Tự luyện Toán 12 · Bài 15 – Phương trình đường thẳng trong không gian

Cho đường thẳng $d$ đi qua $A(x_0;y_0;z_0)$ và nhận $\vec{u}=(a;b;c)\mathrm{\ne }\vec{0}$ làm vectơ chỉ phương. Mỗi điểm $X(x;y;z)$ thuộc $d$ ứng với một giá trị $t$ duy nhất sao cho $\overrightarrow{AX}=t\vec{u}$. Viết đẳng thức này theo từng tọa độ, ta có Khi $a,b,c$ đều khác $0$, khử $t$ để được phương trình chính tắc Nếu một thành phần bằng $0$, giữ phương trình tham số và đọc tọa độ tương ứng là hằng số. Chẳng hạn, đường thẳng qua $A(-2;1;2)$ và $B(1;1;1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3;0;-1)$. Lấy $A$ làm điểm gốc, ta được $x=-2+3t$, $y=1$ và $z=2-t$. Thế $t=0$ để kiểm điểm $A$, rồi thế $t=1$ để kiểm điểm $B$. Khi đề cho $d$ song song với một đường thẳng đã biết, dùng vectơ chỉ phương của đường ấy rồi kiểm điểm đã cho nằm ngoài đường ấy. Khi $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, dùng một vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vectơ chỉ phương của $d$.

Gọi $A_1,A_2$ là các điểm đã biết lần lượt thuộc $d_1,d_2$ và ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2$ là các vectơ chỉ phương tương ứng. Nếu $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]=\vec{0}$, hai hướng cùng phương. Kiểm $A_2\in d_1$ để kết luận trùng nhau. Nếu $A_2\mathrm{\notin }{d}_1$, hai đường thẳng song song. Nếu $[{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]\mathrm{\ne }\vec{0}$, tính $\overrightarrow{A_1{A}_2}\cdot [{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2]$. Giá trị bằng $0$ ứng với hai đường cắt nhau. Giá trị khác $0$ ứng với hai đường chéo nhau. Có thể thay phép thử này bằng cách giải hệ ba phương trình theo hai tham số. Hãy thế nghiệm tìm được từ hai tọa độ vào tọa độ còn lại trước khi công nhận giao điểm. Để kiểm hai đường thẳng vuông góc, xét ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=0$. Hai đường chéo nhau vẫn có thể vuông góc theo nghĩa này. Chẳng hạn, trục $Ox$ và đường thẳng gồm các điểm $(0;s;1)$ có hai hướng vuông góc và không có điểm chung, vì tọa độ $z$ lần lượt luôn bằng $0$ và $1$.

Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau hoặc song song xác định một mặt phẳng. Nếu chúng cắt nhau, lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương để tìm pháp tuyến. Chẳng hạn, hai đường cùng qua $M(1;0;1)$ có các vectơ chỉ phương $(1;0;1)$ và $(0;1;1)$. Tích có hướng là $(-1;-1;1)$, nên cũng có thể dùng pháp tuyến $(1;1;-1)$. Phương trình theo điểm $M$ là $(x-1)+y-(z-1)=0$, tức $x+y-z=0$. Nếu hai đường song song, lấy $A_1,A_2$ lần lượt trên từng đường. Khi đó mặt phẳng chứa hai hướng độc lập ${\vec{u}}_1$ và $\overrightarrow{A_1{A}_2}$, nên một pháp tuyến là $[{\vec{u}}_1,\overrightarrow{A_1{A}_2}]$. Có thể kiểm kết quả bằng cách thế tọa độ $A_1,A_2$ vào phương trình và tính tích vô hướng của pháp tuyến với ${\vec{u}}_1$.

Một người quan sát tại $M(-3;0;3)$ nhìn vật tại $N(3;3;-3)$. Tấm chắn là một hình tròn tâm $O$ bán kính $2$ trong mặt phẳng $z=0$. Đoạn nhìn $MN$ có tham số $x=-3+6t$, $y=3t$ và $z=3-6t$ với $0\le t\le 1$. Thế vào điều kiện $z=0$, ta được $t=\frac{1}{2}$, nên giao điểm $H(0;\frac{3}{2};0)$ thực sự nằm trên đoạn nhìn. Vì $OH=\frac{3}{2}<2$, tấm chắn che vật. Trong bài tương tự, kiểm cả miền tham số và vị trí của giao điểm trong vùng chắn. Với mặt phẳng bất kì, thế cả ba tọa độ tham số vào phương trình mặt phẳng rồi giải theo $t$.

Hai vật xuất phát cùng lúc từ $A(-2;0;0)$ và $B(0;0;5)$, với các vectơ vận tốc không đổi lần lượt là $(2;0;1)$ và $(0;0;-2)$ theo đơn vị trên giây. Đường đi của chúng có giao điểm $I(0;0;1)$. Vật thứ nhất đạt $I$ sau $1$ giây vì $A+1(2;0;1)=(0;0;1)$. Vật thứ hai đạt $I$ sau $2$ giây vì $B+2(0;0;-2)=(0;0;1)$. Đây là giao điểm duy nhất của hai đường đi và hai thời điểm đến khác nhau, nên hai vật không va chạm. Khi mô hình chỉ có hiệu lực trong một khoảng thời gian, nghiệm còn phải thuộc khoảng đó. Dùng hai tham số độc lập để tìm giao điểm đường đi và dùng một thời gian chung để kiểm hai vị trí có trùng nhau tại cùng một thời điểm.