Tự luyện Toán 12 · Bài 14 – Phương trình mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$ qua $A(x_A;y_A;z_A)$ với vectơ pháp tuyến khác $\vec{0}$ là $\vec{n}=(a;b;c)$. Điểm $X(x;y;z)$ thuộc $(P)$ khi $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AX}=0$. Do đó phương trình là Nếu đề cho hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a_1;b_1;c_1)$ và $\vec{v}=(a_2;b_2;c_2)$ khác $\vec{0}$ và không cùng phương, tính tích có hướng để tìm pháp tuyến. Ba tọa độ của $[\vec{u},\vec{v}]$ lần lượt là $b_1{c}_2-c_1{b}_2$, $c_1{a}_2-a_1{c}_2$ và $a_1{b}_2-b_1{a}_2$. Nếu đề cho ba điểm $A,B,C$, lấy $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ và $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ rồi kiểm tra tích có hướng khác $\vec{0}$. Chẳng hạn, với $A(1;1;1)$, $B(3;2;1)$ và $C(1;2;3)$, hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;1;2)$ có tích có hướng $(2;-4;2)$. Chia ba tọa độ cho $2$ được $\vec{n}=(1;-2;1)$. Thế $A$ vào phương trình theo điểm và pháp tuyến, ta thu được $x-2y+z=0$. Thế $B$ và $C$ để kiểm. Nếu tích có hướng bằng $\vec{0}$, các dữ kiện ấy chưa xác định duy nhất một mặt phẳng. Một trường hợp đặc biệt là mặt phẳng cắt ba trục tại $(p;0;0)$, $(0;q;0)$ và $(0;0;r)$ với $p,q,r$ đều khác $0$. Phương trình theo đoạn chắn là $x\mathrm{/}p+y\mathrm{/}q+z\mathrm{/}r=1$. Có thể kiểm bằng cách thế lần lượt ba điểm.

Nếu hai pháp tuyến cùng phương, nhân một phương trình với hệ số thích hợp để ba hệ số của $x,y,z$ giống nhau. Khi đó hai mặt phẳng trùng nhau nếu hằng số bằng nhau và song song nếu hằng số khác nhau. Nếu tích vô hướng của hai pháp tuyến bằng $0$, hai mặt phẳng vuông góc. Chẳng hạn, $(P):z=1$ và $(Q):z=3$ song song vì cùng có pháp tuyến $(0;0;1)$ nhưng khác hằng số. Mặt phẳng $(R):y=1$ vuông góc với $(P)$ vì $(0;1;0)\cdot (0;0;1)=0$. Hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường có $y=z=1$. Để kiểm một trục song song với mặt phẳng, kiểm vectơ của trục vuông góc với pháp tuyến và kiểm thêm gốc tọa độ nằm ngoài mặt phẳng. Nếu gốc nằm trên mặt phẳng thì cả trục nằm trong mặt phẳng.

Với $(P):ax+by+cz+d=0$ và $M(x_M;y_M;z_M)$, đặt $\lambda =(a{x}_M+b{y}_M+c{z}_M+d)\mathrm{/}(a^2+b^2+c^2)$. Khi đó chân đường vuông góc $H$ có tọa độ $H=M-\lambda (a;b;c)$, vì phép thế tọa độ này vào phương trình của $(P)$ cho vế trái bằng $0$. Ta có Chẳng hạn, với $(P):2x-y+2z-4=0$ và $M(4;-2;6)$, ta có $\lambda =18\mathrm{/}9=2$. Do đó $H(0;0;2)$ và $MH=6$. Nếu $M$ thuộc $(P)$ thì $\lambda =0$, $H=M$ và khoảng cách bằng $0$. Để tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, chọn một điểm trên mặt phẳng thứ nhất rồi tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng thứ hai.

Xét hình chóp đều có đáy là hình vuông trong mặt phẳng $z=0$. Gọi $a>0$ là nửa độ dài cạnh đáy và $h>0$ là chiều cao. Chọn $S(0;0;h)$, $A(a;a;0)$, $B(-a;a;0)$ và $D(a;-a;0)$. Mặt phẳng $(SAB)$ có phương trình $hy+az-ah=0$, còn $(SAD)$ có phương trình $hx+az-ah=0$. Các pháp tuyến tương ứng là $(0;h;a)$ và $(h;0;a)$. Tích vô hướng bằng $a^2>0$, nên hai mặt phẳng mái kề ấy không vuông góc với nhau. Hai mái trong hình dùng $a=2$ và $h=4$ để minh họa.

Giả sử $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$ đều nằm ngang. Viết $\overrightarrow{OP}=(p;q;0)$ và $\vec{F}=(u;v;0)$, ta có Nếu hai vectơ không cùng phương, $pv-qu\mathrm{\ne }0$ nên $\vec{M}$ có phương thẳng đứng. Với $P(2;1;0)$ và $\vec{F}=(-1;2;0)$, ta được $\vec{M}=(0;0;5)$, hướng theo chiều dương của $Oz$. Nếu cánh tay đòn và lực cùng phương thì mômen bằng $\vec{0}$.