gian (s)Tích phân vận tốc (m)Quãng đường (m)
[0;2]−44
[2;5]99
025−46v (m/s)t (s)4 m9 m
Đồ thị v(t)=2t−4 trên [0;5]. Hai miền tô màu nằm ở hai phía của trục thời gian.

Từ tốc độ biến thiên đến lượng thay đổi

Nếu Q′ liên tục thì tích phân của Q′ từ a đến b là độ biến thiên Q(b)−Q(a). Chẳng hạn, nếu lượng nước trong bể thay đổi với tốc độ Q′(t)=6−2t (lít/phút) trong 4 phút thì lượng nước tăng (6t−t2)∣04=8 lít. Tốc độ biến thiên trung bình bằng 8/4=2 lít/phút. Nếu bể có 12 lít lúc đầu thì cuối khoảng thời gian bể có 20 lít.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Đổi cận làm đổi dấu
Vì x không âm trên [0;2], tích phân ∫02x dx bằng diện tích tam giác có đáy 2 và chiều cao 2, tức là 2. Đổi hai cận cho ∫20x dx=−2.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

3 câu. Đọc diện tích có dấu, cận và nguyên hàm.

Ví dụ đọc dấu từ hình
Nếu đồ thị nằm dưới trục hoành trên [1;3] và miền giới hạn là một tam giác có đáy 2 và chiều cao 3, thì tích phân bằng −2⋅3/2=−3.

Nền tảng 2

3 câu. Nhận biết các đại lượng tích lũy và giá trị trung bình.

Ví dụ tính một tích phân xác định
Với nguyên hàm F(x)=x2 của 2x, ta có ∫132x dx=F(3)−F(1)=8.

Vận dụng 1

3 câu. Ghép các tính chất và tính tích phân qua nhiều bước.

Ví dụ ghép hai khoảng
Nếu ∫02f(x) dx=5 và ∫24f(x) dx=−1 thì ∫04f(x) dx=4. Đổi cận cho ∫40f(x) dx=−4.

Vận dụng 2

3 câu. Chọn tích phân phù hợp với đại lượng thực tế.

Ví dụ đọc biến thiên ròng
Nếu tốc độ thay đổi của lượng nước là Q′(t)=6−2t lít/phút, thì Q(4)−Q(1)=[6t−t2]14=3 lít.

Nâng cao 1

3 câu. Kiểm điều kiện, dấu và dữ kiện khi tính.

Ví dụ tách tích phân giá trị tuyệt đối
Biểu thức x−1 đổi dấu tại 1. Trên [0;1], dùng ∣x−1∣=1−x và được 1/2. Trên [1;3], dùng ∣x−1∣=x−1 và được 2. Tổng tích phân là 5/2.

Nâng cao 2

3 câu. Xét đổi chiều, biến thiên ròng và giá trị trung bình.

Ví dụ phân biệt hai đại lượng chuyển động
Nếu vật có vận tốc v(t)=t−1 m/s trên [0;3], tích phân vận tốc trên [0;1] bằng −1/2 m và trên [1;3] bằng 2 m. Độ dịch chuyển là 3/2 m, còn quãng đường là 5/2 m.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn Bài 11 · Nguyên hàm

Cộng diện tích có dấu

Với a<b, phần đồ thị nằm trên trục hoành đóng góp dương vào ∫abf(x) dx, còn phần bên dưới đóng góp âm. Khi biết diện tích hình, đọc dấu trước khi cộng.

Giữ đúng thứ tự hai cận

Ta có ∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx. Khi tách tổng, hiệu hoặc đưa hệ số ra ngoài, giữ nguyên cặp cận. Có thể cộng tích phân trên hai đoạn liền nhau với cùng hàm dưới dấu tích phân.

Lấy giá trị tại cận trên trừ giá trị tại cận dưới

Nếu F′=f với f liên tục trên đoạn đang xét thì ∫abf(x) dx=F(b)−F(a). Hằng số triệt tiêu trong hiệu. Nếu có dấu giá trị tuyệt đối, tìm điểm đổi dấu và tách đoạn trước khi tính.

Đọc dấu vận tốc trước khi tính quãng đường

Trong khoảng thời gian từ a đến b, độ dịch chuyển là ∫abv(t) dt và tổng quãng đường là ∫ab∣v(t)∣ dt. Tìm các mốc vận tốc đổi dấu để tách phép tính thứ hai.

Chọn hiệu hai giá trị hoặc chia cho độ dài đoạn

Biến thiên của đại lượng Q từ a đến b là Q(b)−Q(a)=∫abQ′(x) dx khi Q′ liên tục. Giá trị trung bình của hàm liên tục f trên [a;b], với a<b, bằng 1b−a∫abf(x) dx.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Tính phần có dấu và diện tích

Xét h(x)=x(x−3) trên đoạn [−1;4]. Tính ∫−14h(x) dx và ∫−14∣h(x)∣ dx. Giải thích vì sao hai kết quả khác nhau.
Mở gợi ý
Xét dấu qua hai nghiệm 0, 3. Tính nguyên hàm H(x)=x3/3−3x2/2 tại cả hai nghiệm và hai cận.
Xem lời giải và tự kiểm
Hàm dương trên [−1;0) và (3;4], âm trên (0;3). Tại −1,0,3,4, các giá trị của H lần lượt là −11/6, 0, −9/2, −8/3. Ba phần tích phân có dấu là 11/6, −9/2, 11/6. Do đó tích phân của h bằng −5/6 và tích phân của ∣h∣ bằng 49/6. Phần giữa có dấu âm trong tích phân thứ nhất và được tính theo diện tích dương trong tích phân thứ hai.
  • Xét dấu trên cả ba khoảng.
  • Kiểm H(4)=64/3−24=−8/3.
  • Giải thích dấu âm của phần giữa trong tích phân của hàm.

Bài 2 · Hai lần đổi chiều

Một vật chuyển động dọc theo trục số, có vận tốc v(t)=4−2t khi 0≤t≤3 và v(t)=2t−8 khi 3≤t≤6, tính bằng m/s. Thời gian t tính bằng giây. Biết tọa độ lúc đầu là 2 m. Tìm các thời điểm đổi chiều, độ dịch chuyển, tổng quãng đường và tọa độ ở thời điểm 6 giây.
Mở gợi ý
Chia tại t=3 để dùng đúng biểu thức của v. Chia thêm ở mỗi nghiệm mà qua đó v đổi dấu.
Xem lời giải và tự kiểm
Vận tốc bằng 0 tại t=2 và t=4, đồng thời đổi dấu ở cả hai mốc. Dùng diện tích tam giác ở mỗi đoạn [0;2], [2;3], [3;4], [4;6], ta có bốn tích phân có dấu lần lượt là 4,−1,−1,4 mét. Do đó độ dịch chuyển là 6 m, tổng quãng đường là 10 m và tọa độ cuối là 2+6=8 m.
  • Kiểm v(3)=−2 theo cả hai biểu thức.
  • Cộng bốn phần theo dấu để tính độ dịch chuyển.
  • Cộng 6 m vào tọa độ lúc đầu.

Bài 3 · Từ chi phí biên đến chi phí và mức trung bình

Chi phí C(x) tính bằng triệu đồng có đạo hàm C′(x)=20+4x−x2 trên [1;3] và C(1)=12. Tính C(3), giá trị trung bình của C′ trên [1;3] và so sánh giá trị trung bình đó với giá trị lớn nhất của C′ trên đoạn.
Mở gợi ý
Tích phân C′ trên [1;3]. Viết lại C′(x)=24−(x−2)2 để tìm giá trị lớn nhất.
Xem lời giải và tự kiểm
Một nguyên hàm của C′ là F(x)=20x+2x2−x3/3. Do đó C(3)−C(1)=F(3)−F(1)=142/3 triệu đồng và C(3)=178/3 triệu đồng. Trung bình của C′ là (142/3)/(3−1)=71/3 triệu đồng trên mỗi đơn vị sản lượng. Vì C′(x)=24−(x−2)2, giá trị lớn nhất bằng 24 tại x=2, cao hơn giá trị trung bình 1/3 triệu đồng trên mỗi đơn vị sản lượng.
  • Cộng C(1) sau khi tính độ tăng.
  • Dùng độ dài đoạn hai đơn vị để tính trung bình.
  • Kiểm x=2 thuộc đoạn và 24−71/3=1/3.